4.4.1 对数函数的概念（解析版）

4.4.1《对数函数的概念》分层练习考查题型一对数函数的概念1．下列函数，其中为对数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；函数是对数函数，C是；函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是.故选：C2．若函数为对数函数，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题可知：函数为对数函数所以或，又且所以故选：B3．已知函数，则.【答案】-2【详解】因为，所以.故答案为：-24．已知对数函数，则．【答案】2【详解】由对数函数的定义，可得，解得．故答案为．【点睛】本题考查对数函数的定义，是基础题．5.函数的图象如图所示，该图象由幂函数与对数函数“拼接”而成．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意得，解得，所以．（2）由得，解得，∴取值范围为．考查题型二对数函数的定义域1．函数的定义域（

）A．B．C． D．【答案】B【详解】函数要有意义，需满足，解得，且，故函数定义域为：，故选：B2．函数的定义域为．【答案】【详解】由题，.故答案为：3．已知函数的定义域为，求的取值范围.【答案】【详解】由题意知的解集为.当，即时，恒成立；当时，恒成立；当时，不恒为正，因此的取值范围为.【点睛】本题考查函数的定义域．解题关键是转化为恒成立.考查题型三对数函数的应用1．体检时使用的“标准对数视力表”发明者是我国已故眼科专家缪天荣教授.体检者的视力分别有“小数记录”和“五分记录”两种方式，例如表中左侧最下方的49是“五分记录”，0.8是“小数记录”，用、分别表示“五分记录”和“小数记录”，则两者之间的关系是（

）（参考数据）

A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意：当时，，则排除C、D两个选项，A选项：当时，，而由题意，故排除A选项，故选：B.【点睛】本题考查根据对数运算确定对数型函数，是基础题.2．人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度x（单位：）满足.一般两人正常交谈时，声音的等级约为60dB，燃放烟花爆竹时声音的等级约为150dB，那么燃放烟花爆竹时声音强度约为两人正常交谈时声音强度的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【详解】分别记正常交谈和燃放烟花爆竹时的声音强度分别为，则有，解得，则.故选：C3．某地去年的GDP（国内生产总值）为3000亿元人民币，预计未来5年的平均增长率为6.8%.（1）设经过年达到的年GDP为亿元，试写出未来5年内，关于的函数解析式；（2）经过几年该地GDP能达到3900亿元人民币？【答案】（1）；（2）约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币.【详解】（1）由题意.（2）令，得，∴约经过4年该地GDP能达到3900亿元人民币.【点睛】本题考查指数函数的应用．在指数式中已知幂要求指数时，可取对数计算．4．2022年6月5日神舟十四号载人飞船在长征二号F遥十四运载火箭的托举下点火升空，成功进入预定轨道．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据火箭理想速度公式，可以计算理想状态下火箭的最大速度v（单位：），其中（单位：）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，应称为总质比．已知A型火箭喷流相对速度为，根据以上信息：（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为；（2）若经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为．（所有结果保留整数，参考数据：）【答案】(1)3129；(2)68.【详解】（1）当总质比为50时，A型火箭的最大速度为：；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度为，总质比为，要使火箭的最大速度至少增加，则，即，即，即，所以，所以在材料更新和技术改进前总质比的最小值为68.故答案为:3129；68.1．若函数的图象过点，则（

）A．3 B．1 C．-1 D．-3【答案】A【详解】解：由已知得，所以，解得：，故选：A．2．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则【答案】【详解】解：根据题意，满足对任意的都有，所以，则是周期为的周期函数，则，，又由为定义在上的奇函数，则，又由时，，则，则，，则故答案为：3．已知函数为偶函数．(1)求k的值；(2)设函数，若，恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）函数的定义域为，因为函数为偶函数，所以，即，所以，解得，经检验，符合题意，所以；（2）由（1）得，则，令，则，令，解得，要使，恒成立，只需要函数的值域是的子集即可，当时，因为，所以，则，解得，当时，则，则，解得，综上所述，a的取值范围为．【点睛】关键点点睛：将，恒成立，转化为函数的值域是不等式的解集的子集，是解决本题的关键.4．2021年04月17日，在“实现碳达峰、碳中和，企业何为”论坛上，中华环保联合公副主席杨朝飞表示：“环境污染实际上就是资源的浪费，不管什么污染物，原本都是资源.因为没有充分利用，排放出去，进入到水、空气、土壤中，变成了污染源.”这就要求企业主动升级.为此，某化工企业积极探索先进技术，来减少排放的废气中所含有的污染物的浓度.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物浓度为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度为，则第次改良工艺后所排放的废气中的污染物浓度可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.已知改良工艺前排放的废气中污染物浓度为的（单位：），第一次改良工艺后排放的废气中污染物浓度为（单位：）.(1)求的值并写出改良工艺后所排放的废气中含有的污染物浓度的函数模型；(2)依据国家环保要求，企业所排放废气中含有的污染物浓度不能超过0.08，（单位：）试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物浓度达标.（参考数据：取