8.3 正态分布（原卷版）

8.3正态分布一、正态曲线及其性质1、正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．2、正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．3、正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.4、正态曲线的特点：（1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方．（2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1.（3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．（4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.（5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．（6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.（7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.5、正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积．6、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.二、正态分布的应用（3σ原则）解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．题型一正态曲线的图象与性质【例1】（2023·江苏·高二专题练习）设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是（）（人A7.5练习）A．，B．，C．，D．，【变式1-1】（2023·高二课时练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（）（人A7.5练习）A．越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C．越大，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）A．B．C．对任意正数，D．对任意正数，【变式1-3】（2023·高二单元测试）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（）A．，B．，C．，D．，题型二利用正态分布的对称性求概率【例2】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）若服从正态分布，且，则的值为______.【变式2-1】（2023秋·山东德州·高二统考期末）已知随机变量X服从正态分布，且，，则______．【变式2-2】（2023春·山东青岛·高二校考期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布.现已知随机变量Y服从正态分布.若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则________.【变式2-3】（2023·全国·高二专题练习）重庆市奉节县所产脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径X（单位：mm）服从正态分布，则果实横径在的概率为______.（附：若，则；.）题型三正态分布的实际应用【例3】（2023春·河南开封·高二统考期中）某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（）A．3200B．6800C．3400D．6400【变式3-1】（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知某地区有名同学参加某次数学模拟考试（满分分），其中考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（）（参考数据：①；②；③）A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分B．的值越大，成绩不低于分的人数越少C．若，则这次考试分数高于分的约有人D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为【变式3-2】（2023·全国·高二专题练习）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．（1）求和；（2）已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．参考数据：若，则：，，，．【变式3-3】（2023·高二课时练习）某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：）服从正态分布.（1）当质检员随机抽检20袋该种零食时，测得1袋零食的质量为73，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据.（2）规定：这种零食的质量在62.8~69.4的为合格品.①求这种零食的合格率；（结果精确到0.001）②从该种零食中任意挑选n袋，合格品的袋数为Y，若Y的数学期望大于58，求n的最小值.参考数据：若，则，，.题型四标准正态分布应用【例4】（2023·高二课时练习）记（k，b为实常数），若，，则__________.【变式4-1】（2022春·江苏盐城·高二滨海县五汛中学校考期中）（多选）若随机变量，，其中，下列等式成立的有（）A．B．C．D．【变式4-2】（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布.（1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题.①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求；②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由；（2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望.附：①随机变量服从正态分布，则，，②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生【变式4-3】（2023春·江苏南京·高二南京外国语学校校考期中）新高考改革后江苏省采用“”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门.（1）若按照“”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；（2）某教育部门为了