统计学原理-时间序列

第五章

时间序列分析统计实例

啤酒生产和销售所需的时间相对比较短，库存量比较低。原因是啤酒在短时间内可能会变质，而且库存费用和生产费用相比也比较高。要减少库存量，又要保持较强的市场竞争能力，就需要对生产和需求量的变化做出迅速的反应，这就要求对需要量做出科学的预测，以作为制定下一年生产计划的依据。时至2004年底，一家啤酒生产企业正着手制定明年的生产计划，这就需要对市场需求量做出预测，作为制定计划的参考依据，任务交给了市场部的王先生，它是一个工商管理硕士毕业生，在企业已有5年的工作经历，他相信自己有能力对销售量做出准确预测，它找来企业历年的销售数据，经过仔细考虑后，他认为最近15年的销售数据对预测有用，原始数据如下表：年份1季度2季度3季度4季度合计198967983019909121310441991131417135719921518191466199318202419811994222429239819952326322410519962532372612199730384230140199829395035153199930395137157200029425538164200131435441169200233455842178200334466045185面对15年的数据，王先生认为首先应做些描述性分析，以作为预测的基础，其次是找出各年总销售量的变动趋势，并进行预测，第三是对销售量进行季节性分析，进而分别在含有季节变动的条件下进行预测。本章学习目的了解时间序列的概念、种类、因素构成和编制原则。掌握水平指标和速度指标的计算方法、应用条件及指标间的相互关系。掌握长期趋势的分析测定方法。

本章重难点提示重点：时间序列水平分析和速度分析、最小二乘法预测长期趋势。难点：序时平均数的计算，季节比率法分析季节变动、最二乘法预测长期趋势。学习目的及重难点提示第一节

时间序列概述（一）定义

现象在不同时间上的一系列指标值按时间先后排列形成的数列，又称动态数列。

（二）两个构成要素

现象所属的时间指标数值

（三）与分配数列的区别

一、时间序列的概念及构成要素

表5-11985～1991年我国原煤产量单位：亿吨时间序列示例年份1985198619871988198919901991原煤产量8.728.949.289.8010.5410.8010.62（一）绝对数时间序列：由绝对指标排列形成。

1.时期数列：由时期指标排列形成。特点：（1）时期数列中各指标值可以相加。（2）时期数列中各指标值大小与时间间隔正相关。（3）时期数列通过连续登记获取数据。

2.时点数列：由时点指标排列形成。特点：（1）时点数列中各指标值不能相加。（2）时点数列中各指标值大小与时间间隔无关。（3）时点数列通过间断登记获取数据。二、时间序列的种类（二）相对数时间序列：由相对指标排列形成。

特点：

1.由两个绝对数数列相比形成。

2.不同时期的相对指标数值不可直接相加。（三）平均数时间序列：由平均指标排列形成。

特点：不同时期的平均指标数值不可直接相加。二、时间序列的种类我国2002-2010年国民经济主要指标年份2004200520062007200820092010国内生产总值（亿元）136515182321209407246619300670335353397983全国人口年末数（万人）129988130756131448132129132802133474137053第三产业值占国内生产总值比重（%）40.741.539.540.440.143.443.0全国城镇职工年平均工资（元）16024183642100124932292293273637147基本原则——可比性原则具体原则

1.时间长短应当一致。

2.总体范围保持一致。

3.指标的经济内容保持一致。

4.指标的计算方法和计量单位保持一致。三、时间序列的编制原则四、时间数列常用分析方法通过时间数列的分析指标来揭示现在的发展变化状况和发展变化程度指标分析法构成因素分析法通过对影响时间数列的构成因素进行分解分析，揭示现象随动态变化而演变的规律第二节

时间序列的水平分析时间数列的水平指标一、发展水平和平均发展水平二、增长量和平均增长量一、发展水平（一）概念：时间序列中各项具体的指标数值。

字母表示:a0,a1,

a2,an-1,

…,an

相关概念：

最初水平：动态数列中的第一项指标数值

最末水平：动态数列中最后一项指标数值

报告期水平：要研究的那一时期的指标值

基期水平：作为对比的基础时期的指标值（二）意义：是计算其他水平指标和速度指标的基础。

（一）概念

又称序时平均数或动态平均数，是将不同时期的发展水平加以平均得到的平均值。（二）序时平均数与一般平均数的区别

1.计算依据不同:序时平均数依据动态数列,一般平均数依据变量数列。

2.说明问题不同:序时平均数从动态上说明现象在不同时间上某一数值的一般水平,一般平均数从静态上说明总体某个数量标志的一般水平。二、平均发展水平1.绝对数时间序列的序时平均数

（1）时期数列的序时平均数（简单算术平均法）。

(三)平均发展水平的计算试求我国1991-1995年的平均GDP时间19911992199319941995GDP(亿元)a21617.8a126638.1a234634.4a346622.3a458260.5a5①连续时点数列：逐日登记。

未分组资料:逐日登记,每日都有数据（简单算术平均法）。分组资料:逐日登记,非每日都有数据（加权算术平均法）。其中，权数f代表间隔日数。（2）时点数列的序时平均数②间断时点数列：资料不是逐日记录逐日排列，而是有一定间隔的期初或期末的资料。时间间隔相等时：首末折半法。

时间间隔不等时：加权平均法。

式中f1,f2,…,fn-1：相邻时点指标间隔的月（季）数。

（2）时点数列的序时平均数间隔不等的间断时点数列[例]某银行某储蓄所储蓄存款余额资料如表所示，计算本年度该储蓄所平均存款余额。时间上年12月末1月31日5月31日8月31日10月31日12月31日存款余额（百万元）9287115126128131[例]试求A厂成品仓库当年的平均库存量时间1月初3月末7月初10月末12月末库存量3842393741[例5-1]根据表5-2计算4月下旬商店营业员平均人数表5-2某商店4月下旬营业员人数单位：人[分析]属于连续时点数列且每日都有数据,采用简单算术平均法计算。

序时平均数计算示例[例5-2]根据表5-3计算4月份钢材平均库存量。表5-3某企业4月份钢材库存量单位:万吨[分析]属于连续时点数列,但非每日都有数据,应采用加权算术平均法计算。

序时平均数计算示例[例5-3]根据表5-4资料计算企业上半年平均职工人数及平均固定资产额。表5-4某企业2005年上半年统计资料

序时平均数计算示例[分析]属于时间间隔相等的间断时点数列,采用首末折半法计算。

上半年平均职工人数为：例5-3答案上半年平均固定资产额为：[例5-4]根据表计5-5算2001年的平均职工人数。表5-5某企业2001年职工人数资料单位:人

序时平均数计算示例

[分析]

属于时间间隔不等的间断时点数列,采用加权算术平均法计算。[计算公式]时期数列时点数列连续间断间隔相等间隔不等间隔相等间隔不等根据时期数列计算序时平均数应采用()A.几何平均法B.加权算术平均法C.简单算术平均法D.首末折半法间隔相等的时点数列计算序时平均数应采用（）Ａ.几何平均法B.加权算术平均法C.简单算术平均法D.首末折半法已知某企业1月、2月、3月、4月的平均职工人数分别为190人、195人、193人和201人。则该企业一季度的平均职工人数的计算方法为（）

A.B.

C.D.练习：1、根据下表资料计算某企业月平均职工人数。2、某管理局所属两个企业元月份产值及每日在册工人数资料如下：时间1月1日4月1日5月1日8月1日12月1日12月31日职工人数/人230242250244238236企业总产值(万元)每日在册工人数1–15日16–21日22–31日甲乙31.535.2230232212214245228计算该管理局元月份的月平均劳动生产率。企业总产值(万元)平均人数（人）劳动生产率（元/人）甲31.52311363.64乙35.22271550.66合计66.74581456.33某商店1990年各月末商品库存额资料如下:月份12345681112库存额605548434050456068又知1月1日商品库存额为63万元。试计算上半年、下半年和全年的平均商品库存额。

2.相对数时间序列的序时平均数

相对数时间序列的序时平均数不能直接计算,而应根据分子数列的序时平均数除以分母数列的序时平均数计算，用公式表示为:

2.相对数时间序列的序时平均数

(1)时期数列/时期数列形成的相对数时间序列。分子分母数列均简单平均:

2.相对数时间序列的序时平均数(2)时点数列/时点数列形成的相对数时间序列。在时间间隔相等时,分子分母均首末折半:[例]某企业上半年合同交货情况如表所示，计算上半年平均合同履约率。表合同交货情况月份123456合同定货量合同交货量履约率（％）20199530279025251004038953029972020100解：[例]某企业下半年劳动生产率资料如表所示，计算平均月劳动生产率和下半年平均职工劳动生产率。表某企业下半年劳动生产率资料6月7月8月9月10月11月12月a总产值（万元）b月末职工人数（人）c劳动生产率（元/人）8746019489147019579448019799648020001024902103984802021914501957

解：从表可以看到，劳动生产率的分子总产值是时期指标，分母职工人数是时点指标。

下半年平均劳动生产率：平均月劳动生产率：或：平均月劳动生产率乘月份个数n，即计算某企业第二季度月平均劳动生产率月份3456工业增加值/万元107106118109职工月末人数1340134213441324某企业上半年工人数和总产值资料如下表：月份1234567月初工人数（人）2000202020252040203520452050总产值（万元）362358341347333333330试计算：（1）该企业第一季度工人的平均月劳动生产率；（2）企业上半年工人的劳动生产率。（一）概念:报告期水平与基期水平之差。（二）分类

(1)逐期增长量＝报告期水平－前一期水平

a1-a0

，a2-a1

，…

，an-an-1

(2)累计增长量＝报告期水平－某固定基期水平

a1-a0

，a2-a0

，…

，an-a0

**两者关系（1）累计增长量＝各逐期增长量之和（2）逐期增长量＝相邻两个累计增长量之差

三、增长水平（增长量）

四、平均增长水平（平均增长量）（一）概念:表明时间序列每期平均增长的情况。（二）公式[例5-5]根据表5-6我国电风扇产量资料计算增长量和平均增长量。表5-6我国1985～1990年电风扇产量单位：万台年份198519861987198819891990产量逐期增长量累计增长量3175----3529

3543543661132486449683513214992496181757998072624第三节

时间序列的速度分析（一）概念

发展速度是用报告期水平与基期水平进行对比得到的动态相对数。

（二）基本公式一、发展速度(三)分类

1.环比发展速度：报告期水平与前一期水平之比。各期的环比发展速度如下：

2.定基发展速度：报告期水平与固定基期水平之比。各期的定基发展速度如下：一、发展速度

1.环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度。如：

2.相邻两个定基发展速度之商等于相应时期环比发展速度。如：

（四）环比和定基发展速度的关系1.概念

平均发展速度是各环比发展速度的序时平均数。2.计算方法（以水平法为例）

水平法:侧重考察最末一年所达到的水平,采用几何平均法计算。

（1）已知各期环比发展速度时，其计算公式为：

（五）平均发展速度

（2）已知最初水平和最末水平时，公式为：（3）已知整个时期内的定基发展速度即总速度时，公式为：水平法（一）概念

是反映社会经济现象增长程度的动态相对数，用增长量除以基期水平计算。（二）公式

二、增长速度(三)分类

1.环比增长速度：逐期增长量与前一期水平之比，等于环比发展速度-1。各期的环比增长速度如下：

2.定基增长速度：累计增长量与固定基期水平之比，等于定基发展速度-1。各期的定基增长速度如下：二、增长速度表5-7某钢铁厂1995～2001年钢产量资料年份199519961997199819992000符号钢产量(万吨)200240300340360378环比发展速度(%)-120125113.33105.88105定基发展速度(%)-120150170180189环比增长速度(%)-202513.335.885定基增长速度(%)-2050708089（一）概念

是时间序列中各期环比增长速度的序时平均数，反映现象在较长时间内平均每期增长的程度。（二）公式

**注意：不能直接根据各期环比增长速度计算平均增长速度。

三、平均增长速度（一）概念

是将时间序列的水平分析和速度分析结合的指标，反映速度每增长1%增加的绝对数量。（二）公式

四、增长1％的绝对值2011年9月份，社会消费品零售总额15865亿元同比增长17.7%（扣除价格因素实际增1%，下除特别说明外均为名义增长）。其中限额以上企业（单位）消费品零售额7550亿元增长24.7%。1-9月份，社会消费品零售总130811亿元，同比增长17%（扣除价格因实际增11.3%）从环比看，9月份社会消费零售总额增长1.35%。说明现象在较长时期内发展的总速度的指标是()A．环比发展速度B.平均发展速度C.定基发展速度D.定基增长速度已知各期环比增长速度为2%、5%、8%和7%，则相应的定基增长速度的计算方法为（）A.（102%×105%×108%×107%）-100%B.102%×105%×108%×107%C.2%×5%×8%×7%D.（2%×5%×8%×7%）-100%以1960年为基期,1993年为报告期,计算某现象的平均发展速度应开()A．33次方B.32次方C.31次方D.30次方已知环比增长速度为7％、8％、9％、11％，则总速度为（），平均发展速度为（），平均增长速度为（）。第四节

时间序列的影响因素分析任务概述小邹是旅游专业的大学毕业生，2010年毕业后入职一个著名的旅游观光景点，在销售推广部从事业务工作。为了吸引游客，该旅游景点拟在2011年投入一笔资金，为旅游景点增建休闲娱乐设施和场所。为了做好这笔投资预算，部门经理交给小邹一个任务，让她预测2011年该景点的旅客人数。小邹手头上有近10年该景点的观光旅客人数，那么那么：小邹怎样才能完成此项任务呢？一、时间序列的影响因素

(一)长期趋势(T)

现象在较长时期内受某种根本的、决定性因素的影响呈现出的上升或下降的趋势。

(二)季节变动(S)

由于季节原因引起的规律性变动。

(三)循环变动(C)

由于周期性原因引起的周而复始的变动。

(四)不规则变动(I)

由于偶然、突发原因引起的非规律性变动。二、时间序列的分析模型

(一)加法模型：各影响因素相互独立时。

Y=T+S+C+I

(二)乘法模型：各影响因素互相影响、互不独立时。

Y=T×S×C×I

说明：加法模型中，四变量均为绝对数。乘法模型中，T为绝对数，其余为相对数。三、长期趋势分析长期趋势的测定方法

（一）时距扩大法:只能对数列修匀，不能预测。

（二）移动平均法:可以对数列修匀或预测，但有时滞效应。

（三）数学模型法

1.直线模型法:重点介绍最小二乘法配合直线模型。**

2.曲线模型1移动平均法

移动平均法，是通过对时间序列逐期递移求得平均数作为趋势值或预测值的一种平滑法，是趋势变动分析的一种较简单的常用方法。该方法的基本思想和原理是，通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，以这一系列移动平均数作为对应时期的趋势值，由这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到一定的修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势。设移动间隔长度为K，则移动平均数序列可以写为：（5–1），式中为移动平均趋势值；K为大于1小于n的正整数。

[例]根据我国1986~2000年居民消费价格指数序列，如表所示。分别计算3年，5年的移动平均趋势值，并进行比较。

表5-101986~2000年我国居民消费价格指数（单位：%）年份消费价格指数趋势值（k=3）趋势值（k=5）198619871988198919901991199219931994199519961997199819992000106.5107.3118.8118.0103.1103.4106.4114.7124.1117.1108.3102.899.298.6100.4－110.9114.7113.3108.2104.3108.2115.1118.6116.5109.4103.4100.299.4－－－110.7110.1109.9109.1110.3113.1114.1113.4110.3105.2101.9－－

解：根据简单移动平均公式，当k=3时，移动平均趋势值Y1=110.9；k=5时，Y1=110.7，其余各期同理，结果见表5–10。分析表5–10中各列数据，移动间隔越长，所得趋势值越少，个别观察值的影响作用越弱，移动平均序列所表现的趋势越明显。通过移动平均所得到的移动平均数序列，要比原始数据序列匀滑，并且5项移动平均数序列又比3项移动平均数序列匀滑。

应用移动平均法应注意的问题

1、确定合理的移动间隔长度（k）当序列包含季节变动时，移动间隔长度应与季节变动长度一致才能消除其季节变动；当序列包含有一定的周期性，移动间隔长度应注意与周期长度相吻合，才能较好地消除循环波动。

2、把移动平均后的趋势值放在各移动项的中间位置若移动间隔长度k为奇数时，一次移动即得趋势值；若k为偶数时，因移动平均值对应的中点是在两个时期之间，故不能作为趋势值，还必须需将第一次得到的移动平均值再作一次2项移动平均，才能得到最后的趋势值。因此，该趋势值也可以叫移正趋势值。

3、移动平均法不能作为外推预测因为移动平均后，首尾都要损失若干信息量。移动间隔长度k为奇数时，所形成的趋势值时间序列首尾各缺少（k-1）/2个时期的趋势值；移动间隔长度k为偶数时，所形成的趋势值时间序列首尾各缺少k/2个时期的趋势值。

2最小平方法

最小平方法，又称最小二乘法，是统计学中数学模型参数使用的传统方法。其实质是通过数学模型，配合一条最为理想的趋势线。他的基本原理是通过趋势方程求出的长期趋势估计值（）与时间序列实际值（）的离差平方和为最小，即：

最小值

（5–28）

按这个要求求出的趋势方程与原时间序列能达到最佳的吻合。最小平方法既可以配合趋势直线，也可以配合趋势曲线。

直线趋势

当现象的发展呈线性趋势变化时，就可以配合一直线。直线趋势方程的一般形式：（5–29）式中，为时间序列的趋势值；t为时间序号；

a为趋势线在Y轴上的截距，是当t=0时的数值；b为趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时，趋势值的平均变动数量。对于（5–29）方程中的参数a、b，按最小平方法的原理（式5–28）得：最小值，根据数学分析中的求极值原理，用偏微分法，可得到两个标准方程。其运算过程如下：由，取Q分别关于a、b

的偏导数，并令它们等于零。即：

直线趋势

整理后可得参数和b的标准求解方程：

解得：

其中，n代表时间的项数，时间t为1、2、3、……、

n。

直线趋势

为使计算更简便些，用坐标移位方法将原点O移到时间序列的中间项，使∑t＝0。当项数n为奇数时，中间项为0，时间各项依次设成：……–3，–2，–1，0；1，2，3，……；当项数n为偶数时，中间的两项分别设－1，1，t各项依次设成：……–5，–3，–1；1，3，5，……。这样求解公式便可简化为：

最小二乘法配合的直线模型****解题思路

1.建模:建立时间序列各观测值和时间之间的直线模型。

2.求参数a和b:

令

3.预测:将预测期的t值带入模型中,预测长期趋势值。可得到参数a和b的表达式：[例5-6]某企业各年产量资料如表5-8，采用最小二乘法确定趋势直线方程并预测2004、2005年的产量。表5-8某企业各年产量资料最小乘方法配合直线方程预测长期趋势示例解题思路

1.建模:2.求参数a和b:

3.预测:将预测期的t值代入模型中,预测长期趋势值代入直线趋势方程，得：2004年在t序列中取值为13，将t=13代入直线方程，可求出2004年的产量趋势值=335.5+5.05×13=401.15（万件）同理2005年的产量预测值=335.5+5.05×15=411.25（万件）

[例5–7]某地区1991－2003年的社会商品零售额资料见表5–12，用最小平方法进行长期趋势分析，并预测2005年该地区的社会商品零售额。

表5–12某地区1991－2003年的社会商品零售额年份时间t社会商品零售额y（万元）逐期增长量（万元）t21991199219931994199519961997199819992000200120022003－6－5－4－3－2－10123456291.4357.9400.5468.1442.7484.7450.8537.5661.1699.8764.3780.7817.0－66.542.667.5－25.442.0－33.986.7123.638.764.516.136.33625169410149162536－1748.4－1789.5－1602.0－1404.3－885.4－484.70537.51322.22099.43057.23903.54902.0289.81333.26376.71420.16463.60507.05550.50593.95637.40680.84724.29767.74811.19合计07156.5

－1827907.57156.5

解：采用简捷法，求解参数a、b，运用公式将a、b值代入直线方程得：利用所求的直线趋势方程，可以直接预测该地区2005年的社会商品零售额。代入t＝8，2005年的社会商品零售额预测值：

四、季节变动分析一、含义

客观现象由于受自然因素和生产或生活条件的影响，在一年内随着季节的更换而引起的比较有规律的变动。二、测定方法：按月（季）平均法。

通过计算季节比率来反映现象季节变动的周期性规律。季节比率可以按月计算，也可以按季计算。其计算公式为：

季节变动分析方法（一）简单平均法

不排除长期趋势的影响，直接根据原时间序列来测定。（二）移动平均趋势剔除法依据剔除长期趋势后的时间序列来测定。不管采用哪种方法，都需具备连续多年的各月（季）资料，以保证所求的季节比率具有代表性，从而能比较客观地描述现象的季节变动。1简单平均法

简单平均法也称按月（季）平均法，是直接根据原时间序列不剔除长期趋势因素，通过简单平均直接计算季节指数的方法。

基本思想是：计算出各年同月平均数，作为该月（或季）的代表值；然后计算出全部月（或季）的总平均数，作为全年的代表值；再将同月（或同季）平均数与全部月（或季）的总平均数进行对比，即为季节指数。公式为：

[例]表5–14是一家啤酒生产企业1997~2002年各季度的啤酒销售量数据。试按简单平均法计算各季节指数。表5–14某啤酒生产企业各季度的销售量（单位：万吨）

年份季度1234199719981999200020012002253029302931323839394243374250515554263035373841

解：某啤酒生产企业销售量季节指数计算见表5–15

表5–15某啤酒生产企业销售量季节指数计算表（单位：万吨）季度年份季度全年合计1234199719981999200020012002253029302931323839394243374250515554263035373841120140153157164169同季合计174233289207903同季平均2938.8348.1734.5037.625季节指数%77.08103.20128.0291.69100.00

由表5–15的资料可知，某啤酒生产企业销售量季节指数以第3季度的128.02％为最高，而第1季度的77.08％为最低。

2趋势剔除法

趋势剔除法的基本思想：是先将时间序列中的长期趋势因素予以消除，然后再用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出季节变动的成分。其中，序列中的趋势值可采用移动平均法求得，也可采用趋势方程拟合法求得。假定包含季节变动的时间序列的各影响因素是以乘法模型形式组合,其结构为。测定季节变动的步骤

（1）根据时间序列月份（或季度）数据，计算12个月（或4个季度）移动平均趋势值T。通过移动平均，消除季节变动S和不规则变动I，所得移动平均的结果只包含趋势变动T和循环变动C;

（2）将各实际观察值Y除以相对应的移动平均趋势值T，即：求得消除趋势变动的序列：

（3）将消除趋势变动的序列（S×I），重新按月（季）排列，求得各年同月（或同季）平均数，以消除不规则变动I的影响；再将其分别除以总平均数，即得季节指数S（计算方法同简单平均法）。

（4）把各月（季）的季节指数加起来，其总计数应等于1200％（季资料应等400%），如果不符，应求出校正系数，把校正系数分别乘上各月（季）的季节指数，即得剔除长期趋势后的季节变动指数。

校正系数=[例5–17]根据表5–16的资料，运用移动平均趋势剔除法测定啤酒企业销售量的季节变动。

解：有关计算过程见表5–16和表5–17。年份/季度时间序号t销售量（Y）四项移动平均移正平均（T）剔除趋势值（Y/T）1997/123412342532372630.0031.2532.7534.0035.0034.7535.0037.0038.2538.5038.5038.7539.2539.0039.7540.7541.0041.5041.7541.5042.25－－30.62532.000－－1.20820.81251998/123456783038423033.37534.50034.87534.8750.89891.10141.20430.86021999/123491011122939503536.00037.62538.37538.5000.80561.03651.30290.90912000/1234131415163039513738.62539.00039.12539.3750.77671.00001.30350.93972001/1234171819202942553840.25040.87541.25041.6250.72051.02751.33330.91292002/1234212223243143544141.62541.875－－0.74471.0269－－表5–16移动平均趋势剔除计算表表5–17季节指数计算表季度年份季度1234199719981999200020012002－0.89890.80560.77670.72050.7447－1.10141.03651.00001.02751.02691.20821.20431.30291.30351.3333－0.81250.86020.90910.93970.9129－同季合计3.94645.19246.35224.434419.92540同季平均0.78931.03851.27040.88690.99627季节指数%79.22104.24127.5289.02100

从表5–17中的季节指数结果我们可以看出，啤酒销售量的旺季是第3季度，达127.52%，淡季是第1季度，仅79.22%。5.5.1.3季节性调整