第09讲 二项式定理（六大题型）（解析版）

第09讲二项式定理【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一：二项式定理1、定义一般地，对于任意正整数，都有：（），这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．式中的做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数2、二项式（a+b）n的展开式的特点：（1）项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；（2）二项式系数：第r+1项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n．字母a降幂排列，次数由n到0；字母b升幂排列，次数从0到n，每一项中，a，b次数和均为n；知识点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：（）公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是；②字母b的次数和组合数的上标相同；知识点三：二项式系数及其性质1、的展开式中各项的二项式系数、、…具有如下性质：①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即；②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数，相等，且最大．③各二项式系数之和为，即；④二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．知识点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．2、展开式中的系数求法（的整数且）知识点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．知识点四：二项式定理的应用1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．2、利用赋值法进行求有关系数和．3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法．4、证明有关的不等式问题．5、进行近似计算．【典型例题】题型一：求二项展开式的特定项或特定项的系数【例1】（2024·河南驻马店·高二统考期末）式子二项式定理展开中的第6项为．【答案】【解析】由，所以二项展开式的通项公式，，，令，可得展开式的第六项为.故答案为：.【变式1-1】（2024·高二课时练习）的展开式的第3项的系数为；常数项为．【答案】【解析】由二项式展开式的通项为，可得展开式中第3项为，所以第3项的系数为，令，可得，所以展开式的常数项为.故答案为：；.【变式1-2】（2024·山东滨州·高二校联考阶段练习）若的展开式中的系数为50，则实数．【答案】【解析】∵的展开式中含的项为，由已知的系数为，∴．故答案为：.题型二：二项式之积【例2】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）展开式中的系数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的展开式中通项是，，则，要求展开式中的系数，只需，故展开式中的系数是.故选：A.【变式2-1】（2024·甘肃白银·高二校考期末）的展开式中，含的项的系数是（

）A． B．5 C．15 D．35【答案】D【解析】二项式的展开式中的通项，则含的项的系数为.故选：D【变式2-2】（2024·辽宁本溪·高二校考期末）的展开式中的系数为（

）A． B．7 C．77 D．【答案】B【解析】的展开式通项为，故的展开式中的系数为，故选：B.题型三：三项式及多项式展开问题【例3】（2024·贵州黔西·高二校考期末）的展开式中，的系数为（

）A．80 B．60 C． D．【答案】D【解析】，则其展开式通项为，令，则的展开式中含的项为，所以的系数为，故选：D．【变式3-1】（2024·四川达州·高二统考期末）的展开式中，的系数为（

）A．20 B． C． D．15【答案】B【解析】，其展开式的通项为：，取得到的系数为．故选：B．【变式3-2】（2024·广东揭阳·高二统考期末）的展开式中的系数为（

）A．200 B．210 C．220 D．240【答案】B【解析】依题意，，而展开式中的系数为，所以的展开式中的系数为210.故选：B题型四：有关二项式系数的性质及计算的问题【例4】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则二项式的展开式共项，即，解得.故选：A.【变式4-1】（2024·河南周口·高二校考阶段练习）的展开式中二项式系数最大的为，则不可能为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【解析】根据二项式系数的对称关系，当时，所有二项式系数中，最大；当时，所有二项式系数中，，且均为最大；当时，所有二项式系数中，最大；当时，所有二项式系数中，，且均为最大；故选:A.【变式4-2】（2024·山东淄博·高二统考期末）已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（

）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【解析】二项式展开式的系数即为其二项式系数，所以第三项的系数为，第四项的系数为，所以，即，解得，所以展开式一共有项，其第项的二项式系数最大.故选：C题型五：利用赋值法进行求有关系数和【例5】（多选题）（2024·黑龙江·高二校联考期末）若，其中为实数，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，则原式转化为，对A，令，得，故A正确；对B，由二项式定理得，故B错误；对CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正确，D错误.故选：AC【变式5-1】（多选题）（2024·河南·高二校联考期末）已知，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】选项A：取，则，则错误；选项B：取，则，则，故B正确；选项C：的展开式通项为，所以，C正确；选项D：取，则，将其与作差，得，所以，故D正确.故选：BCD.【变式5-2】．（2024·高二课时练习）设，求下列各式的值：(1)；(2)；(3).【解析】（1）在中，令，得．（2）令，得，令，得

②，两式相减，得．（3）．【变式5-3】．（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知二项式，且满足.(1)求的值；(2)求的值.【解析】（1）由得：，解得.（2）由（1）知，根据二项式展开式通项，易知，，，为负值，其它系数为正值，所以，，于是，令则；令则；所以.题型六：二项式定理的综合运用【例6】（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期末）已知，且能被17整除，则的取值可以是.（写出一个满足题意的即可）【答案】1（答案不唯一）【解析】，要使能被17整除，则能被17整除即可，则，故可取，故答案为：【变式6-1】（2024·河南郑州·高二校联考期末）除以所得的余数是.【答案】22【解析】法一：由，前9项可以被整除，而，故余数为.法二：由，而，故余数为.故答案为：【变式6-2】（2024·高二课时练习）用二项式定理估算.（精确到0.001）【答案】1.105【解析】.故答案为：1.105【过关测试】一、单选题1．（2024·全国·高二随堂练习）的展开式中含项的系数为（

）A．1984 B．960 C．660 D．704【答案】D【解析】的展开式的通项为，所以的展开式中含项的系数为．故选：D2．（2024·江西南昌·高二南昌十中校考阶段练习）在的展开式中，项的系数为（

）A．299 B．300C． D．【答案】C【解析】的展开式中，项是从5个多项式中任取1个用，再余下4个多项式中任取1个用，最后3个多项式都用1相乘的积，即，所以项的系数为.故选：C3．（2024·河北邢台·高二统考阶段练习）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，所以，则展开式的通项为（且），令，解得，所以，即展开式中常数项为.故选：D4．（2024·北京西城·高二期末）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（

）A． B．945 C．2835 D．【答案】D【解析】令，得，得，则的展开式的通项，令，得，则，故展开式中的系数为，故选：D．5．（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）二项式展开式的常数项为（

）A． B．70 C． D．【答案】D【解析】，令，即，故，即展开式的常数项为.故选：D.6．（2024·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末），则（

）A．31 B．1023 C．1024 D．32【答案】B【解析】由二项式的展开式的通项为，所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数，令，可得，令，可得，所以.故选：B.二、多选题7．（2024·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）在的展开式中，则（

）A．所有项的系数和为0 B．二项式系数最大的项为第3项和第4项C．所有项的二项式系数和为64 D．常数项为【答案】BD【解析】A：设，所有项的系数为，所以，故A错误；B：所有项的二项式系数为，最大的为和，对应的是第3项和第4项，故B正确；C：所有项的系数之和为，所以C错误.D：二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，故D正确.故选：BD.8．（2024·江西宜春·高二校考阶段练习）在的展开式中，则（

）A．二项式系数最大的项为第3项和第4项B．所有项的系数和为0C．常数项为D．所有项的二项式系数和为64【答案】AC【解析】A：所有项的二项式系数为，最大的为和，对应的是第3项和第4项，故A正确；B：设，所有项的系数为，所以，故B错误；C：二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，故C正确；D：所有项的系数之和为，所以D错误.故选：AC9．（2024·福建泉州·高二校考期末）关于二项式的展开式，下列结论正确的是（

）A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为C．展开式中不含项 D．常数项为【答案】BCD【解析】对于A选项，二项式的展开式中所有项的系数和为，A错；对于B选项，展开式二项式系数和为，B对；对于C选项，展开式通项为，令，解得，故展开式中不含项，C对；对于D选项，令，可得，故展开式中常数项为，D对.故选：BCD.三、填空题10．（2024·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数为．【答案】【解析】因为在二项式的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项，所以展开式中第4项是中间项，共有7项，则，所以展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中含项的系数是.故答案为：．11．（2024·上海金山·高二校考期末）二项式的展开式中的常数项是．（用数字作答）【答案】【解析】二项式的展开式的通项公式，令，得,则常数项为，故答案为：160.12．（2024·江苏·高二统考期末）的展开式中二项式系数最大的项的系数是.（用数字作答）【答案】252【解析】因为，所以展开式中最大的二项式系数为，对应的是第6项，第6项的系数是.故答案为：25213．（2024·江苏镇江·高二统考期末）在展开式中，项的系数为.【答案】【解析】由题意，多项式，根据组合数的运算，展开式中的系数为，又由.故答案为：.14．（2024·广东广州·高二校考期末）设，且，若能被13整除，则.【答案】【解析】依题意，，显然是13的整数倍，则要使能被整除，当且仅当能被整除，而，，则，解得，所以.故答案为：15．（2024·高二课时练习）将精确到0.01的近似值是．【答案】0.96【解析】因为，且将精确到0.01，故近似值为0.96故答案为：0.9616．（2024·辽宁本溪·高二校考期末）在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图所示．那么，在“杨辉三角”中，第行会出现三个相邻的数，其比为．第0行

1第1行

1

1第2行

1

2

1第3行

1

3

3

1第4行

1

4

6

4

1第5行

1

5

10

10

5

1【答案】62【解析】由题意可知第行第个数为，根据题意，设所求的行数为，则存在正整数，使得连续三项，，，有且．化简得，，联立解得，．故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．故答案为：62.17．（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）设的小数部分为，则.【答案】7【解析】因为，所以的整数部分为3，则，即，所以，故.故答案为：718．（2024·黑龙江·高二校联考期末）已知展开式的常数项为60，则实数的值为.【答案】【解析】展开式的通项公式为，令，解得，所以常数项为，解得.故答案为：19．（202