数列知识点总结及题型归纳

数列一、数列的概念〔1〕数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作，在数列第一个位置的项叫第1项〔或首项〕，在第二个位置的叫第2项，……，序号为的项叫第项〔也叫通项〕记作；数列的一般形式：，，，……，，……，简记作。例：判断以下各组元素能否构成数列〔1〕a,-3,-1,1,b,5,7,9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。〔2〕通项公式的定义：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：①：1，2，3，4，5，…②：…数列①的通项公式是=〔7，〕，数列②的通项公式是=〔〕。说明：①表示数列，表示数列中的第项，=表示数列的通项公式；②③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……〔3〕数列的函数特征与图象表示：序号：123456项：456789上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集〔或它的有限子集〕的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立点。例：画出数列的图像.〔4〕数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列〔递增数列、递减数列〕、常数列和摆动数列。例：以下的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？〔1〕1，2，3，4，5，6，…(2)10,9,8,7,6,5,…(3)1,0,1,0,1,0,…(4)a,a,a,a,a,…〔5〕数列{}的前项和与通项的关系：例：数列的前n项和，求数列的通项公式练习：1．根据数列前4项，写出它的通项公式：〔1〕1，3，5，7……；〔2〕，，，；〔3〕，，，。〔4〕9，99，999，9999…〔5〕7，77，777，7777，…(6)8,88,888,8888…2．数列中，〔1〕写出，，，，；〔2〕是否是数列中的项？假设是，是第几项？3．〔2003京春理14，文15〕在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白〔_____〕内。4、由前几项猜测通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.〔1〕〔1〕〔4〕〔7〕〔〕〔〕5.观察以下各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是〔〕，其通项公式为.2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点A．40个B．452条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点4条直线相交，最多有6个交点二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。用递推公式表示为或。例：等差数列，题型二、等差数列的通项公式：；说明：等差数列〔通常可称为数列〕的单调性：为递增数列，为常数列，为递减数列。例：1.等差数列中，等于〔〕A．15B．30C．31D．642.是首项，公差的等差数列，如果，那么序号等于〔A〕667〔B〕668〔C〕669〔D〕6703.等差数列，那么为为〔填“递增数列”或“递减数列”〕题型三、等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。其中，，成等差数列即：〔〕例：1．〔06全国I〕设是公差为正数的等差数列，假设，，那么〔〕A．B． C．D．2.设数列是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，那么它的首项是〔〕A．1B.2C.4D.8题型四、等差数列的性质：〔1〕在等差数列中，从第2项起，每一项为哪一项它相邻二项的等差中项；〔2〕在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；〔3〕在等差数列中，对任意，，，；〔4〕在等差数列中，假设，，，且，那么；题型五、等差数列的前和的求和公式：。(是等差数列)递推公式：例：1.如果等差数列中，，那么〔A〕14〔B〕21〔C〕28〔D〕352.〔2009湖南卷文〕设是等差数列的前n项和，，，那么等于()A．13B．35C．49D．633.〔2009全国卷Ⅰ理〕设等差数列的前项和为，假设,那么=4.〔2010重庆文〕〔2〕在等差数列中，，那么的值为〔〕〔A〕5〔B〕6〔C〕8〔D〕105.假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列有〔〕A.13项 B.12项 C.11项 D.10项6.等差数列的前项和为，假设7.〔2009全国卷Ⅱ理〕设等差数列的前项和为，假设那么8．〔98全国〕数列｛bn｝是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100.〔Ⅰ〕求数列｛bn｝的通项bn；9.数列是等差数列，，其前10项的和，那么其公差等于()C.D.10.〔2009陕西卷文〕设等差数列的前n项和为,假设,那么11．〔00全国〕设｛an｝为等差数列，Sn为数列｛an｝的前n项和，S7＝7，S15＝75，Tn为数列｛｝的前n项和，求Tn。12.等差数列的前项和记为，=1\*GB3①求通项；=2\*GB3②假设=242，求13.在等差数列中，〔1〕；〔2〕；(3)题型六.对于一个等差数列：〔1〕假设项数为偶数，设共有项，那么①偶奇；②；〔2〕假设项数为奇数，设共有项，那么①奇偶；②。题型七.对与一个等差数列，仍成等差数列。例：1.等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，那么它的前3m项和为〔〕A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前项的和为48，前2项的和为60，那么前3项的和为。3．等差数列的前10项和为100，前100项和为10，那么前110项和为4.设为等差数列的前项和，=5．〔06全国II〕设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，假设＝，那么＝A． B．C． D．题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：=1\*GB3①定义法：是等差数列=2\*GB3②中项法：是等差数列=3\*GB3③通项公式法：是等差数列=4\*GB3④前项和公式法：是等差数列例：1.数列满足，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.数列的通项为，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.一个数列的前n项和，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.一个数列的前n项和，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.一个数列满足，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列满足=8，〔〕=1\*GB3①求数列的通项公式；7．〔01天津理，2〕设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，那么{an}是〔〕A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列题型九.数列最值〔1〕，时，有最大值；，时，有最小值；〔2〕最值的求法：①假设，的最值可求二次函数的最值；可用二次函数最值的求法〔〕；②或者求出中的正、负分界项，即：假设，那么最值时的值〔〕可如下确定或。例：1．等差数列中，，那么前项的和最大。2．设等差数列的前项和为，=1\*GB3①求出公差的范围，=2\*GB3②指出中哪一个值最大，并说明理由。3．〔02上海〕设｛an｝〔n∈N*〕是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，那么以下结论错误的选项是〔〕A.d＜0 B.a7＝0C.S9＞S5 D.S6与S7均为Sn的最大值4．数列的通项〔〕，那么数列的前30项中最大项和最小项分别是5.是等差数列，其中，公差。〔1〕数列从哪一项开始小于0？〔2〕求数列前项和的最大值，并求出对应的值．6.是各项不为零的等差数列，其中，公差，假设,求数列前项和的最大值．7.在等差数列中，，，求的最大值．题型十.利用求通项．1.数列的前项和．〔1〕试写出数列的前5项；〔2〕数列是等差数列吗？〔3〕你能写出数列的通项公式吗？2．数列的前项和那么3.设数列的前n项和为Sn=2n2，求数列的通项公式；4.数列中，前和=1\*GB3①求证：数列是等差数列=2\*GB3②求数列的通项公式5.〔2010安徽文〕设数列的前n项和，那么的值为〔〕〔A〕15(B)16(C)49〔D〕64等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：：。一、递推关系与通项公式在等比数列中,，那么在等比数列中,,那么3.〔07重庆文〕在等比数列{an}中，a2＝8，a1＝64，，那么公比q为〔〕〔A〕2 〔B〕3 〔C〕4 〔D〕84.在等比数列中，，，那么=5.在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，那么〔〕A33B72C84D189二、等比中项：假设三个数成等比数列，那么称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.和的等比中项为()2.〔2009重庆卷文〕设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，那么的前项和=〔〕A． B． C． D．三、等比数列的根本性质，1.〔1〕〔2〕〔3〕为等比数列，那么下标成等差数列的对应项成等比数列.〔4〕既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列.例：1．在等比数列中,和是方程的两个根,那么()2.在等比数列，，，那么=3.在等比数列中，=1\*GB3①求=2\*GB3②假设4.等比数列的各项为正数，且〔〕A．12B．10C．8D．2+5.〔2009广东卷理〕等比数列满足，且，那么当时，〔〕A.B.C.D.2.前项和公式例：1.等比数列的首相，公比，那么其前n项和2.等比数列的首相，公比，当项数n趋近与无穷大时，其前n项和3.设等比数列的前n项和为，已，求和4．〔2006年北京卷〕设，那么等于〔〕A． B．C． D．5．〔1996全国文，21〕设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，假设S3＋S6＝2S9，求数列的公比q；6．设等比数列的公比为q，前n项和为Sn，假设Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，那么q的值为.3.假设数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列.如以下图所示：例：1.〔2009辽宁卷理〕设等比数列{}的前n项和为，假设=3，那么=A.2B.C.D.32.一个等比数列前项的和为48，前2项的和为60，那么前3项的和为〔〕A．83B．108C．75D．633.数列是等比数列，且4.等比数列的判定法〔1〕定义法：为等比数列；〔2〕中项法：为等比数列；〔3〕通项公式法：为等比数列；〔4〕前项和法：为等比数列。为等比数列。例：1.数列的通项为，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.数列满足，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.一个数列的前n项和，那么数列为〔〕A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.利用求通项．例：1.〔2005北京卷〕数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．2.〔2005山东卷〕数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．四、求数列通项公式方法〔1〕．公式法〔定义法〕根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1等差数列满足：，求；数列满足，求数列的通项公式；3.数列满足=8，〔〕，求数列的通项公式；数列满足，求数列的通项公式；设数列满足且，求的通项公式数列满足，求数列的通项公式。等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式数列满足，求数列的通项公式；数列满足〔〕，求数列的通项公式；数列满足且〔〕，求数列的通项公式；数列满足且〔〕，求数列的通项公式；12.数列数列满足那么数列的通项公式=〔2〕累加法1、累加法适用于：假设，那么两边分别相加得例：1.数列满足，求数列的通项公式。数列满足，求数列的通项公式。数列满足，求数列的通项公式。设数列满足，，求数列的通项公式〔3〕累乘法适用于：假设，那么两边分别相乘得，例：1.数列满足，求数列的通项公式。数列满足，，求。3.，，求。待定系数法适用于解题根本步骤：确定设等比数列，公比为列出关系式比拟系数求，解得数列的通项公式解得数列的通项公式例：1.数列中，，求数列的通项公式。〔2006，重庆,文,14〕在数列中，假设，那么该数列的通项_______________3.〔2006.福建.理22.本小题总分值14分〕数列满足求数列的通项公式；4.数列满足，求数列的通项公式。解：设5.数列满足，求数列的通项公式。解：设6.数列中，,，求7.数列满足，求数列的通项公式。解：设8.数列满足，求数列的通项公式。递推公式为〔其中p，q均为常数〕。先把原递推公式转化为其中s，t满足9.数列满足，求数列的通项公式。〔5〕递推公式中既有分析：把关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方法求解。〔2005北京卷〕数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式．2.〔2005山东卷〕数列的首项前项和为，且，证明数列是等比数列．3．数列中，前和=1\*GB3①求证：数列是等差数列=2\*GB3②求数列的通项公式4.数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。〔6〕根据条件找与项关系例1.数列中，，假设，求数列的通项公式2.〔2009全国卷Ⅰ理〕在数列中，〔I〕设，求数列的通项公式〔7〕倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例：1.数列满足，求数列的通项公式。〔8〕对无穷递推数列消项得到第与项的关系例：1.〔2004年全国I第15题，原题是填空题〕数列满足，求的通项公式。2.设数列满足，．求数列的通项；〔9〕、迭代法例：1.数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。〔10〕、变性转化法1、对数变换法适用于指数关系的递推公式例：数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。两边取常用对数得 2、换元法适用于含根式的递推关系例：数列满足，求数列的通项公式。解：令，那么五、数列求和1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。公比含字母时一定要讨论(理)无穷递缩等比数列时，例：1.等差数列满足，求前项和2.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,那么n=〔〕A．9B．10C．11D．123.等比数列满足，求前项和4.设，那么等于〔〕 A. B.C. D.2．错位相减法求和：如：例：1．求和2.求和：3.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，〔Ⅰ〕求，的