2023高考数学复习 33　不等式恒成立或有解问题

微专题33不等式恒成立或有解问题

高考定位利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，多以解

答题的形式出现，为压轴题，难度较大.

真题研析类题突破研真题析类题

［高考真题］(2022∙新高考∏卷节选)已知函数./U)=XeaX--

⑴当α=l时，讨论式x)的单调性;

(2)当x>O时，ι∕U)<-l,求α的取值范围.

解(1)当a=l时，βx)=(χ-l)er,尤∈R,

则f(x)=xex,

当x<O时，/(x)<O,

当QO时，/(x)>0,

故4X)的单调递减区间为(一8,0),单调递增区间为(O,+∞).

(2)设h(x)=xetιx-ex+1,

则∕z(0)=0,

又h'(x)=(1+0r)eav-ex,

设g(x)=(l÷0x)eu∙v-ev,

则g'(x)=(2a+a2x)ear—et,

»ɪ

右«>2>

则g<0)=2α-l>0,

因为g，(X)为连续不间断函数，

故存在XO∈(0,+∞),

使得Vx∈(O,Xo),总有g'(x)>O,

故g(x)在(O,X0)上单调递增，

故g(x)>g(O)=O,

故〃(X)在(O,X0)上单调递增，

故∕2(x)>∕z(0)=O,与题设矛盾.

若0<<2≤^,

则∕z,(x)=(l+0x)eαλ-ev=eav+lnu+^-ev,

下证：对任意x>0,总有In(I+ΛO<X成立,

证明：设S(X)=ln(l+x)—X,

I—X

故''U)=而—1=TTF°，

故S(X)在(0,+8)上单调递减，

故S(X)<S(O)=0,即In(I+X)<JC成立.

6,x+2αxx

由上述不等式有em(I+")—eχ‹eaχ+ax—er=e-e≤0,

故/∕,(x)≤0总成立，

即〃(X)在(0,+8)上单调递减，

所以⅛(x)<¼0)=0.

当α≤0时，有h∖x)=eax-ex+axeta<l-1+0=0,

所以∕z(x)在(0,+8)上单调递减，

所以∕ι(x)<∕z(O)=O.

综上，

样题1已知函数凡T)=Rilα∈R),若«r)〈君」+；—1恒成立，求实数。的取

ʌʌ

值范围.

解因为7U)We^ι+!-l恒成立，

ʌ

∕nx-∖-a1,一八、

即fcf------We'1+t一一1对lx∈(0,+8)怛成立，

XX

即“Wxe*i—x—lnx+1对X£(0,+8)恒成立，

令u(x)=xex~1-χ-lnΛ÷1,

则M(X)=CAT+χev~1-1-；=(x+1)(e^χr-3)，

当x∈(0,1)时,wr(x)<0,〃(%)在(0,1)上单调递减，

当x∈(l,+8)时，Ma)>0,M(X)⅛(1,+8)上单调递增,

故当X=I时，Na)取最小值〃(I)=1,

所以“W1,

所以实数。的取值范围是(一8,1].

样题2(2022・福州模拟改编)已知函数氏0=/-(24+1•+r!1式4£2，函数g(x)

=(1-d)x,若Ξro∈[l,e]使得“ro)2g(xo)成立，求实数α的取值范围.

解由题意知，不等式7U)2g(x)在区间［1,e］上有解,

即Λ2-2x+0(lnχ-x)≥0在区间［1,e］上有解.

令3(x)=x-lnx,x∈［1,e］,

ɪX—1

则^,(x)=l--=-y-≥0,

，8(x)=x—Inx在［1,e］上单调递增，

.∖^(x)≥^(l)=1,ΛΛ-Inx>O,

jp∙—9V

在区间U,e］上有解.

x2-2X

令/2(X)=

x-Inx'

(X-1)(X+2—21nx)

则h'(x)=

(X-InX)2

Vx∈fl,e］,Λx+2>2≥21nx,

/.Ar(x)≥O,∕z(x)单调递增，

e(e—2)

・・工£［1,e］时，∕z(x)max=∕l(c)=1

e(e—2)

.".6Z≤:-

e—1

e(e—2)

所以实数。的取值范围是一8,

e—1

样题3(2022・延边模拟改编)已知函数於)=e'+0r(a∈R),若於)21—In(X+1)对

任意的x∈［0,+8)恒成立，求实数。的取值范围.

解若龙20时，y(x)≥l-in(x+l),

即e*+0r+ln(x+1)—120.(*)

令^(ʃ)-ev÷0x+ln(x+l)-1,

则g,Cr)=^+1匕+。，

2x

人IllEl1(X+1)e-1

令9(X)=eɪ+干+α,则夕'(x)=e-(%+］)2=一(χ+i)220,

函数夕。）在区间［0,+8）上单调递增，矶0）=2+α,

①若2,S(O)=2+αN0,

.∙.S(x)=ev+;.;j+α20,Λg,(x)≥0,

函数g(x)在区间［O,+8)上单调递增.

.∙.g(x)2g(0)=0,.∙.(*)式成立.

②若“V—2,由于研0)=2+αV0,

ω(-0)=e^t,÷~^~+a^l~ajr-~~~+α=1+~~>0(x20时,ex21+x,故e~β≥1

八ι~a1—al-a

~d),

故mxo∈(O,—a),使得夕(Xo)=O,

则当OVXVXo时，9(x)VS(Xo)=0,

即g'(x)V0∙

.∙.函数g(x)在区间(O,Xo)上单调递减,

.∙.g(xo)<g(O)=O,即(*)式不恒成立.

综上所述，实数α的取值范围是[-2,+∞).

规律方法L由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略

(1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.

(2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为α>式X)max或α<∙∕(x)min的形式，通

过导数的应用求出凡X)的最值，即得参数的范围.

2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.

训练1(2022•蚌埠三模改编)已知不等式e(x2Tnx)+eJ0r20恒成立，求实数α

的取值范围.

ex2—elnx+ev

解易知x>0,则原不等式可化为αW

X

ex2—elnX+QX

设F(X)=(x>0),

X

e(X2—1)+(%—1)ev+elnx

则户(X)=

当x∈(0,1)时，F,(Λ)<0,

当x∈(l,+8)时，F'(x)>0,

所以Fu)在(0,1)上单调递减，在(1,十8)上单调递增，F(%)mi∏=F(l)=2e,

则实数α的取值范围为(-8,2e].

2

训练2已知函数"r)="lnχ-f+x+l,若不等式√(x)21在区间［1,2］上有解，求

实数α的取值范围.

A-+f)2+2-^

.,a,2,x2÷0x+2

解τ∕ω=-+?+ι=—p—

①当2-j≥0,

即一2√^WαW2啦时，/(x)≥0,

所以«r)在［1,2］上单调递增，

所以/(X)max=/(2).

2

②当2—点<0,即。>26时，

设％2+or+2=0(∕=α2-8〉0)的两根分别为x∖,X2,

则无1+无2=—a,X∖X2=2,

所以X1<O,X2<0,

所以在区间［1,2］上，

Λ2+OX+2

f(χ)=一P一>0,

所以犬犬)在［1,2］上单调递增,

所以/(©max=7(2).

综上，当“2—时，7U)在区间［1,2］上的最大值为/(2)=αln2+221,

所以后一i⅛

所以实数。的取值范围是一看，+∞}

高分训练对接高考重落实迎高考

一、基本技能练

1.已知函数«x)=(x—2)e，-%Λ2+αx(α∈R),当Xe2时，丸X)No恒成立，求α的

取值范围.

解法一f(x)=(%—1)(ev-A),

①当α≤0时，因为尤22,所以x—1>0,ev-<z>O,所以/(x)>0,

则於)在［2,+8)上单调递增，加)电2)=0成立.

②当OVaWe2时，/(x)≥0,

所以人x)在［2,+8)上单调递增，

所以人幻羽2)=0成立.

③当α>e2时，在区间(2,Ina)上，/(x)V0;

在区间(Inα,+∞)±,/(X)>0,

所以7U)在(2,Ina)上单调递减，在(Inα,+8)上单调递增，人无)》()不恒成立,

不符合题意.

综上所述，α的取值范围是(-8,e2］.

法二当x22时，Tu)20恒成立，

等价于当Xe2时，(X—2)ex-；Or2+Qx20恒成立,

即(1—x)4W(χ-2)e'在［2,+8)上恒成立.

当x=2时，0∙αW0,所以αGR.

当x>2时，^^x2-χ>0,

一、I,(x—2)ex2*_上、

所以oW—j----------=丁怛成£・

,X2—X

、耳2ev2Cχ-1)eʌ

设gM=~^贝m"ig'a)=p，

因为x>2,所以g<x)>O,

所以g(x)在区间(2,+8)上单调递增，

所以g(x)>g(2)=e2,所以a≤e2.

综上所述，。的取值范围是(一8,e2］.

2.若ev+cos工一火一220在［0,+8)上恒成立，求a的取值范围.

x

解令Λ(x)=e÷cosx-ax~29

贝IJ∕z,(x)=e'-sinx-a,

令r(x)=ev-sinx-a,

则f(x)=ev-cosx,

Ve'≥1,—1≤cosx≤1,故"x)20,

.∙∙"(x)在［0,+8)上单调递增,

.∙."(x)2Y(O)=I—a.

①当l-α20,即“Wl时，"(x)20,

故∕z(x)在［0,+8)上单调递增，

故〃(x)2∕z(0)=0,满足题意；

②当l-α<0,即α>l时，∕j,(0)<0,

又Xf+8时，h'(x)-+0o,

：.3xo∈(O,+∞),使得"(xo)=O,

.∙.当x∈(0,XO)时，∕z,(x)<O,

.•./龙)在(0,xo)上单调递减，

此时Zz(X)VA(O)=O,不符合题意.

综上，α的取值范围为(-8,11

9

3,已知函数於)=Or2-(6+α)%+31nx,当〃W一］时,关于X的不等式於)+如一

有解，求。的最大值.

解设g(x)=yU)+0r-~b=Or2-6x+31nx—ZbΛ>0,

,,32加一6x+3

则rτg'(x)=2以-6+;=----------------.

√v人■

当4<0时，2加一6尢+3=0有两个根Xl,X2,不妨令XI<¥2.

3

又Xli2=五V0,ɪɪ<0,X2>0.

由题意舍去X1,

当X∈(0,X2)时,g'(x)>O;

当X∈(%2,+8)时，gf(χ)<O,

.∙.g(X)在(0,X2)上单调递增，在(X2,+8)上单调递减.

若存在XO使"r)+0r—〃No成立，

则g(x)max=g(X2)=0r5-6^2+31nX2—6≥0,

即6x2÷31nX2^b.

To6x2—3

又2axi-6也+13=0,.°∙α=~-.

9W39

-

-≤-

*・2

2,

6x2—3

Λ⅛≤a^-6x2÷31nXi=2xi∙JA-6x2+3InXi=-312+3InX2—

令A(x)=-3x÷31nχ-∣^0<x≤∣

则"(x)=-^>0,

函数〃(X)在(0,夕上单调递增,

5

-

∕l(x)max2