数学复习之导数复习提纲

数学复习之导数复习提纲一、导数的计算〔1〕假设，那么〔2〕假设，那么〔3〕假设，那么〔4〕假设，那么〔5〕假设，那么〔6〕假设，那么〔7〕假设，那么〔8〕假设，那么〔9〕假设，那么〔10〕假设，那么〔11〕〔12〕〔13〕例：求以下函数的导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕二、导数的概念对于导数的概念要求能准确的求出增量和。例：一物体的运动方程是，物体从到的过程中的平均速度是多少？解：例：设函数可导，求。所以三、导数的几何意义与物理意义导数的几何意义是切线的斜率，导数的物理意义是瞬时速度。位移对时间求导是速度，速度对时间求导是加速度。例：一物体的运动方程是，的单位是m，的时间单位是s，该物体在3s末的瞬时速度是多少？解：所以四、导数的切线问题求切线方程是常规考题，步骤为①找切点②求导求斜率③使用点斜式写出直线方程例：求函数在点处的切线方程。解：即※注意：区分求切线方程的两种出题形式例：曲线。求：〔1〕在点处的切线方程;〔2〕过点的切线方程解:〔1〕该点是切点。由得因此所求直线的方程为，即〔2〕设切点坐标为，由得。由，即切线方程为又因为是切点满足该方程，故：①又因为点在曲线上所以②联立①②解得或。所以切点坐标为所以直线方程为。解题关键：〔1〕题中给出的点是不是切点。〔2〕切点不仅在切线上，还在曲线上。切线方程的逆用问题：切线方程，要将方程中的斜率复原为导数。五、函数的单调性问题〔一〕单调性的解题步骤：确定定义域求导③解不等式，对应单调增，结果为单调增区间；对应单调减，结果为单调减区间。例：求的单调增区间。解：〔1〕函数的定义域为，〔2〕〔3〕令即。当，恒成立。故的单调增区间为。〔二〕单调性问题中给出单调区间的两种方式情况1：:只有一个单调区间就是，或者说是唯一的单调减区间。情况2：在区间上是单调递减的，区间并不一定是所有的单调减区间，只是单调减区间的子集。区分例题：〔1〕假设函数的单调递减区间为，那么的值为。〔对应情况1，提示：函数只有这么一个单调区间，-9和0即为函数的导数的根〕〔2〕函数在区间内是减函数，那么应满足的条件是〔对应情况2，提示：二次函数单调性问题〕〔三〕函数单调性可以联系“一元二次不等式恒成立”问题原因：三次函数求导后次数变为二次。例：在R上为单调增函数等价于在R上恒大于等于0的问题。即。单调性思考题：导函数大于等于0原函数是不是单调增？解：是。举例：六、函数的极值问题〔一〕极值问题必须坚持两点，两点缺一不可。〔1〕该点导数为0〔2〕该点两侧单调性相反〔二〕求极值的步骤〔1〕确定定义域〔2〕求导〔3〕令求出根〔4〕分割定义域，列表〔列表必不可少〕〔5〕写出结论〔三〕一个函数的极大值与极小值，可以只有一个，也可以有不止一个，甚至可以没有。极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小。但是相邻的极大值与极小值，极大值一定比极小值大。※要求：对于极值问题，不仅要从正面的会求极值，还要求会逆用极值。区分：〔1〕在处有极大值。〔2〕在处有极值。解析：〔1〕此题是极大值的逆用。在处有极大值说明导函数，这样可以解除两个c，但是最容易忽略的是题目中出现的是极大值。此题满足条件的c必须能保证原函数在处左右单调性相反，而且必须是左边单调增右边单调减。故最终结果只有1个。〔2〕此题只是说有极值，与上题不同的是此情况不需要考虑左右的单调性具体是什么，只需考虑单调性相反就可以了。七、函数的最值问题〔一〕求最值的步骤一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：〔1〕求函数在内的极值；〔2〕将函数的各极值与端点处的函数值比拟，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。〔二〕函数一定有最值的条件〔1〕函数必须是连续不断地“连续的绳子”。〔2〕区间必须是闭区间八、导数与原函数的图像问题〔一〕导数的图像要求：能看懂导数的图像所代表的含义。对于导数的图像只看正负，换句话说只看哪局部位于x轴上方，哪局部位于x轴下方，位于x轴上方代表原函数单调递增，位于x轴下方代表原函数单调递减。与x轴的交点就是原函数的极值点。例：的图像,做出所对应的原函数的大致图像。的图像的大致图像从导数的图像应该得到函数的单调增区间为和，单调减区间为，和处函数取得极值，是极大值点，是极小值点。〔二〕原函数的图像看原函数的图像要注意图像的变化率。图像的变化率即是本章所学习的导数。看原函数图像的变化率主要看函数图像的“陡”和“缓”。图像越“陡”，那么变化率越大，导数的绝对值就越大。图像越“缓”，那么变化率越小，导数的绝对值就越小。典型例题：课本P1109课本P92例3例：设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，那么导函数的图象可能为〔D〕xyOxyOAxyxyOxyOAxyOBxyOCxyODf(x)例：是f〔x〕的导函数，f/〔x〕的图象如右图所示，那么f〔x〕的图象只可能是〔D〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕九、最值应用之恒成立问题〔1〕连续不断地函数和，，恒成立。解析：在上的最小值要大于在上的最大值。〔2〕函数和，，有恒成立。解析：新函数在上的最小值要大于0.例：函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)假设对，不等