重组卷04-2023年高考数学真题重组卷（北京）（解析版）

绝密★启用前

冲刺2023年高考数学真题重组卷04

北京地区专用(解析版)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.(2019・北京・高考真题)已知集合A=3-l<x<2),B={x∖x>∖},则AUB=

A.(-1,1)B.(I,2)C.(-1,+8)D.(I,+∞)

【答案】C

【解析】∙.F={X∣-1<X<2},8={X∣>1},

/.AB=(-1,+CO),

故选C.

2.(2019・北京・高考真题)设函数f(x)=COSX+6SinX(A为常数)，贝IJ"D"是<(x)为偶函数”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】b=Q时，/(x)=CoSX+bsinX=COSX,f(χ)为偶函数;

/(ɪ)为偶函数时，/(-χ)=∕(χ)对任意的X恒成立，

f(-x)=cos(-x)+⅛sin(-x)=cosX-ASinX

COSX+6SinX=COSX-Z?SinX,得加inr=。对任意的X恒成立.，从而8=0.从而“6=0"是"/(x)为偶函数”的充

分必要条件，故选C.

3.(2017•北京•高考真题)已知函数/(X)=3'—(；『，则f(χ)

A.是奇函数，且在R上是增函数B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数D.是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A

且“""(J=

【解析】函数/（x）=3'-的定义域为R，

即函数/（x）是奇函数,

又y=3',y=-（；）在R都是单调递增函数，故函数Fa）在R上是增函数.

故选A.

4.（2016・北京・高考真题）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋

中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙

盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

【答案】B

【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到

的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且

黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到

两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.

【考点】概率统计分析

5.（2014.北京.高考真题）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特

定条件下，可食用率P与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a,b,c是常数），如图记录

了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为

0.5---------------厂十-T

•I!

::

：：!

---------!--!---1--

O345r

A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟

【答案】B

【解析】由图形可知，三点（3,0.7）,（4,0.8）,（5,0.5）都在函数P="+"+c的图象上,

9α+3A+C=O.7

所以｛16α+46+c=0.8,解得α=-O.2∕=1.5,c=-2,

25o+5b+c=0.5

所以P=-0.2/+1.5f-2=-0.2Q—二1+与，因为f>0,所以当f=?=3.75时，。取最大值，

4164

故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.

6.（2015•北京・高考真题）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙

三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是

“燃油效率（km∕L）

速度(kπVh)

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

【解析】对于A,由图象可知当速度大于40hw〃?时，乙车的燃油效率大T5kw∕L,

•••当速度大于40km∕∕2时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5历〃，故A错误；

对于2,由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路

程最远，

二以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故8错误；

对于C,由图象可知当速度为80初时，甲车的燃油效率为IObML,

即甲车行驶10k"时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80b”，燃油为8升，故C错误；

对于。，由图象可知当速度小于805四时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，

二用丙车比用乙车更省油，故。正确

故选D.

7.（2018•北京•高考真题）在平面直角坐标系中，记d为点P（COS高Sine）至）直线X-阳一2=0的距离,当。、

W变化时，d的最大值为

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【解析】QCOSB+SinP为单位圆上一点，而直线X-缈-2=0过点A(2,0),

所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.

8.(2010.北京•高考真题)d,5为非零向量,“a是“函数”x)=(xa+b)?(也-。)为一次函数”的

A.充分而不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】f(x)=(xa+b)‰b-a)

=a-bx2+(M∣2-|«∣2)x-a¾,

若a-Lb<则a»b—0,

如果同时有Ial=IbI,则函数恒为0,

不是一次函数，故不充分；

如果/(X)是一次函数,则%占=0,

故aLb，该条件必要；

故选：B.

9.(2018・北京・高考真题)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载埔最早用数学方法计算出半音比例，

为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第

二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于啦.若第一个单音的频率为力则第八

个单音的频率为

A.√2∕B.五f

C.蚯fD.I疗/

【答案】D

【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为啦，

所以='y∕2an,l(n≥2,neN+),

1l7I7

又4=F，则为=aiq=/(√2)=^2/

故选D.

10.(2019∙北京•高考真题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：Y+V=l+∣x及就是其中

之一(如图).给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过近；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A.①B—C.①②D.①②®

【答案】C

【解析】由J+y2=i+∣χ∣y得,丁2-由=14。-母]=1-苧1-苧厘),/g,

所以X可为的整数有0,-1,1,从而曲线c：f+y2=ι+k∣y恰好经过(0,1),0_]),(1,0),(1,1),(IO)(Ll)六个整点,

结论①正确.

22

由X2+y2=1+Wy得,/+婢1+£221,解得χ2+y242,所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过√2.

结论②正确.

如图所示,易知A(0,T),B(l,0),C(U,),r>(0,l),

13

四边形ABCD的面积SW=5X1X1+1X1=5,很明显“心形”区域的面积大于2SAIICD,即“心形”区域的面积大

于3,说法③错误.

第二部分(非选择题共Iio分)

二、填空题5小题，每小题5分，共25分.

11.(2016・北京・高考真题)设6^/?,若复数(1+，)(。+，)在复平面内对应的点位于实轴上，则。=.

【答案】T.

【解析】由题意得(l+i)(α+i)=α-l+(α+l)ieRna=-L

12.(2018・北京・高考真题)设函数/(x)=COS"-抑0>0),若/(x)≤∕[?)对任意的实数X都成立，则

ω的最小值为.

【答案】I

【解析】因为f(x)≤∕(?)对任意的实数X都成立，所以“X)取最大值/仔],

JTJT2

所以-0=2kπ(k∈Z),ω=Sk+-(keZ),

463

因为。>0,所以当A=O时，。取最小值为;.

13.(2013.北京・高考真题)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如

果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.

【答案】96

【解析】5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4

和5,四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4x4：=96种

考点：排列、组合及简单计数问题

χ2V2

14.(2016∙北京・高考真题)双曲线二-9=1(4>0,6>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在

ab

的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.

【答案】2

【解析】因为四边形Q4BC是正方形，所以NAoB=45。，所以直线Q4的方程为y=x,此为双曲线的渐近

线，因此α=b,又由题意知∣O3∣=2√Σ,所以/+从=〃+。2=(2应)2,a=2故答案为2.

15.(2008∙北京.高考真题)某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下第*棵树

种植在点鼻心，然)处，其中占=1,y=ι,当Z≥2时，

T(a)表示非负实数。的整数部分，例如7(2.6)=2,T(0.2)=0.

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为__________.第2008棵树种植点的坐标应为

【答案】(1,2)(3,402)

【解析】一一代入计算得数列｛%｝为1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5

数歹∣J{%}为1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,33,3,3,4,4,4,4,4

因此，第6棵树种在(1,2),第2008棵树种在(3,402).

三'解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.(2019•北京•高考真题)在AABC中，4=3,b-c^2,cosB=--.

2

(I)求。，c的值;

(Il)求Sin(B-C)的值.

a2+c2-b11

cosBn=--------------=——

2ac2a=3

【解析】(I)由题意可得：b-c=2,解得:b=7.

a=3c=5

(∏)由同角三角函数基本关系可得：sinB=JE=乎'

∣

结合正弦定理々上∙可得:CSinB_5∖3

sinBSinCb--iT,

很明显角C为锐角，故CoSC=JI—side=.,

4/-

故sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=y√3.

17.(2019・北京•高考真题)如图，在四棱锥P-48C。中，%_!_平面ABcD,AO_LCZλAO"BC,∕¾=Ao=Co=2,

BC=3.E为尸。的中点，点尸在PC上，且皆=g∙

(I)求证：COL平面外£(；

(11)求二面角FTE-P的余弦值；

(IlI)设点G在尸8上，且P琮G判2断直线AG是否在平面AE尸内，说明理由.

PD3

【解析】(I)由于以_L平面ABCZλCoU平面48CO,则PAYCD,

由题意可知ADLC。，且∕¾∩4f>=A,

由线面垂直的判定定理可得C0_L平面PAD.

(∏)以点4为坐标原点，平面A8C力内与AD垂直的直线为X轴，ARΛP方向为)，轴，z轴建立如图所示的

空间直角坐标系A-Ayz,

易知:A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),

由PTPC可得点尸的坐标为呜,I

由/^=；「。可得£(0,1,1),

设平面AEb的法向量为：nz=(x,y,z),则

’._、(2241224

mAFr=([x,y,z)∙∖∖=-x+-y+-z=O

S∖JJJJJɔJ

m∙AE=(x,y,z)∙(O,1,1)=y+z=O

据此可得平面AEb的∙个法向量为：相=(1,1,-1),

很明显平面AEP的一个法向量为3=(1,0,0),

m`n

cos<m,n>==2

_3

二面角尸-Ab。的平面角为锐角，故二面角色AbP的余弦值为无.

3

ɔ，422、

(In)易知尸(0。2),3(2,—1,0),由PG=可得G∣J,-

4_22

贝IJAG=

333

注意到平面AE尸的一个法向量为：AM=(1,1,-1),

其加∙AG=0且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.

18∙(2021∙北京•统考高考真题)在核酸检测中,7合1“混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起

进行1次检测,如果这么个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检

测结束:如果这女个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的

检测结果，检测结束.

现对IOO人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

(I)将这IOO人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合I”混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为'.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(II)将这IOO人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数,

试判断数学期望E(}Q与⑴中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【解析】(1)①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；

所以总检测次数为20次；

②由题意，X可以取20,30,

rI八一4U)——,rI八一J∖Jj—1————

则X的分布列：

X2030

ɪɪo

P

TTTT

所以E(X)=20X∖+30XE320

"7Γ

(2)由题意,y可以取25,30,

20C2C3495

两名感染者在同一组的概率为4=:L8=JL,不在同一组的概率为£=言，

贝∣JE(y)=25x"+30x^="">E(X).

v'999999''

19.(2018•北京・高考真题)已知抛物线C：V=2px经过点P(1,2).过点Q(0,1)的直线/与抛物线C

有两个不同的交点A,B,且直线南交y轴于M,直线PB交y轴于M

(I)求直线/的斜率的取值范围；

(II)设。为原点，QMs,QN=μQO,求证：J+,为定值.

【解析】分析：(1)先确定P，再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线/的斜率的取值范

围，最后根据以，P8与y轴相交，舍去k=3,(2)先设4(足，y∕),B5,”)，与抛物线联立，根据韦

2k-41

达定理可得4+/=—1一，V2=-j-2-再由。M=4QO,QN=M20得H=I-%，μ=y-yN.利用直线∕¾,

PB的方程分别得点M,N的纵坐标，代入化简4+,可得结论.

Zμ

详(I)因为抛物线y2=2∕w经过点P(1,2),

所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为.v2=4x.

由题意可知直线/的斜率存在且不为0,

设直线/的方程为产丘+1(灯0).

由['=4x得/d+(2A-4)x+l=0.

[y=Ax+!

依题意A=(2JI-4)2-4X√2X1>0,解得k<0或0<k<l.

又∕¾,尸B与y轴相交，故直线/不过点(1,-2).从而k≠-3.

所以直线/斜率的取值范围是(-8,-3)U(-3,0)U(0,1).

(II)设A(x∕>>7)，B(X2，”).

八心2k-41

1xx

Ilj(I)知％+%2=--正一，∖2=Zr.

直线外的方程为y-2=X[(x-ι).

百T

—Vi+2—kx,+1C

令户0,得点M的纵坐标为％='v+2=—l-+2.

x1-1x1-1

—kx,+1

同理得点N的纵坐标为%=—7+2.

由QM=XQO,QN=〃QO得丸二1一%，〃=1一)外

22⅛-4

所以LI='+'=XT+占-1=_L2中「α+占)=,工+"=2.

λμl-yw1一6(AT)Xl［k-∖)x2k-∖xlx2k-∖ɪ

k2

所以;+，为定值.

Zμ

20.(2019・北京•高考真题)已知函数F(X)=［Y-/+*

4

(I)求曲线y=F(X)的斜率为1的切线方程；

(II)当xe［-2,4］时,求证:x-6<f(x)≤xi

(III)设尸(X)设/(x)-(x+α)∣(aeR),记尸(无)在区间［—2,4］上的最大值为M(α),当M(a)最小时，求

。的值.

【解析】(I)∕,(x)=4X2-2X+1,令:(X)=#-2X+I=I得X=O或者X=；.

当X=O时，/(0)=0,此时切线方程为y=x,即x-y=O;

当x=∣时，/(j)ɪɪ,此时切线方程为y=x-捺，即27x-27y-64=0；

综上可得所求切线方程为X-Y=O和27x-27y-64=O.

1ɜɜQ

(Il)设g(x)=f(x)-x=g∖χ)=^-χ2-2x,令g'(x)=7χ2-2x=0得X=O或者X=;,所以当

4443

xe［-2,0］时，，(X)≥0,g(x)为增函数；当XG(O,|)时，g'(x)<O,g(x)为减函数：当xw