新教材数学人教A版学案2-2第2课时基本不等式的应用

第2课时基本不等式的应用关键能力·攻重难题型探究题型一均值不等式的灵活运用例1(1)已知x＞2，求x＋eq\f(4,x－2)的最小值；(2)已知eq\f(2,x)＋eq\f(2,y)＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值．[解析](1)∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋eq\f(4,x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(4,x－2))＋2＝6，当且仅当x－2＝eq\f(4,x－2)，即x＝4时，等号成立．∴x＋eq\f(4,x－2)的最小值为6．(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·(eq\f(2,x)＋eq\f(2,y))＝4＋2(eq\f(x,y)＋eq\f(y,x))≥4＋4eq\r(\f(x,y)·\f(y,x))＝8．当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(y,x)，即x＝y＝4时取等号，x＋y的最小值为8．[归纳提升]利用基本不等式求最值的策略eq\x(策略)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(探求条件\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(一正——各数均为正,二定——和或积为定值,三相等——等号能否成立)),利用不等式的性质转化))【对点练习】❶(1)若x＜0，求eq\f(12,x)＋3x的最大值；(2)设x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．[解析](1)因为x＜0，所以eq\f(12,x)＋3x＝－[(－eq\f(12,x))＋(－3x)]≤－2eq\r(－\f(12,x)·－3x)＝－12，当且仅当－eq\f(12,x)＝－3x，即x＝－2时等号成立，所以eq\f(12,x)＋3x的最大值为－12．(2)解法一：由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x．∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝eq\f(2x,x－8)，∴x＋y＝x＋eq\f(2x,x－8)＝x＋eq\f(2x－16＋16,x－8)＝(x－8)＋eq\f(16,x－8)＋10≥2eq\r(x－8×\f(16,x－8))＋10＝18．当且仅当x－8＝eq\f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．∴x＋y的最小值是18．解法二：由2x＋8y＝xy及x＞0，y＞0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1．∴x＋y＝(x＋y)(eq\f(8,x)＋eq\f(2,y))＝eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＋10≥2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18．当且仅当eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值是18．题型二利用基本不等式求参数范围例2已知a＞0，b＞0，若不等式eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，则m的最大值等于(B)A．10 B．9C．8 D．7[解析]因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,2a＋b)恒成立，只需m≤(2a＋b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))恒成立，而(2a＋b)(eq\f(2,a)＋eq\f(1,b))＝4＋eq\f(2a,b)＋eq\f(2b,a)＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9．[归纳提升]1．恒成立问题常采用分离参数的方法求解，若a≤y恒成立，则a≤ymin；若a≥y恒成立，则a≥ymax．将问题转化为求y的最值问题，可能会用到基本不等式．2．运用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常出现，在解决此类问题时，要注意发掘各个变量之间的关系，探寻思路，解决问题．【对点练习】❷若对任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,5)))))__．[解析]因为x＞0，所以x＋eq\f(1,x)≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值为eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5)．题型三基本不等式的实际应用例3如图所示动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，(2)要使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时[分析](1)已知a＋b为定值，可用基本不等式求ab的最大值．(2)已知ab为定值，可用基本不等式求a＋b的最小值．[解析](1)设每间虎笼长xm，宽ym，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18．设每间虎笼面积为S，则S＝xy．方法一：由于2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)，所以2eq\r(6xy)≤18，得xy≤eq\f(27,2)，即S≤eq\f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4．5，,y＝3．))故每间虎笼长4.5m，宽3方法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq\f(3,2)y．因为x＞0，所以9－eq\f(3,2)y＞0，所以0＜y＜6，S＝xy＝(9－eq\f(3,2)y)y＝eq\f(3,2)(6－y)·y．因为0＜y＜6，所以6－y＞0，所以S≤eq\f(3,2)·[eq\f(6－y＋y,2)]2＝eq\f(27,2)．当且仅当6－y＝y即y＝3时等号成立，此时x＝4.5．故每间虎笼长4.5m，宽3(2)由条件知S＝xy＝24．设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y．方法一：因为2x＋3y≥2eq\r(2x·3y)＝2eq\r(6xy)＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48．当且仅当2x＝3y时，等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝3y，,xy＝24))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4．))故每间虎笼长6m，宽4方法二：由xy＝24，得x＝eq\f(24,y)．所以l＝4x＋6y＝eq\f(96,y)＋6y＝6(eq\f(16,y)＋y)≥6×2eq\r(\f(16,y)·y)＝48．当且仅当eq\f(16,y)＝y即y＝4时，等号成立，此时x＝6．故每间虎笼长6m，宽4[归纳提升]在应用基本不等式解决实际问题时应注意的问题(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域．(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值．(4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．【对点练习】❸如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm．怎样确定广告牌的高与宽的尺寸([解析]设矩形广告牌的高为xcm，宽为ycm，则每栏的高和宽分别为(x－20)cm，(eq\f(y－25,2))cm(x＞20，y＞25)，两栏面积之和为2(x－20)·eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，∴广告牌的面积S＝xy＝x(eq\f(18000,x－20)＋25)＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25(x－20)＋18500．∵x－20＞0，∴S≥2eq\r(\f(360000,x－20)×25x－20)＋18500＝24500．当且仅当eq\f(360000,x－20)＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000,x－20)＋25，得y＝175．即当x＝140，y＝175时，S取得最小值为24500．故当广告牌的高为140cm，宽为175误区警示易错问题——忽略等号成立的条件或等号成立的一致性例4已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为(B)A．1＋eq\r(2) B．3＋2eq\r(2)C．3eq\r(2) D．4eq\r(2)[错解]∵x＞0，y＞0，∴1＝x＋2y≥2eq\r(2xy)，∴8xy≤1．∴xy≤eq\f(1,8)，∴eq\f(1,xy)≥8．∵eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(8)＝4eq\r(2)．故eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为4eq\r(2)．[错因分析]上述在求解过程中使用了两次基本不等式：x＋2y≥2eq\r(2xy)，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥2eq\r(\f(1,xy))，但这两次取等号的条件需满足x＝2y与x＝y，自相矛盾，所以等号取不到．[正解]∵x＋2y＝1，x＞0，y＞0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝(x＋2y)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,y))＝3＋eq\f(x,y)＋eq\f(2y,x)≥3＋2eq\r(2)(当且仅当eq\f(x,y)＝eq\f(2y,x)，即x＝eq\r(2)y时，等号成立)．∴x＝eq\r(2)－1，y＝1－eq\f(\r(2),2)．故当x＝eq\r(2)－1，y＝1－eq\f(\r(2),2)时，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)有最小值，为3＋2eq\r(2)．[方法点拨]连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．学科素养基本不等式求最值基本不等式在解决数学问题中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．例5求函数y＝eq\f(\r(x＋2),2x＋5)的最大值．[分析]把eq\r(x＋2)看成一个整体→函数转化为用eq\r(x＋2)来表示→找出其内在的形式特点→用基本不等式来处理．[解析]设t＝eq\r(x＋2)≥0，则x＝t2－2．于是y＝eq\f(t,2t2＋1)(t≥0)．当t＝0时，y＝0．当t＞0时，y＝eq\f(1,2t＋\f(1,t))≤eq\f(1,2\r(2t·\f(1,t)))＝eq\f(\r(2),4)．当且仅当2t＝eq\f(1,t)，即t＝eq\f(\r(2),2)时，y有最大值为eq\f(\r(2),4)．由eq\r(x＋2)＝eq\f(\r(2),2)，解得x＝－eq\f(3,2)．即x＝－eq\f(3,2)，y有最大值为eq\f(\r(2),4)．[归纳提升]利用基本不等式求最值时，需满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而求得最值．课堂检测·固双基1．若x＞5，则x＋eq\f(4,x－5)的最小值为(C)A．6 B．8C．9 D．3[解析]令t＝x－5，则t＞0，x＋eq\f(4,x－5)＝t＋eq\f(4,t)＋5≥2eq\r(t·\f(4,t))＋5＝9，当且仅当t＝eq\f(4,t)，即t＝2，x＝7时，函数f(x)＝x＋eq\f(4,x－5)(x＞5)的最小值为9．2．设x＞0，y＞0，x＋y＝4，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值为__eq\f(9,4)__．[解析]∵x＋y＝4，∴eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\f(1,4)(eq\f(1,x)＋eq\f(4,y))(x＋y)＝eq\f(1,4)(5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y))，又x＞0，y＞0，则eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥2eq\r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4(当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(4x,y)时取等号)，则eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥eq\f(1,4)×(5＋4)＝eq\f(9,4)．3．已知x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy的最大值为__eq\f(1,16)__．[解析]xy＝eq\f(1,4)x·4y≤eq