新高考二轮复习真题导数讲义第38讲 指对函数问题之对数单身狗（解析版）

第38讲指对函数问题之对数单身狗

1.已知函数f(x)=2ex^2+ax.

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(H)对任意x>0,求证：f(x)>x(lnx+a).

【解答】解:(I)F(X)的定义域是R,f'(x)=2e'-2+a,

当”..0时，T(x)>O恒成立，故/(x)在R上单调递增，

当“<O时，⅛∕,(x)>O,解得：x>2+∕n(-≤),

令r(x)<0,解得:x<2+ln(~^),

故f(x)在(-∞,2+/〃(-§)上单调递减，在(2+历(-9，+8)上单调递增；

综上：当α.OE⅛,f(x)在A上单调递增，

当α<0时，f(x)在(fθ,2+比(-0))上单调递减，在(2+历(-§，+∞)上单调递增;

(Il)证明：要证，(X)>x(阮r+4),即证2eA-2+办>x(∕πx+a),

W2ɔ

即证2e*">χ∕,又x>0,故---->Im,即证=----lnx>O

nxXe~X

人/、2ex1r∏∣∣,/、2(%—l)eʌ—e2X

令g(x)=F.--Inx,则g，(X)=---------------,

eXeX

令r(x)=2(x-l)ex-e2x,则/(X)=2xex-e2,

2j

而/(x)在(0,+∞)递增，且/(1)=2e-e<0fι(2)=3/>0,

故存在唯一的实数为∈(1,2),使得/(不)=0,

故Nx)在(0,x0)上单调递减，在(%,+oo)上单调递增，

r(0)=-2<0,r(2)=0,

故大昂r(x)>O时，x>2,当r(x)<O时，OVXV2,

故g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,÷∞)上单调递增，

故g(x)..g(2)=1-1∏2>O»

2ex

综上：—----lnx>O,EP/(x)>x(lnx+a).

eX

2.已知函数f(x)=xex-2ex+a(x-1)2(6Z<0)

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)若函数/(幻在点(O,AO))处的切线的斜率为1,证明：当x>0时/(x)>2e(阮c-∕T)+l

【解答】解:(1)f,(x)=(x-V)ex÷2a(x-l)=(x-V)(ex+2a).

令r(x)=O可得％=1或X=ln(-2a).

①若ln(-2a)=1»即α=-ɪ，则f,(x)=(x-1)(XΛ-e)..O恒成立，

2

.∙./(x)在R上单调递增；

②若/〃(一2z)vl,即,<α<0,

2

则当X<ln(-2a)或x>1时，∕z(x)>O,当ln(-2a)vx<1时，f,(x)<O,

∙∙.∕(x)在(-8,加(-24))上单调递增，在(加(-2α),1)上单调递减，在(l,+∞)上单调递增；

③若ln(-2a)>1,BPa<,

2

则当XVI或x>历(-2α)时，∕,(x)>O,当IVXV例(-2α)时，∕,(x)<O,

.∙.∕(x)(-oo,1)上单调递增，在(1,/〃(-2幻)上单调递减，在(加(-24),+∞)上单调递增.

x

={χ-∖)e+2a(x-l),

.,.∕z(0)=-l-2tz=l,故α=-1././(x)=xex-2ex-(x-1)2,

设g(x)=/(x)-2e(lnx-ex~l)-1=xex-Ifelnx-(x-l)2-1,

g'(x)=(X+l)e*-------2(%—1),

X

令力(X)=(X+l)eʌ---2(x-l)，则h,(x)=(x+2)ex+^--2≈xex+⅛+2(ex-1)，

XXX

显然，当x>0时，⅛z(x)>0,故人(%)在(0,⅛∞)上单调递增，

又〃(1)=0,・•・当OVXVl时，g'(x)<O,当”>1时，g'(x)>O,

.∙.g(x)在(0,1)上单调递减,在(L+oo)上单调递增,

二.当x=l时，g(x)取得最小值g(1)=e-l>O,

.∙.g(x)>O,即f(x)>2e(lnx-ex~l)+1.

3.设/(x)=(x+∖)ln(x+1).

⑴求/(ɪ)的最小值；

(2)若对任意的x..0,都有/(x)..αr成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)/(x)=(ɪ+∖)ln{x+1),

.∙.x+l>0，解得x>-l,

ff(x)=ln{x+1)+1,

令[(X)=0,得χ+ι=L,BPx=I-I,

ee

当x∈(-1」一1)时\f∖x)<0；当X£(1-1,+∞)时\f∖x)>0.

ee

「•X=」一1时，lfM]nιili=/(ɪ-ɪ)=ɪ/n(ɪ)=---

eeeee

(2)令8(%)=(工+1)/〃(五+1)-0¥,

对函数g(x)求导数：g∖x)=ln(x+↑)+∖-a

令9(X)=0,解得x=e1-l,

⑺当知1时，对所有x>0,g'(x)>O,所以g(%)在[O,+oo)上是增函数,

又g(0)=0,所以对X..0,都有g(x)..g(O),

即当〃,，1时，对于所有X..0,都有/(x)..4x∙

3)当a>l时,对于OVxV肘7-1,g'(x)vθ,所以g(x)在(OdT-D是减函数,

Xg(O)=O,所以对OVXVeaT—1,都有g(x)<g(O),

即当g>l时，不是对所有的"0,都有/(x)..αX成立.

综上，。的取值范围是(-oo,1].

4.已知函数f(x)=(x+∖)lnx-a(x-∖).

(I)当α=2时，求函数/a)的单调区间；

(II)当时，/(x)>0恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(I)当。=2时，/(x)=(x÷V)lnx-2(x-1),f,(x)=lnx+--∖,

X

1ɪ_1

令g(x)=bvc+——1,则g'(%)=——，

XXT

当X£(0,1)时，gr(x)<O,g(x)单调递减，

当X∈(l,÷w)时，<(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(“加=g(I)=0,所以jΓ(x)..O∙

故/(x)在区间(0,位)上单调递增，无单调递减区间.

(Il)/'(x)=∣nχ---F1—α，

X

设A(x)=Inx+工+1-α,x>1,则Λ,(x)ɪɪ-ɪ=ʌ-^ɪ>O>

XXXX

所以〃(X)在区间a，+8)上单调递增，即r(x)在区间a,”)上单调递增，且尸(1)=2-<

①当4,2时，/'(x)>0,/(X)在区间(1,∙KO)上单调递增，所以/(x)>/(1)=0满足条件;

②当4>2时，f'(1)=2-α<0,f∖ea)=∖+e^tt>Q,

所以加w(l,ea],使得T(x0)=0,所以当X∈(1,J⅞)时,f,(x)<0,f(x)单调递减，

即当与e(l,*o)时，f(x)<f(1)=0,不满足题意.

综上所述，实数。的取值范围为(-8,2].

5.已知函数f(χ)=如学.

X

(1)当机=1时，求F(X)的最大值;

(2)讨论关于X的方程/(X)=,心的实根的个数.

【解答】解：(1)〃?=1时，F(X)=^⅛L则尸(X)=一2"+1，

X第

ɪ」

令r(x)>0,解得：0<x<∕5,令r(χ)vθ,解得：χ>∕5,

ɪɪ

故/(x)在(0,一)递增，在(”，+8)递减，

故/(为.=/(”)=∙∣;

(2)由/(x)="z-加X,得历T——D=O,%=1显然是该方程的根，

x^÷1

XXl时，方程等价于s=C竺，

X2-I

令∕z(x)=C2""X,(χ>0,x≠l),

X-1

则〃(x)=-λ,,(4∕⅞r-X2+ɪ),

(x--1)2X2

令φ(x)=4lnx-x2+ɪ,

Jr

则"(X)=Lx-=_2;”一<0,

XXX

.∙.x>OE⅛,夕(幻单调递减，

.∙.0vxvl时，φ(x)>φ(I)=0,h!(x)<0,〃(尤)单调递减，

x>l时，φ(4<φ(1)=0,∕√(x)>0,〃(x)单调递增，

X→+∞时，h(x)→+∞,x→0f⅛,⅛(x)→+∞,%1时，Λ(x)→1,

画出函数〃(X)的图像，如图示:

结合图像得：/%>1时，方程m=A(x)有2个实根，

办,1时,方程m=h(x)没有实根,

综上：〃4,1时，方程/(x)=m-∕nτ仅有1个实根,

m>1时，方程f(x)=m-Inx有3个实根.

6.己知函数/(K)二mY--------.

(1)讨论AX)的单调性，并证明了(幻有且仅有两个零点；

(2)设/是/S)的一个零点，证明曲线y=加X在点A(X0,/”))处的切线也是曲线y=e'的切线.

【解答】解析：(1)函数/(X)=加X—四.定义域为：(0,1)D(1,+8)；

12-

f∖x)=—+-----7>0,(^>0Hx≠l),

X(x-l)

Λ∕(x)在(0,1)和(1,+oo)上单调递增,

①在((U)区间取值有•!■代入函数，由函数零点的定义得，

ee

/(4)<0,")>0，∕⅛√A<o,

e^ee^e

：./(x)在(0,1)有且仅有一个零点，

②在(1,M)区间，区间取值有e,/代入函数，由函数零点的定义得,

又∙f(e)<0./(e2)>0,f(e)√(e2)<0,

.∙./(x)在(l,+∞)上有且仅有一个零点，

故/(x)在定义域内有且仅有两个零点；

(2)X。是f(x)的一个零点，则有加⅛=E±L

Xn-I

曲线y=∕wx,则有y'=—

由直线的点斜式可得曲线的切线方程,

曲线y=∕nx在点A(xf),/，/)处的切线方程为：y-Inx0ɪɪ(ɪ-ʃɑ).

⅞

即：y=2∙x-l+∕"x1,,将/叫)=为上ɪ代入，

⅞XOT

即有：y=-^-x+---，

XoXo-I

而曲线y=e'的切线中，在点(历-LL)处的切线方程为：ʃ-ɪɪɪ(ʌ-/nɪ)ɪɪɪ+-!-/^

⅞⅞⅞⅞⅞⅞⅞

将阮⅛=3代入化简，即：y=-Lχ+上，

XOT⅞⅞-ι

故曲线y=∕nx在点A(x°,从％)处的切线也是曲线y="的切线.

故得证.

7.己知函数f(x)=/〃一匚+—J(x>0,4eR)

x+1x+1

(1)讨论函数F(X)的单调性；

(2)若关于X的不等式(x+l)∕nx+α+α(x+l)2,,(x+l)f(x)恒成立，求”的取值范围.

a_(1-α)x+1

【解答】解：(1)f∖x)=—5—(x>0).

X(X+1)(X+l)2-X(X+I)?

4,1时，∕,(Λ)>0,此时函数/(x)在(O,+∞)上单调递增.

(I-α)(x-----ɪ-)

α>lf⅛,/，W=

Λ-(Λ+1Γ

可得：函数/(X)在(0,二一)内单调递增；在(二一,+OO)内单调递减.

a-∖a-∖

(2)不等式(工+1)历¥+。+。(工+1)2,,(工+1)/'(4)化为：④_//心+D=g(χ),χ>0.

x+1

g，(X)=历(X+DJ,可得x=e-1时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(e-1)=」

U÷l)"(

1

.∙.%—.

e

.∙.”的取值范围是(-∞,-i

e

8.已知函数f(x)=∕nx-0T2+(2-a)x,a>0.

(1)讨论/(x)的单调性;

(2)设αeN*,若关于X的不等式/(x),,-1在(0,位)上恒成立，求。的最小值.

【解答】解：(1)山题意得，f∖x)=--2ax-a+2=σx+^~ax+x∖x>G),α>0,

XX

⅛∕,(x)>0,得O<x<l,.∙.函数f(x)在(0」)上单调递增；

aa

由((X)<0,得x>L.∙.函数/(x)在(L+OO)上单调递减，

aa

.∙.函数/(X)在(0」)上单调递增，在(L+8)上单调递减；

aa

(2)由(1)可知，函数/(x)在(0」)上单调递增，(L+8)H单调递减，

aa

一•/(λ‰=/(^)=ln-+--∖»

aaa

又∙/(%),,-1在(O,Ko)上恒成立，

,χ

∙∙f∖),tuιx+-1»KPIn—+ɪ,,O»

aaaa

令∕=~L,则z>0,设gQ)=加f+f,则g(∕),,0,

a

gγz)=l+l=liI>O,

.∙.函数g(∕)在(0,+oo)上单调递增，且g(g)=∕n→^<0,g⑴=1>O,

.∙.存在唯一的f°∈(g,l),使得gQ0)=O,且当f∈(0"°)时，g(∕)<0;当f∈(J,+8)时，gQ)>O,

.∙.OvLi解得aJ∈(l,2).

ato

aeN”,

∙∙.〃的最小值为2.

9.已知函数/(x)=gαχ2+(]-2α)X-2∕nx,α∈R;

(1)讨论/(K)的单调性；

(2)若不等式F(X)…I在((M)上恒成立，求实数。的取值范围.

【解答】解：(1)∙/(x)=g0χ2+(1—2a)x-2Λιr,x>0,

q,、ax2+(l-2a)x-2(0r+l)(x-2)

.∙.J(X)=---------------=------------，

XX

①当a.0时，令尸(X)V0,得OVX<2；令/。)>0,得x>2；

②当αvθ时，令[(力=0,得工=一_1或工=2；

a

(I)当_』>2,即一1<α<0时，令r(x)<0,得0<xv2或x>—l；令t(x)>0,^2<x<--；

a2aa

(H)当」=2时，即a=」时，则(*)<0恒成立；

a2

(HI)当-1<2时，即■时，令r*)<0,得O<x<-L或χ>2;令/(x)>O,得一L<X<2;

a2aa

综上所述：当α.0时，/(x)在(0,2)上递减，在(2,+oo)上递增；

当-1<a<0时，/(x)在(0,2)和(-,，+∞)上递减，在(2,-3上递增；

2aa

当。=-1时，/(χ)在(0,+∞)上递减；

当。<二时，/(x)在(0,-工)和(2,"o)上递减，在(-,，2)上递增.

2aa

(2)由(1)得①当a..-；时，/(x)在(0,1)上递减，

3311

:.f(1)=l--β...-,

2223

②当“<_■!■时，

2

(I)当-L1，即&-1时，F(X)在(0,-2)上递减，在(-LD上递增，

aaa

11Iq

.*.f(—)=2------1-2∕zι(-------—>；.a,-lz6f合题意；

a2a2a2

(U)当一L>l,即-l<a<-L时，F(X)在(0,1)上递减，

a2

.∙.f(I)=∖--a>->-,符合题意；

2422

综上，实数。的取值范围为(-8,-ɪj.

10.已知/(X)=蛆，直线/为曲线y=∕(x)在a,/⑺)处的切线，直线/与曲线y=/(x)相交于点(s,7(S))

X

且S<f.

(I)求，的取值范围；

(II)(1)证明：如,l+'∙(x-e)-^τ∙(x-e)2∙(x-e)3；

(2)证明：s>-t-3tlnt.

2

【解答】(I)解：由∕ω=--得f'(X)=上隼,则/⑺=上?，

XXt

可得曲线y=F(X)在“，/⑴)处的切线方程为y-,=F√x-0，

1-Int1Hnt

π即πy=―-—X——+-----•

人/∖Inx∖-lnt12lntH6，、八“、∖-lnx\-lnt

令g(x)=-----------—X+----------，显然g(f)=O,g<x)=­、-----------)

xrftx2r

由g,,(x)=3=0,得X=",

X

33

.∙.gG)在(0,/)上单调递减，在(潟，+00)上单调递增.

若K/,%∈(O")Bij∙,--妙〉!~~竺’.∙.g<%)>0,

X2V

则g(x)在((V)上单调递增，且g(Q=O,∙∙.g(%)在(OJ)上无零点,舍去；

若C，>一一，∙∙∙％g(°,/)时，g'(χ)而“=.(/)=一5-1=<°，

则g(x)在(0,%)上单调递增，在(X0,。上单调递减，而XfO时，g(x)→-∞,

・•・g(x)在(Oj)上存在零点.

故f的取值范围是(滔，+00)：

(II)证明:(1)令〃(X)=∕nx-[l+L∙(x-e)—！ʒ--(ʃ-e)2+—(ɪ-^)3]»

e2e"3e

则〃(e)=0,ħf(x)=ɪ-ɪ+ɪ∙(x-^)-ɪ∙(x-e)2,

xeee

11222

A"(x)=--+---√x-β),hrtf(x)=---,

%eeXer

当x∈(0,e)时∙，h!,∖x)>0»当x∈(e,÷∞)时，h,,f(x)<0,

则〃〃(X)的最大值为夕(e)=0,可得”(%)单调递减,又〃(e)=0,

・•.当x∈(0,e)时，Ar(x)>0,力。)单调递增，当x∈(e,+oo)时，A,(x)<O,∕z(x)单调递减,

3

则h(x>nax=h(e)=0»即3,1+,∙(x-e)—∙(x-e)2+ɪ-(ɪ-^)；

(2)先证Ins<ImH—,(5—/)—22∙(s—+^~f∙(s—θʒ，

令0(%)=IntH—∙(x—/)—■—7∙(x—∕)~÷-―^∙(x—E),'—bιχ,

(f|(ɪ)=------∙(x—/)H■—-∙(x—∕)^—，

trrX

12122

4'(X)=__τ+κ(x-∕)+r，^∕z,(x)=-----

rr%2rx5

当x∈(0j)时，""(x)vθ,当x∈Q,+∞)时，。心)>0,

则”(X)的最小值为"Q)=O,可得"(X)单调递增,又09)=0,

.∙.当x∈(0")时，，"(x)vO,O(A:)单调递减，当x∈Q,+∞)时，φ∖x)>G,力(用单调递增,

23

则φ(x)nιin=奴f)=0，即Ins<Int+ɪ•(5-r)-ɪ-(5-1)+ɪ∙(ʃ-r),

(S,/(S))是直线/上的点，..竺=匕仪(ST)+电，

Srt

,JInt4----(5—Z)------7,(5—Z)2+—r(X—/)3

Ins1∖-Int、Itntt2产3〃

—=-L(S-t)+—<------h-------------------------------------------

SttS

3

可得J^£(S-，)5+^2_/皿<；GT)——($_。2+-L.(5-0,

.∙.(s-ι)2〈一J∙(s-r)2+J∙(s-'P,

↑-lnt11z

TV廿费

^∖-lnt<-—+—•(s-t)

23t

⅛s>-t-3tbιt.

2

11.已知函数F(X)=⅛tr,^(x)=%+tn(m∈R).

(I)若/(x),,g(x)恒成立，求实数加的取值范围;

(2)求证：当x>0时，"*2日)上1∕πλ+[.

X

【解答】(1)解:F(x)=f(x)-g(x)=Inx-X-m(x>0),

则F(X)=上?，

X

当O<x<l时，F'(x)>0,则尸(X)单调递增,

当x>l时,F(X)<0,则F(X)单调递减，

所以当X=I时，F(X)取得最大值/(1)=-∖-m,

因为/(xλ,g(x)恒成立，即F(x)„O恒成立，

则—1—τn,,O,解得in..1,

故实数机的取值范围为［-1,+8);

(2)证明：由(1)可知，∕n¾,X-I恒成立，即x∙.∕nr+l,

所以要证e'+(2-e)x-llnχ+λy

X

只需证明e*-(6-2口-1..工2成立即可，

令〃(X)=ex-X2-(ɛ-2)x-1(%>0),

则h'(x)=ex-2x-(e-2),

令m(x)=ex-2x-(e-2)(X>0),

则m'(x)=ex-2,

当0<x<加2时,m'M<0,则皿x)单调递减，

当X>Inl时，m'(x)>0,则ZM(X)单调递增，

又/(0)=3-e>0,h'(1)=0,

因为0<加2<1,则”(加2)<0,

所以存在Λoe(O,∕"2),使得/?’(Xo)=0,

故当XW(O,与)时,/(X)>0,则〃(X)单调递增，

当Xe(Xo,1)时，Λ,(x)<O,则∕ι(x)单调递减,

当Xe(l,+OO)时，Λ,(x)>O>则〃(X)单调递增，

又加O)="(1)=0,

所以〃(x)..0,

gx2gχ1

因此，当x>0时，+(-)~∕m-+1

X

12.已知函数优，g(x)=kx1-2x(k∈R).

(1)若y=∕(x)在X=I处的切线也是y=g(x)的切线，求&的值;

(2)若x∈(0,+∞),/(X),,g(x)恒成立，求人的最小整数值.

【解答】解:(1)由/(x)=∕nx,

得r0)=∙L,则r(1)=ι,

X

又/(I)=0,∙∙.y=/(X)在X=I处的切线方程为y=x-l.

联立口==1,得依2-3X+1=0.

[y=kx-2x

由题意，k≠0j且△=(一3)2-4攵=。，解得％=2；

4

(2)x∈(0,+oo)，f(x),yg(x)恒成立，

B∣Jkx1-2x-lnx..O对任意XG(O,+∞)恒成立，令Λ(x)=kxλ-Ix-Inx,

当X=I时，得匕.2；

C14r2—2r-1

若左=2,A(x)=2x2-2x-Inx,A,(x)=4x-2——=---------------(x>0).

XX

4f-2x-l=O的正根为匕正<1,则〃(X)在(1拽，1)上单调递增，

44

而人(1)=0,可得MX)<∕z(1)=O在(生且，1)上成立，与∕z(x)∙.O矛盾；

4

当我..3时，Λ(x)=kx2-2x-lnx..3x2-2x-lnx(0,+∞)上成立.

令O(X)=X-1一。优，则或(X)=I-L=一-,

XX

当x∈(O,l)时，¢/(X)VO,O(X)单调递减，当％∈(l,+∞)时，"(%)>0,例幻单调递增.

.∙.φ(x)..φ(I)=0»BPx-∖..lnx,

可得入