2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质 同步分层训练提升题

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页2023-2024学年人教版初中数学九年级下册27.2.2相似三角形的性质同步分层训练提升题班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、选择题1．若两个相似三角形周长的比为1：A．1：2 B．1：4 C．2．若两个相似三角形的面积之比为4：A．2：3 B．3：2 C．3．如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：24．如图，在2×4的正方形网格中，线段AB与CD交于点E，若每个小正方形的边长为1，则DE的长为（）A．2 B．354 C．255．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S1、S2、S3、S4，那么下列结论中，不正确的是（）A．S1=S3 B．S2=2S1C．S2=2S4 D．S6．如图，已知△ADE∽△ACB，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（）A．3.2 B．4 C．5 D．207．如图是小阳设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD=12米，镜子P与小明的距离BP=1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度A．光的反射，9.6米 B．光的折射，C．光沿直线传播，8米 D．光的反射，24米8．如图，正方形ABCD边长为8，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且AM⊥MN，则AN的最小值是（）A．8 B．45 C．10 D．82二、填空题9．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的周长比是．10．已知△ABC∽△A1B1C1，AC=12，A1C1=8，11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC上一点，以BD为直径的半圆与边AC相切于点E.若AB=3，BC=4，则BD=.12．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC=6厘米，长CD=16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．13．如图，⊙O的半径为10，点P在⊙O上，点A在⊙O内，且AP=6，过点A作AP的垂线交QO于点B，C.若PC=15，则PB=.三、解答题14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C为BD的中点，延长AD，BC相交于点P，连结AC.（1）求证；AB=AP.（2）当AB=10，DP=2时，求线段CP的长.15．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BG上，AB=4，AM=1，BN=3（1）求证：△ADM∽△BMN；（2）DM与MN有什么数量关系，请说明理由；（3）DM与MN有什么位置关系，请说明理由．四、综合题16．在▱ABCD中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.（1）求证：BC=CF；（2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且∠DAF=∠GAF.若CG=2，GF=5，求AН的长.17．如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F．求证：△CDE∽△CBF；（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．

答案解析部分1．答案：B解析：解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，

∴两个三角形对应边的比1：4，2．答案：A解析：解：∵两个相似三角形的面积之比为4：9，

∴相似三角形的相似比为2：3，

故答案为：A.

利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方，再求出对应角平分线之比为2：3，可得答案.3．答案：D解析：解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：3，故选：D．根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．4．答案：D解析：解：由图可知：BC//AD

∴△CBE∽△DAE

∴CBAD=CEDE

∵CB=22+22=22，AD=12故答案为：D.由BC//AD，得△CBE∽△DAE，求出CE与DE的比值，然后根据CD的长，求得DE的长.5．答案：C解析：解：A、∵△ABD与△ACD等底同高，则S△ABD=S△ACD，B、过O点，作MN⊥BC于N，交AD于M，∵△AOD∽△COB，∴OMON=ADBC=12即S2C、∵BC//AD，∴△AOD∽△COB，∵BC=2AD，∴S△BOCS△AOD=D、∵S1=S3故答案为：C。

根据△ABD与△ACD等底同高，即可判断A选项，根据BC//AD，可得△AOD∽△COB以及BC=2AD，可得S2=4S4，即可判断B选项，过O点，作MN⊥BC于N，交AD于M，根据S△OBCS△ABC6．答案：C解析：∵△ADE∽△ACB，

∴AEAB=ADAC,7．答案：A解析：光的入射角等于反射角，这是光的反射定律

∵AB⊥BD,CD⊥BD

∴∠ABP=∠CDP=90°

∵法线垂直于BD，入射角等于反射角

∴∠APB=∠CPD

∴△ABP~△CDP

∴ABBP=CD8．答案：C解析：解：在正方形ABCD中，∠B=∠C=90°，∵AM⊥MN，∴∠AMN=90°，∴∠CMN+∠AMB=90°．在Rt△ABM中，∠BAM+∠AMB=90°，∴∠BAM=∠CMN，∴Rt△ABM∽Rt△MCN；设BM=x，∴ABMC=BM即88−x=x整理得：CN=﹣18x2+x=﹣18（x﹣4）∴当x=4时，CN取得最大值2，∵AN=AD2+D∴当DN取得最小值、CN取得最大值，即DN=6时，AN最小，则AN=82故答案为：C．通过相似三角形对应边成比例，写出关系式来，然后表示出CN，二次函数配方法求最值。9．答案：1：2解析：解：∵两相似三角形的相似比为1：2，∴它们的周长比是1：2，故答案为：1：2．

根据相似三角形的性质即可得出相似比，由此得出周长比。10．答案：4解析：解：∵△ABC∽△A1B1C∴相似比为：128∵△ABC的高AD为6，∴△A1B1C故答案为：4．根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算．11．答案：3解析：解：如图，在BD上取圆心O，连接OE，

设OB=OE=r，则OC=4-r，

在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=32+42=5

∵△OEC∽△ABC

∴OEOC=ABAC，即r4−r=12．答案：48解析：解：过点B作BF⊥AF于F，如图所示：∵BC=6厘米，CD=16厘米，CE=1∴CE=8厘米，∵∠C=90°，由勾股定理得：BE=B∵∠BCE=∠FBE=90°，∴∠EBC=∠ABF，∵∠BCE=∠BFA=90°，∴ΔCBE∽ΔFBA，∴BE即1016∴BF=48故答案为：485先由勾股定理求出BE，再过点B作BF⊥AF于F，由ΔCBE∽ΔFBA的比例线段求得结果即可．13．答案：8解析：如图，作直径PD，连结BD，

则∠D=∠C

∵PD是直径，且PA⊥BC，

∴∠PBD=∠PAC=90°

∴△PBD∽△PAC

∴PBPD=PAPC，即PB20=615

∴PB=8

故答案为：8.14．答案：（1）证明：∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB=90°，即AC⊥BP

又∵C为BD的中点

∴BC⏜=CD⏜

∴∠BAC=∠DAC

∴（2）解：∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠PDC=∠B=∠P

∴CP=CD

易证△CDP∽△ABP

∴CPAP=DPBP，即CP·BP=AP·DP

∵AB=AP，AC⊥BP

∴BP=2CP

∴2CP2=20，CP=10

解析：(1)要证AB=AP，可证∠B=∠P，因为AB是⊙O的直径，可得AC⊥BP，由C为BD的中点，可得∠BAC=∠DAC，故∠B=∠P，所以AB=AP.

（2）由四边形ABCD内接于⊙O，可知∠PDC=∠B=∠P.结合（1）可推得BC=CP=CD，又△CDP∽△ABP，所以CPAP=DPBP，2CP15．答案：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD=4，∠A=∠B=90°，∵AM=1，∴BM=AB−AM=4−1=3，在△ADM和△BMN中，ADBM=4∴ADBM又∵∠A=∠B=90°，∴△ADM∽△BMN；（2）解：DM=4∵△ADM∽△BMN，∴DMMN（3）解：DM⊥MN，理由如下：∵△ADM∽△BMN，∴∠ADM=∠BMN，∵∠A=90°，∴∠ADM+∠DMA=90°，∴∠BMN+∠DMA=90°，∴∠DMN=90°，∴DM⊥MN．解析：（1）利用正方形的性质得出ADBM=AMBN=43,结合∠A=∠B=90°，从而证明△ADM∽△BMN；

（2）利用相似三角形的性质列出比例式即可求解；

（3）根据△ADM∽△BMN，得到16．答案：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAF=∠F，∠D=∠DCF∵E为DC中点，∴CE=DE在△AED和△FEC中∠DAE=∠F∴△AED≌△FEC(AAS)，∴AD=CF，∴BC=CF（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAF=∠F∵∠GAF=∠DAF，∴∠GAF=∠F∴AG=GF=5，∵CG=2，GF=5∴AD=CF=7，∵AD∥BC，∴△AHD∽△GHC，∴AHGH∴AHAG=7AH=35解析：（1）由中点的定义得CE=DE，由平行四边形性质和平行线性质得AD=BC，∠DAF=∠F和∠D=∠DCF，然后利用AAS证明△AED≌△FEC，得出AD=CF，等量代换，可得结论；

（2）根据角平分线的定义和平行的性质得出∠GAF=∠F，则可求出AG=GF，最后根据线段的和差关系求出CF和AD的长，由AD∥BC，证明△AHD∽△GHC，根据相似三角形的性质列比例式求解即可.17．答案：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠1=∠2+∠3=90°，∵CF⊥CE∴