高三数学质量达标检测试题

高三数学质量达标检测试题题目一：函数求导已知函数$y=\\sqrt{x^2+6x+5}$，求函数y的导数。解析：利用链式法则，复合函数的求导公式为：如果y=f(u)，u=g(x)，则有$\\frac{dy}{dx}=\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}$。首先，求y对u的导数$\\frac{dy}{du}$：由于$y=\\sqrt{u}$，所以$\\frac{dy}{du}=\\frac{1}{2\\sqrt{u}}$。然后，求u对x的导数$\\frac{du}{dx}$：由于u=x2+6x+5将两个导数相乘，得到$\\frac{dy}{du}\\cdot\\frac{du}{dx}=\\frac{1}{2\\sqrt{u}}\\cdot(2x+6)$。所以，函数y对x的导数为$\\frac{1}{2\\sqrt{u}}\\cdot(2x+6)$。题目二：立体几何问题现有一个长方体，长为x，宽为y，高为z。已知长方体的体积为V，表面积为A。求x、y和z之间的关系式，并证明当体积固定时，表面积最小。解析：长方体的体积V可由公式V=xyz得到。长方体的表面积A可由公式A=2(xy+xz+yz)得到。现在，我们来证明当体积固定时，表面积最小。根据题目条件，体积V是固定的，即V=k（k为常数）。由体积公式V=xyz可得$z=\\frac{k}{xy}$。将$z=\\frac{k}{xy}$代入表面积公式A=2(xy+xz+yz)中，得到$A=2(xy+x\\frac{k}{xy}+y\\frac{k}{xy})$。化简上式，得到$A=2(xy+\\frac{k}{x}+\\frac{k}{y})$。我们将A作为关于变量x和y的函数，即A=f(x,y)。将关系xy=k代入上式，得到$A=2(k+\\frac{k}{x}+\\frac{k}{y})$。进一步化简得到$A=2k(1+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y})$。由于k是常数，所以，当$1+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}$最小时，表面积A达到最小。根据算术-几何平均值不等式，可知$\\frac{1}{3}(1+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y})\\geqslant(1\\cdot\\frac{1}{x}\\cdot\\frac{1}{y})^{\\frac{1}{3}}$。化简上式，得到$1+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}\\geqslant3(\\frac{1}{xy})^{\\frac{1}{3}}$。由于xy=k，所以上式进一步变为$1+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y}\\geqslant3(\\frac{1}{k})^{\\frac{1}{3}}$。所以，$A=2k(1+\\frac{1}{x}+\\frac{1}{y})\\geqslant6k(\\frac{1}{k})^{\\frac{1}{3}}=6k^{\\frac{2}{3}}$。综上所述，当体积固定时，表面积A最小值为$6k^{\\frac{2}{3}}$，其中k为常数。题目三：概率问题某公司有三个部门，分别是销售部门、人力资源部门和技术部门。统计数据显示，在这个公司中，有40%的员工在销售部门工作，30%的员工在人力资源部门工作，剩下的员工在技术部门工作。同时，有10%的员工既在销售部门工作，又在人力资源部门工作；有8%的员工既在销售部门工作，又在技术部门工作；还有6%的员工既在人力资源部门工作，又在技术部门工作。请回答以下问题：一个随机选择的员工既在销售部门工作，又在人力资源部门工作的概率是多少？一个随机选择的员工至少在两个部门工作的概率是多少？若一个随机选择的员工在销售部门工作，那么他同时在人力资源部门工作的概率是多少？若一个随机选择的员工在销售部门工作，那么他同时在技术部门工作的概率是多少？解析：在这个问题中，我们可以使用概率的基本公式进行求解。设事件A表示一个随机选择的员工在销售部门工作，事件B表示一个随机选择的员工在人力资源部门工作，事件C表示一个随机选择的员工在技术部门工作。根据题目给出的数据，我们可以列出如下的概率表：|事件|概率|

|:----:|:----:|

|A|40%|

|B|30%|

|C|30%|根据题目给出的数据，我们可以得到如下的概率关系：既在销售部门工作，又在人力资源部门工作的概率为$P(A\\capB)=10%$。至少在两个部门工作的概率为$P(A\\cupB\\cupC)=100%-30%=70%$。在销售部门工作的员工中，同时在人力资源部门工作的概率为$P(B|A)=\\frac{P(A\\capB)}{P(A)}=\\frac{10\\%}{40\\%}=25\\%$。在销售部门工作的员工中，同时在技术部门工作的概率为$P(C|A)=\\frac{P(A\\capC)}{P(A)}=\\frac{8\\%}{40\\%}=20\\%$