线性方程组的求解和应用

摘要随着科学技术和社会的不断进步和发展，数学领域也取得了很大的进展，并且与现实生活的联系更加紧凑。同时，在科学，物理，航空航天领域当中，许多大型问题都会简化成数学模型，而且数学模型又可以转化成线性方程组。因此，研究线性方程组的求解方法对现实生活有重大意义。同时，研究线性方程组的求解一直是数学领域的一项重要内容。其中，即使直接法求解线性方程组已经慢慢被迭代法取代，对于一些矩阵来说，还是用直接法比较简单方便，但是在实际计算结果仍有错误,如舍入误差,舍入误差的积累会严重影响解决方案的准确性，计算误差不容易控制。而已经慢慢普及的迭代法求解也有缺点,它要求方程的系数矩阵具有一些特殊的性能，一些数值算例表明，当系数矩阵的条件数很大时，由于在计算过程中迭代次数的增加，导致计算机的计算量和存储量增大，导致收敛速度很慢，甚至不收敛。因而，如何利用有效的数值求解方法来求解线性方程组的数值解成为许多数学工作者的研究方向之一。本文分为两个方面，首先对于直接法求解导致解的精确性，也就是舍入误差进行改进优化，使得对于一些比较简单的线性方程组的求解既简单又精确。其次，引出线性方程组的迭代求解方法，讨论古典迭代方法的局限性，以及目前预处理技术的局限性，并在此基础上给出优化方法，加快求解的收敛速度。以及最后通过数值例子，给出数值解和误差数据。关键词：线性方程组；数值解；直接法；收敛速度

AbstractWiththecontinuousprogressanddevelopmentofscienceandtechnologyandsociety,greatprogresshasbeenmadeinthefieldofmathematics,andtheconnectionwithreallifeismorecompact.Atthesametime,inthefieldsofscience,physicsandaerospace,manylargeproblemswillbesimplifiedintomathematicalmodels,andmathematicalmodelscanbetransformedintolinearequations.Therefore,itisofgreatsignificancetostudythesolutionmethodoflinearequationsforreallife.Atthesametime,itisanimportantcontentinmathematicstostudythesolutionoflinearequations.Eventhoughthedirectmethodhasbeengraduallyreplacedbytheiterativemethod,thedirectmethodisrelativelysimpleforsomematricesconvenient,buttherearestillerrorsintheactualcalculationresults,suchasroundingerror,theaccumulationofroundingerrorwillseriouslyaffecttheaccuracyofthesolution,andthecalculationerrorisnoteasytocontrol.Theiterativemethod,whichhasbeenpopularizedslowly,alsohassomedisadvantages,whichrequiresthecoefficientmatrixoftheequationtohavesomespecialperformance.Somenumericalexamplesshowthatwhentheconditionnumberofthecoefficientmatrixisverylarge,thecomputer'scomputationandstorageincreaseduetotheincreaseofthenumberofiterationsinthecalculationprocess,whichleadstotheslowconvergenceandevennoconvergence.Therefore,howtosolvethenumericalsolutionsoflinearequationsusingeffectivenumericalmethodshasbecometheresearchofmanymathematiciansOneofthedirections.Thispaperisdividedintotwoaspects.firstly,theaccuracyofthedirectmethodtosolvetheresultingsolution,thatis,theroundingerror,isimprovedandoptimized,whichmakesthesolutionofsomerelativelysimplelinearequationssimpleandaccurate.Secondly,itleadstotheiterativesolutionmethodoflinearequations,discussesthelimitationsofclassicaliterativemethodsandthelimitationsofcurrentpreprocessingtechniques,andthengivestheoptimizationmethodtospeeduptheconvergenceofthesolution.andfinally,numericalsolutionsanderrordataaregiventhroughnumericalexamples.Keywords:Keywordslinearequationsnumericalsolutiondirectmethodconvergencerate目录TOC\o"1-2"\h\z\u1导论 致谢光阴荏苒，日月如梭，四年的大学生活转瞬即逝。这四年来，我们在学校学习了许多专业知识，参加了众多文体活动，过得充实且快乐。在最后的论文写作阶段尤其忙碌，也遇到了很多困难，导师和同学们给了我很大的帮助，在论文完成时，我心中充满感激。首先我要感谢我的导师xxx老师，他专业能力强，为人友善谦和。张老师在论文开题报告、实习报告和毕业论文方面都对我做出指导，尤其在这个特殊时期，张老师对我多次进行论文写作上的耐心指导，帮助我克服困难。其次，我要郑重地感谢的老师们，耐心为我们教授数学与计算机专业的相关知识，真的非常辛苦，而老师们未曾有怨言，认真、严谨、负责的态度向我们讲授专业知识，这让我受益匪浅。同时还要特别开题报告小组的老师们，他们在百忙之中审阅我的论文，并对我论