2023年高考数学总复习第3讲：函数应用（附答案解析）

2023年高考数学总复习第3讲：函数应用

选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

x2-l,x≥0,

1.（5分）（2022春•如皋市期中）已知函数f（χ）［ɪ若/(/(〃))=-1,

X<Cθ,

.X

则a—()

A.1或-1B.1或0C.1或-1或0D.-1或0

2a

X-ax÷^∙,x:≥l

2.（5分）（2022春•安徽期中）若函数f（x）=，在R上单调递增，则

(2a+2)χ-5,x<1

实数。的取值范围为（）

-b

ʌ-(l>⅜)∙(-1.⅜]C.(-1,2]D.(-I,2)

DD

(9

x⅛x+lX41,若函数g(χ)

3.（5分）（2022•南开区校级模拟）已知函数f（X）=

,2X2-8X+10x>1

=∕（x）+1X-II-。恰有两个零点，则实数α的取值范围是（）

A.∪(4,+8)B•普,4)

C.-KDO)D.(1,+co)

2ʌθ

4.（5分）（2022•南京三模）已知/（x）=<',若Vx21,f(x+2w)+ιnf(x)

-X2»x<0

>0,则实数的取值范围是（）

A.(-1,+∞)B.(-ɪ,+8)C.(0,+∞)D.(-ɪ,1)

42

》。

2X-1+21-X.2IX

5.（5分）（2022•江西二模）已知函数/（x）,f(ɪɪ)=/(X2)

IIog4(-χ)I,x<0

—f（X3）—f（X4）,且X1<X2<X3<X4,则Xl+X2+X3+X4的最小值是（）

A.-2B.3C.-1d

1^∙4

χ-2,x≤m

6.（5分）（2022•郑州二模）若函数f（X）=•是定义在R上的增函数，则

x2-2x,x>m

实数机的取值范围是（)

A.(-∞,1]U{2}B.{1}U[2,+∞)C.(-8,1]D.[2,+∞)

第1页（共35页）

J?*-?,x>θ.若小)=_],则实数

7.(5分)(2022∙朝阳区一模)已知函数f(

-2x,X<C0.

加的值为()

A.-2B.ɪC.1D.2

2

f

4x<4

8.(5分)(2022•惠州一模)已知/(x)=.,则当QO时，/(2x)

(χ-16)2-143,X>4

与/(x2)的大小关系是()

A./(2x)≤∕(x2)B.f(2x)K(√)

C./(2v)=∕(x2)D.不确定

logŋ5x,x>0,

9.(5分)(2021秋•成都期末)设函数f(χ)=<∣-χ若对任意给定的∕n∈

———,X<C0.

22,

(0,2),都存在唯一的非零实数Xo满足f(f(χfp)=-2am+am则正实数。的取值

范围为()

A.(0,ɪ]B.(0,ɪ)C.(0,2]D.(0,2)

10.(5分)(2021秋•聊城期末)已知函数/(x)=,-x2+2mχ-m2,x<m,若/(『一幻

Iχ-mI>x>m

>∕(3α),则实数a的取值范围是()

A.(-1,4)B.(-∞,-1)U(4,+∞)

C.(-4,1)D.(-∞,-4)U(1,+∞)

二.多选题(共5小题，满分25分，每小题5分)

'I胪-1IV<1

(多选)11.(5分)(2022•莆田模拟)已知函数f(χ)={∣1,,函数g

-4X2+16X-13,X≥1

(x)=∕(x)-a,则下列结论正确的是()

A.若g(X)有3个不同的零点，则。的取值范围是[1,2)

B.若g(x)有4个不同的零点，则。的取值范围是(0,1)

C.若g(X)有4个不同的零点XI，X2,XJ,X4(xi<X2<X3<X4),则X3+X4=4

D.若g(X)有4个不同的零点XI，XI,X3，X4(X1<X2<X3<X4),则X3X4的取值范围是

第2页(共35页)

/137、

（:E）

（多选）12.（5分）（2021秋•南岗区校级期末）设函数f（χ）=∣∣2x^1I'x42,集

-χ+5>X>2

合M={x∣∕2（X）+2f（x）+⅛=0,kER],则下列命题正确的是（）

A.当左=O时，M={0,5,7}

B.当时，M=0

C.若Λ∕={α,b,c},则k的取值范围为（-15,-3）

D.若M={α,b,c,d}（其中α<6Vc<d）,贝∣J2"+2"+c+d=14

（多选）13.（5分）（2021秋•薛城区期中）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，

（1,X为有理数

是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数/G）=',称为狄利克雷

I。，X为无理数

函数，则关于/（X）下列说法正确的是（）

A.函数/（x）的值域是[0,1]

B.Vx∈R,f（/（ɪ））=1

C.f（x+2）=∕（x）对任意x∈R恒成立

D.存在三个点4Gi,fQxι））,B（x2./（x2））,C（X3,/（x3））,使得44BC为等腰直

角三角形

（多选）14.（5分）（2021秋•连城县校级月考）对于实数X,符号田表示不超过X的最大

整数，例如[ττ]=3,[2.5]=2,[-1.4]=-2,定义函数/（x）=X-IXl,则下列命题中正

确的是（）

A.f（-3.9）=/（4.1）

B.函数/（x）的最大值是1

C.函数/（x）的最小值是O

D.方程f（χ）1=O没有实数根

‘9xT+91-X一2χ30

（多选）15.（5分）（2021•浙江模拟）已知函数/G）=（//'"U,若/（%]）

IIn（-X）I,x<O

=/（X2）=/（X3）=/（X4）,且XlVX2Vx3Vχ4,贝IJ（）

A.X3÷X4=2

B.x1x2=1

第3页（共35页）

ɪɪ

-2

C.-a2:≤x]<-1≤x2≤e

ɪJ_

D∙2^e2-e2<X]+X2+X3+X4<°

三.填空题(共5小题，满分25分，每小题5分)

16.(5分)(2022•东城区一模)已知函数f(χ)=∣e'+'若k=0,则不等式

kx2-χ+l,x<0.

f(x)<2的解集为；若/G)恰有两个零点，则上的取值范围为.

17.(5分)(2022•昌乐县校级模拟)设函数f(X)=:x<θ>已知χ∣<χ2,且一知)

—f(x2),若工2-Xi的最小值为e,则a的值为_______.

18.(5分)(2021秋•松江区期末)已知函数/(x)=JXTx<0,若对任意的xι6[2,

[Iχ-aIx≥0

+8),都存在χ2e[-2,-1],使得f(xι)∙∕(x2)>α,则实数α的取值范围为.

lθgr,X>x>0,

19.(5分)(2021秋•徐汇区期末)已知函数f(χ)=]2设集合Z={(0,

,∣2x+l∣>x≤0∙

ft)∣tz≤-1,且〃WbW加，m,A7∈R},若对任意的(4,b)£4,总有α∙∕(b)-b-3a^

0成立，则m-n的最大值为.

'Ilog9x+lI,x>0

20.(5分)(2021春•天津期末)已知函数f(x)Y乙,若存在互不相

-x2-2x÷l,x≤0

等的实数a,b,c,d,使得/(Q)=∕(b)=∕(c)=八d),则a+b+c+d的取值范围是.

四.解答题(共5小题，满分50分，每小题10分)

-X(x+4),

21.(10分)(2021秋•友好区校级期中)已知/(4)=<

x,x〉0

(1)求/(/(-1))；

(2)若/(α)=12,求。的值；

(3)若其图像与y=b有三个交点，求6的取值范围.

22.(10分)(2021•河北区学业考试)已知函数/(x)=J×2-4x+6-3

X+6,x<0

(I)求函数y=∕'(x)的零点;

第4页(共35页)

(ID求不等式/(χ)>∕(1)的解集.

R-X2+2X,x>0

23.(10分)(2021秋•香坊区校级月考)已知函数/G)=，0,X=O是奇函数.

2

ιx⅛ιx.x<0

(1)求实数，"的值；

(2)解不等式/(x)>∣χ-2|.

'f(Y)X或3

24.(10分)(2021春•贺兰县校级期末)已知/(x)=∣χ-1∣+1,F(X)U

12-3x,X>3

(1)解不等式/(x)≤2Λ-+3;

(2)若方程F(X)="有一个解，求实数α的取值范围.

25.(10分)(2022春•天心区校级期中)已知/(x)是定义在R上的偶函数，/(0)=0,

当x<0时，/(x)=X2+4X.

(1)求/(x)的解析式；

(2)求/(x)在区间［-6,词上的值域.

第5页(共35页)

2023年高考数学总复习第3讲：函数应用

参考答案与试题解析

一.选择题(共10小题，满分50分，每小题5分)

X2~1JX≥0,

1.(5分)(2022春∙如皋市期中)已知函数f(χ)U1若/(/(α))=-1,

―,x<0,

IX

贝(ja=()

A.1或-1B.1或0C.1或-1或0D,-1或0

【考点】分段函数的应用.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据题意，按。的取值范围分3种情况讨论/(/(〃))=-1的解，求出。的值,

综合可得答案.

【解答】解：根据题意，当QVO时，/'(。)=-l∙<0,f(/(tz))=；=Q=-1,解可得

aɪ

a

a=-1；

当OWQVl时，f(a)=a2-KO,fQf(〃))=―--=-1,解可得Q=0,

a2-l

当时，f(Q)=CT-120,/(/(〃))=(α2-1)2-1=-1,解可得Q=I;

综合可得：Q=I或-1或0,

故选：C.

【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题.

2心a-ɪ

2.(5分)(2022春•安徽期中)若函数f(χ)=(*-ax+q'X在R上单调递增，则

(2a+2)x^5,x<1

实数。的取值范围为()

A.(-1,ɪ)B.(-1,ɪ]C.(-1,2]D.(-1,2)

55

【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断.

【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.

第6页(共35页)

⅜‹1

【解答】解：由题意＜2a+2>0,解得

5

l^^^^2a^∙3

故选：B.

【点评】本题考查了分段函数的单调性，属于基础题.

(O

x⅛x+lx≤1

3.(5分)(2022•南开区校级模拟)已知函数f(χ)=若函数g(X)

.2X2-8X+10x>1

=/(x)+∣x-l∣-α恰有两个零点，则实数a的取值范围是()

【考点】分段函数的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法.

【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】今g(X)=0得∕?(X)—f(x)+∣x-l∣=”,作出〃(x)图象，数形结合判断y

=h(X)与y=α图象有两个交点时。的范围即可.

【解答】解：g(X)=0=>χ,(X)+∣x-1|-α=0≠√^(X)+∣x-∖∖=a,

令h(x)=/(x)+∖x-1|,

m/，、［X2+2X+1-X+1,X≤1fχ2+x+2,X≤1

则h(x)R.。,

2x-Sx+10+x-l,x>l2x-7x+9,x>l

作出h(X)的图象：

第7页(共35页)

如图(x)与歹=。的图象有两个交点时，孕)

a∈(ɪ,(J(4,+8).

48

故选：A.

【点评】本题考查了数形结合的应用，属于中档题.

4.(5分)(2022•南京三模)已知/(x)=4',若Vx21,f(x+2w)+mf(x)

-X2,x<0

>0,则实数机的取值范围是()

A.(-1,+8)B.(-ɪ,+8)C.(0.+∞)D.(-ɪ,1)

42

【考点】分段函数的应用.

【专题】计算题；分类讨论；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】分和机<0进行分类讨论，分别确定W的取值范围，最后综合得答案.

【解答】解:①20时，/'(x+2m)+mf(x)=(x÷2∕w)2+mx2>0,符合题意；

加〈0时，fCx+2m)+mf(x)>0,

即f(x+2m)〉-mf(x)=f(V^mx),

显然/(x)在R上递增，则x+2m>4^ιχX寸Vx21恒成立，

(1-V^in)x÷2m≥0,对Vx21恒成立，

Rnlfl-√-m>O

则：∖I-、≠-4<m<0»

Il-V-m+2m>04

练上，m∈(-ʌ,+∞>

故选：B.

【点评】本题考查了利用分段函数的单调性求参数的范围，属于中档题.

2X^1+21^X-2,X>0

5.(5分)(2022•江西二模)已知函数/G)=.,f(XI)=f(X2)

IIog4(-x)I,x<O

=f(X3)=/(X4)，且XlVx2Vx3Vx4,则Xl+x2+x3+x4的最小值是()

A.-2B.卫C.-1D.」

22

【考点】分段函数的应用.

【专题】计算题；整体思想：综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】设g(X)=2、+2、，判断出g(X)是偶函数，结合图象平移规律得出/«)的

图象，结合图象和对数函数的性质求出最小值即可.

第8页(共35页)

【解答】解：设g（X）=2⅛2-Λ因为g（-X）=g（X）,所以g（X）是偶函数，

g（0）=0,g（χ）=2X+2f-2>2√F^-2=0（当且仅当x=0时等号成立），故g

（X）是偶函数，且最小值为0,

函数y=2xr+2∣r-2可以由函数y=2x+2'-2的图象向右平移1个单位长度得到，

函数/（x）的图象如图所示：

则X3+X4=2,且f(χ)《f(O)力，

°Z

因为/(XI)=f(X2)，所以lθg4(-XI)=TOg4(-X2)，

所以lθg4(-XI)+lθg4(-X2)=0，即(-Xl)(-X2)=1，

因为11叫(-乂2)K/'即"g4(-X2)>^⅛'所以χ2E(j4]'所以

1

x1÷x2=-÷x2-

--,

又因为h(t)=t+Lt∈(-1,-ɪ]1任取t[，t2∈(i,4^1且"四,

tt

rmι./、，/、11/、2^l_(t1-t2)

>⅛(t1)-h(t2)=t1÷^-t2-=(t1-t2)÷τ-^=R

因为t∖-∕2<0,t∖t2-KO-

所以∕ι(tι)-h(fe)>0,即〃(力)>h(/2).

所以y=h（t）=tJ"在（-1,-'］上单调递减，

所以X1+x

所以xι+x2+x3+x4的最小值是-ɪ.

2

第9页（共35页）

r2

6.（5分）（2022•郑州二模）若函数f（χ）=1;'Xm是定义在R上的增函数，则

X2-2X,x>m

实数机的取值范围是（）

A.（-8,1]U{2}B.{1}U[2,+8）C.（-∞,1]D.[2,+∞）

【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断.

【专题】计算题；数形结合；转化思想：综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】画出函数y=x-2与y=x2-2%的图象，利用分段函数的单调性，判断的范

围即可.

【解答】解：函数V=X-2与y=χ2-2x的图象如图：由图象可知m=1时，函数

χ-2,x≤m

f（x）≈是定义在R上的增函数，

X2-2X,x>m

χ-2,x≤m

当机》2时，函数f（χ）=∣是定义在R上的增函数，

X2-2X,x〉m

实数加的取值范围是{1}U[2,+8）.

故选：B.

【点评】本题考查分段函数的单调性的判断，考查数形结合以及分析问题解决问题的能

力，是中档题.

7.（5分）（2022∙朝阳区一模）已知函数f（χ）=[2x-3'X》。，若/（加）=-1,则实数

-2x,x<C0.

第10页（共35页）

m的值为()

A.-2B.ɪC.1D.2

2

【考点】分段函数的应用；函数的值.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据题意，由函数的解析式可得［&*"或］πi<°,由此计算可得答案.

2JR-3=-11-2m=-l

【解答】解：根据题意，函数f(χ)=［2*-3'x≥0'

-2x,x<C0.

若/(机)=-1,则有或，m<0,

m

ι2-3=-ll-2m=-l

解可得"7=1；

故选：C.

【点评】本题考查分段函数的性质，涉及函数值的计算，属于基础题.

8.(5分)(2022•惠州一模)已知/(x)=，e，X、,则当XNO时，/QX)

(χ-16)2-143,X>4

与f(χ2)的大小关系是()

A./(2x)≤∕(x2)B./⑵)珂(W)

C.f(2Λ`)=∕(χ2)D.不确定

【考点】分段函数的应用.

【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据条件先判断2、与X2的大小关系，然后利用分段函数的单调性进行比较即可.

【解答】解：当x20时，由2jc=χ2,得χ=2或χ=4,

当04W2时，422，一20,此时/(x)在(-8,4］上为增函数，则/(2jc)

当2<x<4时，4<2JC<X2<16,

当4<χV16时，/(x)为减函数，则/(2D>∕(x2),

当x24时，2后，》16,此时/(x)为增函数,则/(2jc)⅞∕(χ2),

综上/(2、)2/(，)，

故选：B.

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数函数和二次函数的性质，先比较2、

第11页(共35页)

和χ2的大小关系，然后利用函数/(χ)的单调性进行比较大小是解决本题的关键，是中

档题.

TOgo×>x>0，

9.(5分)(2021秋•成都期末)设函数f(χ)=∣Jv,5若对任意给定的“正

—,x<0.

22,

(0,2),都存在唯一的非零实数3满足f(f(χcι))=-2am+aιπ则正实数”的取值

范围为()

A.(0,ɪ]B.(0,ɪ)C.(0,2]D.(0,2)

【考点】分段函数的应用.

【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学抽象.

【分析】作出函数/(X)的图象，结合/(X)的值域范围，可知"?。-2混°22.1,ae(0,

+8),且We(0,2),进一步求解正实数”的取值范围.

Iog05×,x>0Γ-log2x,x>0

【解答】解：f(X)

—,x<0ɪ-l,x<0

XX

作出函数/G)的图象如图:

由图可知，函数的值域为R,

要使对任意给定的加6(0,2),

22

都存在唯一的非零实数X。满足f(f(xo))=-2am+am>

则/(f(xo))>-I,O<∕(xo)≤2,可得JL≤XO<1.

4

[・”74-2加],tz∈(0,+o°),且加∈(0,2),

不等式等价为2ιnλaλ-ma-1≤0,

即(ma-1)(2ma+l)≤0,

*/2mα+l>0,

二不等式等价为ma-l≤0,即a≤A,

m

Vw∈(0,2),.∙.A∈(ɪ,+8),Bpα<A,

m2个2

.∙.正实数“的取值范围为(0,ɪ].

2

故选：A.

第12页(共35页)

【点评】本题主要考查了分段函数的应用，综合性较强，利用数形结合是解决本题的关

键，难度较大.

-x2+2mχ-m2,x≤∏ι⅛∕,(2-4)

10.（5分）（2021秋•聊城期末）已知函数/（x）=,β

Iχ-mI*x>m

>∕(3(z),则实数α的取值范围是（）

A.(-1,4)B.(-8,-1)u(4,+∞)

C.(-4,1)D.(-8,-4)U(1,+8)

【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质与判断.

【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算.

【分析】由已知可知/（x）单调递增，结合单调性即可求解不等式.

-x2+2mχ-m2,x≤m

【解答】解：由分段函数的性质，可知/（x）=J

Iχ-mI,X>m

当XW加时，/'(x)=-x2+2mx-“J开口向下,

对称轴x=m,故此时/（x）递增，且/（，”）=0,

当x>"?时，/(x)=X-递增，且/(m)=0,

故/（x）在R上单调递增,

若/(J-4)>/(3α),则42-4>30,

解得α>4或“<-1,

所以实数a的取值范围为（-8,-DU（4,+∞）.

故选：B.

【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，属于基础试题.

二.多选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

第13页（共35页）

IRX-II<1

(多选)11.(5分)(2022•莆田模拟)已知函数f(χ)=12ɪ1>x1,函数g

-4X2+16X-13,X≥1

(x)=∕(x)-a,则下列结论正确的是()

A.若g(x)有3个不同的零点，则”的取值范围是［1,2)

B.若g(x)有4个不同的零点，则α的取值范围是(0,1)

C.若g(X)有4个不同的零点XI,X2,X3，X4(XlVX2<X3<X4),则X3+X4=4

D.若g(X)有4个不同的零点XI,X2>X3>X4(xi<X2<X3<X4),则X3X4的取值范围是

【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系.

【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据题意，将问题转化为函数y=∕(x)与y=α图像交点个数问题，进而数形

结合求解即可得答案.

【解答】解：令g(x)=/(x)-α=0,得/(x)=a,

即所以g(X)零点个数为函数y=/(x)与y=4图像交点个数，

作出函数N=/(x)图像如图，

g(x)有4个不同的零点，则。的取值范围是(0,1),故8选项正确;

第14页(共35页)

g(X)有4个不同的零点xi，X2,R3,X4(X1<X2<X3<X4)»

此时X3，X4关于直线X=2对称，所以13+X4=4,故C选项正确；

由C选项可知X3=4-X4,所以*3X4=(4-X4)X4=-xj+4x1

由于g(X)有4个不同的零点，。的取值范围是(O,1),

故0<-4X>16X4-13<L

所以迫<_乂2+4(二故。选项正确.

4Λ442

故选：BCD.

【点评】本题考查了分段函数的性质，属于中档题.

(多选)12.(5分)(2021秋•南岗区校级期末)设函数f(χ)=[2'-lI'x≤2,集

-x+5,X>2

合M={x∣∕2QX)+2f(x)+⅛=0,A∈R},则下列命题正确的是()

A.当％=0时，M={0,5,7}

B.当4>1时，M=0

C.若M={α,b,c},则k的取值范围为(-15,-3)

D.若M={α,b,c,d}(其中αV6Vc<d),贝∣J2"+2'+c+d=14

【考点】分段函数的应用.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用：逻辑推理.

【分析】令f=∕(x),则方程y2(x)+2∕r(x)+Ar=O转化为於+2什左=0(*),求出方程(*)

的两个根，从而求出f(x)=O或f(x)=-2,求解即可判断选项/,当时，方程

(*)的判别式A=4-4A<0,即可判断选项8,分类讨论，分别研究方程(*)根的情

况，结合二次方程根的分布以及函数的图象分析求解，即可判断选项C,由题意，得到

方程(*)的两个根fι<-1且四6(0,1)且/(d)=fι,/(α)=/(⅛)=f(c)=及，

所以/(d)=-d+5=t∖,1-2a=2b-1=-C+5=∕2-求解即可判断选项D

【解答】解：令f=∕(x),则方程/(X)+2∕,(x)+⅛=0,即P+2f+左=O(*),

对于当氏=O时，方程(*)的两个根为八=0,f2=-2,

则/(x)=O或(〉)--2,

解得x=0或X=5或x=7,

所以Λ∕={0,5,7},

故选项/正确；

第15页(共35页)

对于8,当4>1时，方程(*)的判别式A=4-4∕<0,

故方程(*)无解，

所以M=0,

故选项8正确；

对于C,若方程(*)有两个相等的实数根，设为fι=f2=-l,

结合图象可知，/(x)=-1仅有一解，不符合Λ∕={tz,b,c}；

若M={α,b,c},则方程(*)有两个不相等的实数根，设其为fɪ,攵且fl<f2,

1+t^=-2<0

则Iɪ12,

Ltlt2=k

从而力，/2不可能均为正数，且恒有力<-1，

若M有三个元素，则还需∕2∈[1,3)或/2=0,

令ZZ(E)=A+2Z+%,

则[h(3)=15+k>0,解得-15<反-3或QO,

[h(l)=3+k<0

故选项C错误；

对于。，若Λf={α,b,C,d},即方程(*)的两个根八V-1且/26(0,1)且f(d)=

t∖,f(a)=f(b)=f(C)=t2,

所以/(d)=-d+5=t∖,1-2a=2b-1=-C+5=∕2,

故2。+2〃=2,

又t↑+t2-(-d+5)+(-c+5)--2,

所以c+d=12,

则2a+2b+c+d=14,

故选项O正确.

故选：ABD.

第16页(共35页)

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了函数与方程的综合应用，分段函数的理

解与应用，集合的表示方法的应用，对于分段函数问题，一般运用分类讨论或是数形结

合法进行研究，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题.

(多选)13.(5分)(2021秋•薛城区期中)德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,

为有理数

是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数/(x)=(1,'X,及，称为狄利克雷

[O,X为无理数

函数，则关于/(X)下列说法正确的是()

A.函数/(x)的值域是[0,1]

B.VxCR,fCf(x))=1

C.f(x+2)=∕(x)对任意x∈R恒成立

D.存在三个点/1(xi,f(xi)),B(X2，f(X2)),C(X3,f(X3)),使得C为等腰直

角三角形

【考点】分段函数的应用.

【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【分析】直接求得函数的值域判断/；对X分类讨论判断8与C；假设存在三个点/,B,

C,使得BC为等腰直角三角形，利用反证法思想推出矛盾判断D∙

【解答】解：对于/,函数的值域为{0,1},可知4错误；

对于8,当X为有理数时，/(x)=l,∕(∕(x))=f(x)=1,

当X为无理数时，f(x)=0,f(/(x))—f(X)=1,

Λ∀x∈R,/(/(x))=1,故8正确；

对于C,当X为有理数时，x+2为有理数，/(x+2)=∕(x)=1,

当X为无理数时，x+2为无理数，/(r÷2)=∕(x)=0,

：.f(x+2)=/(x)对任意XeR恒成立，故C正确；

对于。，若448C为等腰直角三角形，不妨设8为直角，

则/(xι),/(X2),/(X3)的取值的可能性为：/(xι)=0,/(X2)=1,/(X3)=0，

或/(xι)=1,∕(X2)=0,/(X3)=1，由等腰直角三角形的性质得∣X2-刈=1，

Λ/(XI)=/(X2)>这与/(xi)≠f(X2)矛盾，故。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查函数的新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，正确理解题意

是关键，是中档题.

第17页(共35页)

(多选)14.(5分)(2021秋•连城县校级月考)对于实数X,符号国表示不超过X的最大

整数，例如IXl=3,[2.5]=2,[-1.4]=-2,定义函数/(x)=X-IXl,则下列命题中正

确的是()

A./(-3.9)=/(4.1)

B.函数/(x)的最大值是1

C.函数/(x)的最小值是0

D.方程f(χ)1=0没有实数根

【考点】分段函数的应用；函数的值.

【专题】计算题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学

运算.

【分析】根据题意，作出函数/(x)=X-[X]的简图，由此分析选项，即可得答案.

【解答】解：根据题意，作出函数图像：

由此依次分析选项：

对于4f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,/(4.1)=4.1-4=0.1,故有-3.9)=/

(4.1),N正确：

对于8,由图可知，函数/(x)没有最大值，故8错误；

对于C,函数/(x)的最小值是0,C正确；

对于O,函数f(x)的图象每隔一个单位重复一次，所以方程g(X)=∕∙(x)-上有无

2

数个根，

即函数g(χ)的图像与X轴有无数个交点，故。错误；

【点评】本题考查分段函数的性质以及应用，关键是作出/(x)=X-团的简图，属于基

第18页(共35页)

础题.

(多选)15.(5分)(2021•浙江模拟)已知函数[(x)=12X1+21x^2'x)°,若/(χι)

IIn(-X)I