函数周期性对称性奇偶性问题（解析版）2023年高考数学技巧练习

专题05函数周期性，对称性，奇偶性问题

一、结论(同号周期，异号对称.)

1、周期性：

已知定义在R上的函数/(%),若对任意X∈R,总存在非零常数兀使得/(x+T)=/(x),则称/(x)

是周期函数，T为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：

⑴如果f(x+。)=一/(幻(α≠0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=Ia

⑵如果/(ɪ+。)=ɪ(α≠0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=Ia.

fM

⑶如果f(x+a)=-ɪ(α≠0),那么/(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

f(x)

(4)如果f(x+a)+f(x)=c(α。0),那么/(%)是周期函数,其中的一个周期T=Ia.

⑸如果/(x+α)=/(x+A)(α≠O/≠O),那么/(%)是周期函数,其中的一个周期T=Ia一切.

(6)如果/(x)=/(x+α)+/(x-α)(。工())，那么/(%)是周期函数,其中的一个周期T=6a.

2、对称性：

已知函数/(ɪ)是定义在R上的函数.

(1)轴对称：若/(χ+α)=∕3-χ)恒成立,则y=∕G)的图象关于直线X=等对称,特别地,若

f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=/(%)的图象关于直线x="对称；

'f(a+x)=f(a-x)

最常逆应用：若y=∕(x)关于％=。对称：可得到如下结论中任意一个：＜/(x)=∕(2α-x)；

f(-x)=f(2a+x)

周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.

(2)点对称：若/3+X)=—/S-x)+c,则y=∕(x)的图象关于点(应吆,£)对称.

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特别地,^f(a+x)=-f(a-x)+2h恒成立,则y=/(ɪ)的图象关于点(a,b)对称.

特别地,若f∖a+X)=-f{a-X)恒成立,则y=/(x)的图象关于点(a,0)对称.

,f(a+x)=-f(a-x)

最常逆应用：若y=∕(x)关于％=。对称：可得到如下结论中任意一个：＜/(∙v)=~√(2α-x)

f(-x)=-f(,2a+x)

二、典型例题

例题L(2023秋•广东•高二校联考期末)已知定义在R上的函数/(x)满足:

/(-x)+∕(x)=0,∕(2-x)=∕(x),且〃x)在(TI)内单调递增，则()

A./(-5.3)</(5,5)</(2)

B./(-5.3)</(2)</(5.5)

C./(2)</(-5.3)</(5.5)

D./(5.5)</(2)</(-5.3)

【答案】B

【详解】根据题意，函数"x)满足"τ)+"x)=0,f(2-x)=f(x),

则有/(2-x)=-/(-x),变形可得/(x+2)=-f(x),

则有/(x+4)="x),即函数/(x)是周期为4的周期函数，

对称轴为X=1，"x)在(Tl)内单调递增，所以〃x)在(L3)内单调递减，/(1.5)=/(5.5),

/(-5.3)=/(2.7-8)=/(2.7),1<1.5<2<2,7<3,

/./(1.5)>/(2)>/(2.7),即/(-5.3)</(2)</(5.5).

故选：B.

【反思】奇偶性，周期性，对称性问题，在高考中往往是同时呈现，题目比较综合，在本例中由

"-χ)=-f(χ)

/(τ)+f(x)=OJ(2-x)="x)联立,两式相加，得到“2-X)=-/(τ),用“-X”替

f(2-x)=f∖x)

换/(2-x)=—/(-力中的“X”变形可得/(x+2)=-∕(x),从而得到周期T=4,进而再利用周期性和已

知的单调性求解问题。

例题2.(2022春•贵州遵义•高一统考期末)对X∕x∈R,函数"x)满足"1T)="x+l),

“x+4)+∕(T)=O.当O<x≤l时Mx)=1?.设”=/出，⅛=∕[∣],c=/[等],则叫b,C的大

小关系为.

【答案】c>b>aUUa<b<c

【详解】•・・/(l-x)=∕(x+l),/(x+4)÷∕(-x)=0,

/(r)=∕(x+2),/(x+4)=-∕(-x),

/(x+4)=-∕(x+2),即/(x+2)=-∕(x),

ʃ(x+4)=-/(x+2)=/(%),

.•・函数”X)的周期为4,

又当0<x≤l时/(x)=l-

∙'∙c>b>a.

故答案为：c>b>a.

【反思】在本例中，由"1T)="%+l)=>∕(幻关于直线X=I对称，进而得到：/(r)=∕(2+x)与

“x+4)+∕(T)=O联立，<1J八,得到/(x+4)=-∕(x+2,即/(x+2)=-∕(x),从而根

J(τ)=-J(x+4)

据周期的公式得到周期为T=4,进而利用周期，再结合题意已知条件解题.

三、针对训练举一反三

1.(2023,新疆乌鲁木齐•统考一模)已知定义在R上的奇函数/(x),满足"x+3)=-∕(x),且当Xe(Oq

时，/(X)=X2-6X+8,则/(0)+/(1)+/(2)+…+/(100)=()

A.6B.3C.0D.-3

【答案】B

【详解】因为函数f(x)对任意的实数X,恒有/(x+3)=∙√∙(x),

所以f(x+6)=-∕(x+3)=∕(x),

所以函数"x)是以6为周期的周期函数，

又"x)定义在R上的奇函数，

所以/(O)=0,/(3)=-/(0)=0,

又当Xe(O,1]时，〃X)=X2-6X+8,

所以f(l)=3j(2)="T+3)=-/(T)=f(l)=3,

/(4)="l+3)f⑴=-3,〃5)=/(2+3)=-/(2)=-3,

所以/(0)+〃1)+/(2)+...+〃100),

=[∕(0)+∕(l)+∕(2)+-+∕(5)]×16+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4),

=0×16+3=3,

故选：B.

2.(2023•河南郑州•统考一模)已知函数/(x)定义域为R,/(x+l)为偶函数，/(x+2)为奇函数，且满

2023

足/⑴+/(2)=2,则2/的=()

k=∖

A.-2023B.OC.2D.2023

【答案】B

【详解】因为/(x+l)为偶函数，所以/(-X+D=/(x+1),所以/(τ+2)=/(x),

因为/(x+2)为奇函数，所以/(-x+2)=-∕(x+2),

所以/(χ+2)=-f{x},所以f(x+4)=-F(X+2)=/(x),

所以f(χ)是以4为周期的周期函数，

由/(f+2)=-F(X+2),令χ=0,得/'(2)=-f(2),则/(2)=0,

又/⑴+/(2)=2,得/(1)=2,

⅛∕(-x+2)=-∕(x+2),令χ=l,得/⑴=-/(3),则f(3)=-2,

由/(x+2)=-/(X),令χ=2,/(4)=-/(2)=0,

则/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

2023

所以Z/(⅛)="⑴+/(2)+/(3)+/(4)]X505+/(1)+/(2)+∕(3)=0×505+2+(-2)=0.

Jl=I

故选:B.

3.(2023秋•江西抚州•高三临川一中校考期末)若函数/(x)的定义域为R,且/(x+l)是偶函数，/(x+l)

关于点(2,0)成中心对称，则函数f(x)的一条对称轴为()

A.X=2023B.X=2022C.x=2()21D.x=2020

【答案】C

【详解】因为/(x+l)是偶函数，所以/(x+l)=∕(-x+l),所以/(x)关丁F=I对称，即/(x)=∕(2-x),

因为〃x+l)关于点(2,0)成中心对称，且“可向左平移1个单位长度之后得到/(χ+l),

所以/(x)关于(3,0)对称，所以“x)+∕(6-X)=0,

因为J(X)=F(2-x),/(x)+∕(6-X)=0,

所以-〃6—x)=∕(2-X),故/(x)=∙√(x+4)=∕(x+8),故/(x)的周期为8,

因为f(x)关于X=I对称，关于(3,0)对称，所以“x)关于x=5对称，

所以f(x)的对称轴为x=l+8%,%eZ或x=5+8Z,keZ,

因为2020=252x8+4,2021=252x8+5,2022=252x8+6,2023=252x8+7,

所以函数"x)的一条对称轴为x=2021,

故选：C

4.(2023秋,江苏苏州,高三统考期末)已知函数/(x)的定义域为R,/(x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数.

记函数g(x)=2∕(2x+l)+l,则斗(升()

A.25B.27C.29D.31

【答案】D

【详解】/(x+l)为奇函数，/(x+D是由-3向左平移1个单位得到，

则/(X)的图象关于点(1,0)对称，所以/(2-X)=-/(X),/(1)=0,

/(x+2)为偶函数，/(x+2)是由/(X)向左平移2个单位得到，

则/O)的图象关于直线x=2对称，所以/(2-X)=/(2+x),则f(3)=0,

所以/(A+2)=-f{x),从而/(x+4)=-f(x+2)=/(x),

/(X)是周期函数，且周期为4,所以/(2左-I)=OMeZ,

因为f(x)的图象关于直线x=2对称，也关于点(LO)对称，

所以f(x)的图象关于点(3,0)对称，所以/(2)+/(4)=0,

所以/(2)+f(3)+f(4)+A5)=0,

31

所以Z/(k+1)=7[/(2)+/(3)+/(4)+"5)]+[/(2)+/(3)+/(4)]=0

k=∖

因为g(g)=2∕(A+l)+l,keZ,

所以不=2£/伏+1)+31=31,

k=∖I，/k=l

故选：D.

二、多选题

5.(2023秋•湖南永州•高一统考期末)已知定义在R上的奇函数/(x)满足/(2+x)=∕(r),若"1)=2,

则()

A.4为"x)的一个周期B.7(x)的图象关于直线X=I对称

C./(2022)=0D./(2023)=2

【答案】ABC

【详解】对于A：函数解力为奇函数,则/(2+x)"X)=-"x),

则/(4+X)=∕(2+2+X)=-∕(2+X)=∕(X),

则“力的一个周期为4,故A正确；

对于B：/(2+x)=∕(-x),则函数关于X=I=I对称，故B正确；

对于C：/(x)的一个周期为4,

.∙..∕∙(2022)≈∕(505×4+2)≈∕(2),

令"2+x)=∕(T)中的χ=0,则/(2)=/⑼，

:函数f(x)为定义在R匕奇函数，

∙∙J(O)=O,

"(2022)=0,故C正确；

对于D："x)的一个周期为4,

.∙∙/(2023)=/(506×4-l)=/(-1),

函数〃x)为奇函数，

/(-1)=-/0)=-2,

.∙.∕(2023)=-2,故D错误；

故选：ABC.

三、填空题

6.(2023•四川南充•四川省南部中学校考模拟预测)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意的XeR

都有/(x+∣)=-"x),当χe∖3θ］时，/(χ)=log2(l+χ),则”2021)+“2022)=

【答案】-1

【详解】解：根据题意，f(x)满足对任意的XeR都有/(x+∙∣)=-"x),

所以〃x+3)=-f卜+∣)=∕(x),则/(x)是周期为3的周期函数，

则/(2021)=/(2022-1)=/(T),/(2022)=/(0),

又由f(x)为定义在R上的奇函数，则/(0)=0,

又由时，/(x)=log2(l+x),则/(T)=_/(-l+|)=_/(£|=/(_£)=log2g=_l,

则J(2O21)=F(T)=T,/(2022)="0)=0,则〃2021)+/(2022)=-1+0=-1.

故答案为：-1

7.(2023春•安徽•高一淮北一中校联考开学考试)设函数/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x)=∕(2-x),

「35'

当xe［0,l］时，于(x)=G,则函数g(x)=∣tanπx∣-∕(x)在-王万上所有零点之和为.

【答案】6

【详解】V=ItanmI是由y=tanX纵坐标不变，横坐标变为原来的L倍，再将X轴下方的图象翻到X轴上方

π

即可得到，

又有F(X)是定义在R上的偶函数，且/(X)=/(2-X)=/(x-2),

所以f(χ)图象关于直线x=l对称，且周期为2,

又因为xe［0,l］时，/(χ)=4x.

^35'

在同一坐标系卜，ISJ出y=∣tanτtv∣及/(χ)在的图象如下所示：

山图象可知V=ItanXrl与f(x)交点个数为10个，其零点之和为6.

故答案为：6

8.(2023秋・湖南娄底•高一校考期末)已知函数AX)的定义域为R,f(x+D为偶函数，〃x+2)-1为奇函

数，且F(O)=IJ⑴=2,则/⑴+/(2)++/(2022)=.

【答案】2023

【详解】因为/(χ+l)为偶函数，所以F(X)的图象关于直线X=I对称，得/(X)=A-X+2)①.

因为f(x+2)-l为奇函数,所以/(x+2)-l=∙√(-x+2)+l,得/(x+2)+∕(-x+2)=2②.

由①,②得/(x)+∕(x+2)=2J(X+2)+∕(x+4)=2,所以/(x)=F(X+4).

由/(x)+∕(x÷2)=2,得/(0)+/⑵=2,/(I)+/⑶=2J⑵+/(4)=2,得/⑵=1,

故/⑴+/(2)++/(2022)=5051/(1)+/(2)+/(3)+/(4)J+/(2021)+/(2022)

=505x4+2+1=2023.

故答案为：2023.

9.(2023•全国•高三专题练习)对VXeR,函数/(x)满足"1—x)=∕(x+l),f(x+4)+f(T)=O.当OMXVl

时，"x)=l-x2.设〃=/(£|,⅛=∕[∣],c=∕(等)，则”,b,C的大小关系为.

【答案】c>b>atttta<b<c

【详解