人教版初中数学2023-2024学年九年级下册 27.1图形的相似课时培优练习

亲爱的同学加油，给自己实现梦想的一个机会！第页人教版初中数学2023-2024学年九年级下册27.1图形的相似课时培优练习班级：姓名：亲爱的同学，在做题时，一定要认真审题，完成题目后，记得审查，养成好习惯！祝你轻松完成本次练习。一、选择题1．将一张▱ABCD（AD<AB<2AD）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来▱ABCD相似，则▱ABCD的相邻两边AD与AB的比值是（）A．22 B．C．22或5−12 D．2−12．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，连接EF，GH相交于点I，且GH∥AD，EF∥AB，矩形BFIG∽矩形EIHD，连接AC交GH，EF于点P，Q，下列一定能求出△DPQ面积的条件是（）A．矩形BFIG和矩形EIHD的面积之差B．矩形ABCD与矩形BFIG的面积之差C．矩形BFIG和矩形FCHI的面积之差D．矩形BFIG和矩形EIGA的面积之差3．如图，E，F，G，H是正方形ABCD边上的点，且AG=BE=CH=DF，EF和GH将正方形剪切成四片进行重新拼接成四边形MQPN，若正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为9：10，则A．2 B．3 C．2+1 D．4．如图，点P是平行四边形ABCD内部一点，过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E，F，G，H.连结AC分别交EG，FH于M和N.若四边形FBGP~四边形EPHD，且四边形FBCH的面积是四边形AFPA．EP=PH B．AN=EP C．AN=2MN D．AM=2CM5．如图，菱形ABCD沿对角线AC的方向平移到菱形A'B′C′D′的位置，点A′恰好是AC的中点.若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，则阴影部分的面积为（）A．12 B．32 C．1 6．如图，P为反比例函数y=kxA．2 B．4 C．6 D．87．下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似 B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似8．如图，BD是▱ABCD的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（）A．33−32或233 B．3−1或3 C．3或9．要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm的大菱形(如图②)，需要如图①的菱形的个数是（）．A．11个 B．121个 C．22个 D．242个10．若一个矩形剪掉一个面积最大的正方形，剩下的小矩形与原来的矩形相似，且原矩形的较长边长为8cm，则剩下的小矩形的较短边长为（）A．25 B．55−8 C．4二、填空题11．如图所示，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为53，则AEBE(12．如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为．13．如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是.14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=34，点M，N分别在AC，BC边上，将△ABC沿直线MN翻折，点C恰好落在边AB上，记为点C1，如果△C1MN15．某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大.如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF，FG，GH，HE的中点.如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为m三、解答题16．如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.17．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？18．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是多少？

19．八年级数学学习合作小组在学过《图形的相似》这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去．如：我们可以定义：“长和宽之比相等的矩形是相似矩形．”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等．请你参与这个学习小组，一同探索这类问题：

（1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似；

（2）如图，将菱形ABCD沿着直线AC向右平移后得到菱形A′B′C′D′，试证明：四边形A′FCE是菱形，且菱形ABCD∽菱形A′FCE；

（3）若AC=2，菱形A′FCE的面积是菱形ABCD面积的一半，求平移的距离AA′的长．20．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍；（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）

答案解析部分1．答案：C解析：解：如图所示：设AD=a，AB=b，DC

∴AH=AD，

∴HB=b-a，

∵HB=FG=GC，

∴BG=a-(b-a)=2a-b，

分两种情况讨论：

①∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，

∴ADAB=FGBG，

∴ab=b−a2a−b，

设m=abt＞0，

∴m=1−m2m−1，

解得：m=22；

②∵剩下的平行四边形与原来平行四边形ABCD相似，

∴ADAB=BGFG，

∴ab=2a−bb−a，故答案为：C.分类讨论，根据相似多边形的性质计算求解即可。2．答案：A解析：解：设AE=a，ED=ka，BG=b，AG=kb，∵GH∥AD，∴△CHP∽△CDA，∴CHCD∴PH=1S==S矩形BGIF∴S故答案为：A.设AE=a，BG=b，由矩形的性质及相似矩形的性质设ED=ka，AG=kb，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CHP∽△CDA，根据相似三角形对应边成比例得PH=a，进而根据S△DPQ=S△DPC-S△DCQ=12(1−k2)ab，S3．答案：A解析：解：如图，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵AG=BE=CH=DF，∴DG=AE=BH=CF，∴△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，∴EG=FG=EH=HF，∴四边形EHFG是菱形，∵△DGF≌△AEG，∴∠DGF=∠AEG，∵∠AEG+∠AGE=90°，∴∠DGF+∠AGE=90°，∴∠EGF=90°，∴四边形EHFG是正方形，∴GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，AG=A′G∴A′∵正方形ABCD和四边形MQPN的面积之比为9：∴正方形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积之比为9：∴(AG+GD)2∴(AG+GD)：∴AG=2GD，∴AG：故答案为：A.首先证明△AEG≌△BHE≌△CFH≌△DGF，根据全等三角形对应边相等得EG=FG=EH=HF，根据四边相等的四边形是菱形得四边形EHFG是菱形，然后判断出∠EGF=90°，根据有一个内角是直角的菱形是正方形得四边形EHFG是正方形，根据正方形的对角线互相垂直得GH⊥EF，由拼接可知四边形MQPN和四边形A'B'C'D'都是正方形，然后根据正方形面积计算方法及相似多边形的性质可得答案.4．答案：D解析：解：∵点P是平行四边形ABCD内部一点，过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.四边形FBGP~四边形EPHD∴四边形PFBG，DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，∵FN∥BC，∴FNBC=AF∴GM=x，FN=y，EM=kx，NH=ky，∴△CGM≌△NFA，△CNH≌△MAE，∴S四边形PGCH∵四边形FBCH的面积是四边形AFPE∴(k+1∴k=2，∴EP=PH、AN=EP、AN=2MN都不成立，AM=2CM成立，故答案为：D.易得四边形PFBG、DEPH都是平行四边形，且相似，设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，易得FNBC=AFAB5．答案：B解析：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝2＝CD，∠DCA＝12∴A'D＝1，A'C＝3DA'＝3，∴菱形ABCD的面积＝4×12×A'D×A'C＝23如图，由平移的性质得，▱ABCD∽▱A'ECF，且A'C＝12∴四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的14∴阴影部分的面积＝234＝故答案为：B.先求出菱形ABCD的面积，由平移的性质可得四边形A'ECF的面积是▱ABCD面积的146．答案：D解析：解：方法1、作BF⊥x轴，OE⊥AB，CQ⊥AP；设P点坐标（n，kn∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），∴OC=OG，∴∠OGC=∠OCG=45°∵PB∥OG，PA∥OC，∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，∴PA=PB，∵P点坐标（n，kn∴OD=CQ=n，∴AD=AQ+DQ=n+4；∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，∴OC=DQ=4，GE=OE=22OC=2同理可证：BG=2BF=2PD=2k∴BE=BG+EG=2kn+∵∠AOB=135°，∴∠OBE+∠OAE=45°，∵∠DAO+∠OAE=45°，∴∠DAO=∠OBE，∵在△BOE和△AOD中，∠DAO=∠OBE∠BEO=∠ADO=90°∴△BOE∽△AOD；∴OEOD=BEAD，即22整理得：nk+2n2=8n+2n2，化简得：k=8；故答案为：D．方法2、如图1，过B作BF⊥x轴于F，过点A作AD⊥y轴于D，∵直线AB函数式为y=﹣x﹣4，PB⊥y轴，PA⊥x轴，∴C（0，﹣4），G（﹣4，0），∴OC=OG，∴∠OGC=∠OCG=45°∵PB∥OG，PA∥OC，∴∠PBA=∠OGC=45°，∠PAB=∠OCG=45°，∴PA=PB，∵P点坐标（n，kn∴A（n，﹣n﹣4），B（﹣4﹣kn，k∴AD=AQ+DQ=n+4；∵当x=0时，y=﹣x﹣4=﹣4，∴OC=4，当y=0时，x=﹣4．∴OG=4，∵∠AOB=135°，∴∠BOG+∠AOC=45°，∵直线AB的解析式为y=﹣x﹣4，∴∠AGO=∠OCG=45°，∴∠BGO=∠OCA，∠BOG+∠OBG=45°，∴∠OBG=∠AOC，∴△BOG∽△OAC，∴OGAC=BG∴4AC=BG在等腰Rt△BFG中，BG=2BF=2k在等腰Rt△ACD中，AC=2AD=2n，∴42∴k=8，故答案为：D．求k可求出P的横纵坐标的积即可，设出P坐标（n，kn7．答案：C解析：A、所有的等边三角形都相似，正确；B、所有的等腰直角三角形都相似，正确；C、所有的菱形不一定都相似，故错误；D、所有的正方形都相似，正确．故选C．利用“对应角相等，对应边的比也相等的多边形相似”进行判定即可．8．答案：C解析：△PDE是等腰三角形，可分成以下几种情况：当PD=PE时：过点P作PG⊥DE于点G，∴DG=32，

在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2AD=6，

∴∠ABD=30°，BD=33，

∵AB∥CD，

∴∠PDG=∠ABD=30°，

∵∠DGP=90°，

∴PD=2PG，

∴PG=32，PD=3，

∴BP=23，

∵△ABD∽△PBF，

∴PFBP=ADAB=12，

∴PF=12BP=3；

当DE=DP=3时，BP=33−3，

∴PF=12BP=339．答案：B解析：解：设需要x个，根据题意，

x1=8882

10．答案：D解析：解：如图，设剩下的小矩形的较短边长为xcm，则剩下的小矩形的较长边长为（8-x）cm，由题意得：∵剩下的小矩形与原来的矩形相似∴88−x=∵x=45∴x=−4故答案为：D先求出88−x=8−x11．答案：1解析：解：∵四边形EFGH是正方形，∴EH=EF，∠HEF=90°，

∴∠AEH+∠BEF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠BFE=90°，

∴∠AEH=∠BFE，∠AHE=∠BEF，

又EH=EF，

∴∆AHE≅∆BEF（ASA）

∴AE=BF，

∴EF=BE2+BF2=BE2+AE2，

∵两个正方形相似，且相似比53，

∴EFAB=53，

∴EFAE+BE=53

题目已知相似比，那么本题的解题思路就是把相似比EFAB用AE和BE来表示，其中AB=AE+BE，而EF于BE在同一直角三角形中，很容易联想到用勾股定理，而题目易证AE=BF，而EF2=BE2+BF212．答案：2解析：解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，∵得到的矩形都和原来的矩形相似，∴12则b2∴ba∴这些型号的复印纸的长宽之比为2:1故答案为：2:1设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．13．答案：3解析：由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，∴B1B2＝13A1B1＝3∴A2B2＝12A1B2＝B1B2＝3∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（33）2＝1∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6×12×1×32＝∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝13×332同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（13）3×332故答案为：318由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（33）2＝13，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6×12×1×32＝332，即可得到正六边形A2B2C2D14．答案：5或125解析：解：在△ABC中，∠C=90°，∴tanA=∴BC=6，AB=6由折叠的性质知△CMN≌△C要使△C1MN与△ABC相似，即△CMN∵△CMN≌△C∴MN是C1C的垂直平分线，设MN与C1∴OC=1如图所示：当△CMN∽△CAB时，则∠CMN=∠A，∴MNAB∴MN=1如图所示：当△CMN∽△CBA时，则∠CMN=∠B，∴∠CMN+∠MCO=90°=∠A+∠B，∴∠A=∠ACC∴AC同理，BC1=C∴OC=1设△ABC中，AB边上的高为ℎ，∴S△ABC=1∴ℎ=24∵△CMN∽△CBA，∴MNAB∴MN=125故答案为：5或12524

分两种情况画出图形，由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可求出MN的长度。15．答案：600解析：解：连接EG，设△FAB、△HDC的面积分别为a、b，四边形EFGH的面积为S，如图所示.∵A、B分别是EF、FG的中点，∴AB是△FEG的中位线，AB∥EG.∵C、D分别是GH、HE的中点，∴DC是△HEG的中位线，DC∥EG.∴△FAB~△FEG，△HDC~△HEG．∴S∴a=∴a+b=同理，若连接FH，设△EAD、△GBC的面积分别为c、d，可求得c+d=∵a+b+c+d+300=S，∴1解得，S=600.故答案为：600

连接EG，设△FAB、△HCD的面积分别为a、b，四边形EFGH的面积为S，连接EG，根据三角形中位线的性质，可证得AB∥EG，DC∥EG，再利用相似三角形的性质，求得△FAB的面积a=14S△FGE，△HCD的面积b=14S△HGE，则得a+b=14S四边形HFEG=116．答案：解：当100−3100解得x=1.2答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.解析：根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。17．答案：解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），当△APQ∽△ABC时，APAB=AQAC，即2t8=16−3t16，解得：t=解析：由题意根据路程=速度×时间，可将AP、CQ、AQ用含t的代数式表示。因为∠A时公共角，所以以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时分两种情况讨论求解：

①当△APQ∽△ABC时，可得比例式APAB=AQAC，代入可得关于t的方程，解方程即可求解；

18．答案：解：如图，设BF、CE相交于点M，

∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，

∴△BCM∽△BGF，

∴CMGF＝BCBG，

即CM3＝22+3，

解得CM＝1.2，

∴DM＝2－1.2＝0.8，

∵∠A＝120°，

∴∠ABC＝180°－