8.2.1 随机变量及其分布列（解析版）

8.2.1随机变量及其分布列一、随机变量与离散型随机变量1、随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.2、离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.【注意】离散型随机变量的特征：（1）可以用数值表示；（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；（3）试验结果能一一列出．3、“三步法”判定离散型随机变量（1）明确随机试验的所有可能结果；（2）将随机试验的试验结果数量化；（3）确定实验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是。二、离散型随机变量的分布列1、定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，我们称X取每一个的概率，为X的概率分布列，简称分布列．离散型随机变量的分布列可以用表格表示：X…P…2、离散型随机变量分布列的意义和作用（1）离散随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随机试验数量特征的基础。（2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和。3、离散型随机变量的分布列的性质（1）；（2）三、0-1分布1、定义：对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么X的分布列如表所示．X01我们称X服从两点分布或0－1分布．【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是．2、两点分布的适用范围（1）研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律；（2）研究某一随机事件是否发生的概率分布规律。如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究。题型一随机变量与离散型随机变量【例1】（2022春·北京·高二期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（）①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；③某同学射击3次，命中的次数；④某电子元件的寿命；A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】C【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；故选：C.【变式1-1】（2023·全国·高二专题练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）A．至少取到1个白球B．取到白球的个数C．至多取到1个白球D．取到的球的个数【答案】B【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是个，ACD错误；故选：B.【变式1-2】（2023·全国·高二专题练习）（多选）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为（）A．所取牌数B．所取正牌和大王的总数C．这副牌中正牌数D．取出的副牌的个数【答案】BD【解析】对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误，对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确，对于C，这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误，对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以D正确，故选：BD【变式1-3】（2022春·河北唐山·高二校考期中）给出下列各量：①某机场候机室中一天的游客数量；②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；③某同学离开自己学校的距离；④将要举行的绘画比赛中某同学获得的名次；⑤体积为8的正方体的棱长.其中是离散型随机变量的是（）A．①②④B．①②③C．③④⑤D．②③④【答案】A【解析】由题意，①②④是离散型随机变量，③是连续型随机变量，⑤中体积为8的正方体的棱长是一个常量，不是随机变量.故选：A.【变式1-4】（2022·全国·高二专题练习）袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为，则表示“放回4个球”的事件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故.故选：B.题型二分布列的性质及其应用【例2】（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知随机变量的分布列为01则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意：，可得：.故选：D.【变式2-1】（2023·江苏·高二专题练习）设是一个离散型随机变量，其分布列为则等于（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】依题意，，解得（大于，舍去）或.故选：C【变式2-2】（2023春·浙江·高二校联考期中）随机变量的分布列为，其中是常数，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，，，，则，解得，所以，，所以.故选：A【变式2-3】（2023春·高二课时练习）设随机变量的概率分布列为：X1234Pm则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，，即事件的对立事件是的事件，所以.故选：C题型三求离散型随机变量的分布列【例3】（2023春·湖南·高二校联考期中）从甲､乙､丙等10人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，求次传球后球在甲手中的概率．【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】（1）依题意，可能取值为，，，，，所以随机变量的分布列为：0123（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，设次传球后球在甲手中的概率为，则有，所以即，所以，且所以数列表示以为首项，为公比的等比数列所以，所以即次传球后球在甲手中的概率是.【变式3-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）某班举行“党史知识”竞赛，共12个填空题，每题5分，满分60分.李明参加该竞赛，其中前9个题能答对，后3个题能答对的概率分别为，，.（1）求李明最终获得满分的概率；（2）设李明的最终得分为，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列见解析【解析】（1）李明最终获得满分的概率为.（2）前个题得分分；后个题，得分可能是，所以的可能取值为，所以，，，.所以的分布列为：【变式3-2】（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考阶段练习）红旗中学某班级元旦节举行娱乐小游戏.游戏规则：将班级同学分为若干游戏小组，每一游戏小组都由3人组成，规定一局游戏，“每个人按编排好的顺序各掷一枚质量均匀的骰子一次，若骰子向上的面是1或6时，则得分（为3人的顺序编号，，2，3，若得分为负值时即为扣分），否则，得分，各人掷骰子的结果相互独立”.记游戏小组一局游戏所得分数之和为.（1）求的分布列；（2）若游戏小组进行两局游戏，各局相互独立，求至少一局得分的概率.【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】（1）由条件可知：当一组中三人都掷出1或6面向上时的取值为当一组中两人掷出1或6面向上时的取值为当一组中一人掷出1或6面向上时的取值为当一组中都没有掷出1或6面向上时的取值为掷一次骰子，向上的面是1或6的概率为，向上的面不是1或6的概率为.∴，，，.∴的分布列为03060（2）由（1）可知，游戏小组一局游戏.记“游戏小组两局游戏，至少一局游戏得分”为事件.则.故答案为：【变式3-3】（2023春·山东·高二校联考阶段练习）某企业有甲、乙两个研发小组，甲组研究新产品成功的概率为，乙组研究新产品成功的概率为，现安排甲组研发新产品，乙组研发新产品，设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利万元的分布列．【答案】（1）；（2）分布列见解析.【解析】（1）因为甲、乙两个研发小组研究新产品成功的概率分别为为和，且相互独立，所以，恰好有一种新产品研发成功的概率；（2）根据题意，的可能取值有.，所以分布列为：【变式3-4】（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）袋中装有4个大小相同的小球，编号为，现从袋中有放回地取球2次.（1）求2次都取得3号球的概率；（2）记这两次取得球的号码的最大值为，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列见解析【解析】（1）由题意从袋中有放回地取球2次，每次取到3号球概率为，故2次都取得3号球的概率.（2）随机变量的取值为，则，，，所以的分布列为：1234题型四两点分布的判断及应用【例4】（2022春·山东菏泽·高二曹县一中校考阶段练习）（多选）下列选项中的随机变量服从两点分布的是（）A．抛掷一枚均匀的骰子，所得点数为B．某运动员罚球命中的概率为0.8，命中得1分，不中得0分，为罚球一次的得分C．从装有大小完全相同的5个红球、3个白球的袋中任取1个球，D．从含有3件次品的100件产品中随机抽取一件，为抽到的次品件数【答案】BCD【解析】由两点分布的定义可知：对于A，X=1，2，3，4，5，6，所以不属于两点分布；对于B，X=0，1，属于两点分布；对于C，X=0，1，属于两点分布；对于D，抽取一次，则或为正品或为次品，故X=0，1，属于两点分布；故选：BCD.【变式4-1】（2022春·河南·高二校联考期中）设某项试验的成功率是失败率的3倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】由已知得的所有可能取值为0，1，且，代入，得，所以，故选:D．【变式