第二章定解问题

第二章

定解问题主要内容：

1、掌握用数理方程描绘研究物理问题的一般步骤。

2、掌握三类典型数理方程的推导过程和建立（导出）数理方程的一般方法，步骤。

3、正确写出一些典型物理问题的定解问题和定解条件。

§2.1

引言一、数学物理方程简介：

数学物理方程是指从物理问题中导出的反映客观物理量在各个空间、时刻之间相互制约关系的一些偏微分方程。方程可以分为线性和非线性方程。偏微分方程的基本概念：注意：（1）方程的阶数（2）线性和非线性例如：（3）齐次和非齐次齐次：以上这三类方程，从方程本身来看，其特点是二阶线性偏微分方程。可以看出，方程中它们都是关于空间的二阶偏导数，关于时间分别是二阶，一阶偏导数和与时间无关。因此，这三类方程在数学上又是三类不同的方程，依次分别可以称为双曲型、抛物型和椭圆型方程。发展史:(1)十八世纪初：Taylor:

(2)十九世纪中期，三类数理方程：波动方程

输运方程（热传导和扩散）稳定场方程（势场分布、平衡温度场分布）（3）十九世纪末到二十世纪初，其他方程：高阶方程：非线性方程：浅水沟等离子体薛定谔方程：二、数学物理方程的一般性问题:（利用数理方程求解问题的一般步骤）（1）确定定解问题。泛定方程+定解条件=定解问题（2）定解问题的求解:行波法；分离变量法；积分变换法；格林函数法；保角变换法。（3）解的适定性。适定性：即存在性、唯一性和稳定性。

§2.2三类数理方程的导出一、弦的横振动方程（波动方程的建立）1、物理模型：设有一根细长柔软的弦线，绷紧于A，B两点之间，在平衡位置AB附近产生振幅极为微小的横振动，求这弦上各点的运动规律。2、分析：（1）确定研究对象：设u(x,t)为弦位移，则u满足规律所求。为了研究u，在x位置处取

x小段弦为研究对象。（2）物理问题的数学抽象：1）由于弦是“细长”的，所以忽略重力2）由于弦“绷紧”于AB两点，这说明弦中各相邻部分之间有拉力即“张力”作用；由于弦是“柔软”的，所以相邻小段张力总是弦线的切线方向；3）由于弦作“微小”的横向振动，故相邻点沿振动方向位移的差别很小，即无穷小量有了以上对问题的数学描述，下边我们来具体推导方程3、研究建立方程：（1）任意段

x受力：x轴方向:

Y轴方向：F为单位长度所受的外力对

x受力分析，由牛顿第二定律得注意到在振动过程中即这一小段的长度在振动过程中可以看作是不变的。因此，由胡克(Hooke)定律知张力和线度都不随t而变，即注意到得：对上式两边取

x0时的极限即：弦的微小横振动方程是一维的波动方程整理得其中：表示振动在弦上的传播速度表示力密度，表示时刻t，作用于x处的单位质量上的横向外力。若称为弦的自由振动，振动过程中不受外力。齐次波动方程事实上，除了以上一维波动方程，像薄膜振动（二维），电磁场方程（三维）等，均属于波动方程：三维拉普拉斯算符补例：电磁场方程（三维波动方程）已知：电磁场的麦克斯韦方程组的微分形式是求解：电磁场所满足的三维波动方程。由（4）式，并注意本构关系1、3：由（2）式，并注意本构关系2：又由矢量公式得H所满足的方程为：同理得E所满足的方程为：如果介质不导电电磁场所满足的三维波动方程二、热传导方程1.定解问题：设有一根横截面积为的均匀细杆，沿杆长方向有温度差，其侧面绝热，求杆中温度的分布变化规律？不妨取x轴与杆重合，根据问题的物理叙述，利用热传导的相关定律，可以做以下的数学表述：因为热量只会沿着杆长方向传导，所以，这是一个一维问题。可以用u(x,t)表示杆上x点处在t时刻的温度。相关定义：Q—热量；T—温度；t—时间；V—体积；S—面积；ρ—密度。（1）比热容（单位物质升高单位温度所需热量）（2）热流强度（单位时间内垂直通过单位面积的热量）（3）热源强度（单位时间内单位体积源放出的热量）（k为热导率，与介质材料有关）3、建立方程：（1）在

t时间内引起小段

x的温度升高时，所需热量为取（2）在

t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为（3）在

t时间内沿x轴由x+x处正向流出截面的热量为（4）在

t内，杆内热源在

x段产生的热量为根据能量守恒定律令，取极限一维的热传导方程，类似可得三维扩散、热传导方程：三、稳定场方程（泊松公式）1、定解问题：在充满介电常数ε的介质区域中，有体密度为ρ(x,y,z)的电荷分布，试研究这个区域中的静电场的分布特性。2、分析：因为静电场是有势场，势函数V满足所以，研究电场分布特性只需确定势函数的规律即可。所以，确定研究对象为V(x,y,z)已知：稳定场不随时间变化，3、建立方程：在研究的区域中，任作一封闭曲面S，其所包围的空间区域为τ，则由介质中静电场中的高斯定理，得把面积分化为体积分：因此由E/V关系和矢量场运算得这就是介质中的静电场满足的泊松方程。4、几点说明：（1）如果我们所讨论的区域中无电荷，得拉普拉斯方程：（2）稳定的浓度分布和温度场方程：可由建立数理方程一般的三个步骤：（1）对所研究的问题做数学抽象表述，从所研究的系统中划出一小部分，即微元作为研究对象，分析相邻部分与这一小微元的相互作用；（2）根据相关领域中的物理学的规律（如前面所用的牛顿第二定律、能量守恒定律、高斯定律等），以数学表达对微元的这种作用关系；（3）化简、整理，取相应的极限过程，得到数学物理方程。作业1§2.3定解条件一、引入定解条件的必要性：1、从物理角度看：物理方程仅能表示一般性，要个性化物体的规律需要附加条件。2、从数学角度看：微分方程的解的任意性需要附加定解条件来具体化。3、定解条件包括：初始条件和边界条件。二、初始条件从数学角度看，对于一个含有时间变量的微分方程，其未知函数将随时间的不同而不同。所以必须考虑到研究对象的某个所谓“初始”时刻的状态，我们把这个物理过程的初始状态的数学表达式称为初始条件。

例如：波动方程的初始条件：给出弦上各点在开始振动时刻的初始位移：给出弦上各点的初始速度：2、注意：（1）初始条件应该给出整个系统的初始状态，而不仅是系统中个别地点的初始状态：例如：两端固定的弦振动，初始条件为：

（2）如果泛定方程是关于时间变量t的n阶(n=1,2…)方程，就必须给出n个初始条件，只有这样才可能给出具体问题的定解。例

长为l的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记为u0

，试写出该过程的初始条件。解：由题意，得三、边界条件1、定义：由于泛定方程中的未知函数均是空间位置的函数，必须考虑研究对象所处的特定环境和边界的物理状况。这是因为所研究的物理量在某一位置与其相邻位置的取值之间的关系，将会延伸到被研究的区域的边界，与边界状况发生联系。我们称这个物理过程的边界状况的数学表达式为边界条件。

2、三类边界条件：（1）第一类边界条件：又称狄利克莱（利，Dirichlet）条件，它直接给出了未知函数在边界上的值，即

例：长为l两端固定的弦的横振动问题：一维杆的热传导问题，已知：（2）第二类边界条件：又称为偌依曼（Neumann）条件，它给出了未知函数在边界上的法向导数的值例:长为l的细杆的纵振动问题。若x=l端受有外力，单位面积所受的力为F(t)，另一端固定在墙上，试写出在端的边界条件。解：取一小微元

x段为对象，由胡克（Hooke）定律，在处其中，E为杨氏模量，A为杆的横截面积所以，由牛顿第二定律得其中，ρ为杆的体密度，utt为

x小段加速度，取

x

趋向零，得即：若x=l端是自由的，即不受外力(F=0)（非齐次边界）（齐次边界）例2一维杆的导热问题，若已知在一端x=l处流入的热流强度为Φ(t)，则在x=l处的边界条件为:由热流强度的定义式知（3）第三类边界条件：又称混和边界条件，它给出了未知函数和它的法线方向上的导数的线性组合在边界上的值，即例3.

如图，在x=l端受到弹性力（K为弹簧的弹性系数）的作用时，试写出x=l端的边界条件。只需把

代入前边公式得例4.

同样是一维杆的导热问题，若在x=l

端自由冷却，即在这个端点与周围媒质按牛顿冷却定律（即物体冷却时放出的热量-k▽u与物体外界的温度差成正比，其中为周围媒质的温度。）交换热量，试写出这个端点的边界条件。解：根据牛顿冷却定律，对于一维问题，在x=l端有其中，H为热交换系数，因此，这个端点的边界条件为k导热系数，3、其他边值条件：（1）衔接条件在研究具有不同媒质的问题中，方程在介质的突变区域（即分层处由于介质的不连续性）会失去意义，因此，除了边界条件外，还需要增加在不同媒质界面处的关联性的数学表达，我们称为衔接条件。例1.用两根不同质料的杆接成的一根杆的纵振动问题，在连接处位移相等，应力也相等，故在连接点x=x0处位移

u应满足下列衔接条件:E为杨氏模量例2.在静电场问题里，两种介质的交界面，电势u应当相等（连续），电位移矢量的法向分量也应当相等（连续），有衔接条件（2）自然边界条件不是由要研究的问题直接明确给出的，而是根据解的特定性加上去的定解条件，称为自然边界条件。例如，对于欧拉（Euler）方程它的通解是在区间[0,a]中，如y表示杆上的温度，故存在自然边界条件此时：五、三类定解问题1.初值问题若定解条件仅为初始条件，则相应的定解问题为初值问题（或称柯西问题）。2.边值问题若定解条件仅为边界条件，则称相应的定解问题为边值问题。3.混合问题若定解条件既有边界条件又有初始条件，则称相应的定解问题为混和问题。例本章小结1.三类典型的数学物理方程

2.定解条件（1）初始条件波动方程是一个关于时间t的二阶偏导数，要定