高考数学理北师大版一轮复习测评9-6利用空间向量讨论平行与垂直

核心素养测评四十九利用空间向量讨论平行与垂直(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2),平面α的法向量为n=(2,1,1),则()A.l∥α B.l⊥αC.lα或l∥α D.l与α斜交【解析】选C.因为a=(1,0,2),n=(2,1,1),所以a·n=0,即a⊥n,所以l∥α或lα.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=QUOTEA1D,AF=QUOTEAC,则 ()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),EQUOTE,FQUOTE,B(1,1,0),D1(0,0,1),QUOTE=(1,0,1),QUOTE=(1,1,0),QUOTE=QUOTE,QUOTE=(1,1,1),QUOTE=QUOTE,QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=0,从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.3.已知平面α内有一点M(1,1,2),平面α的一个法向量为n=(6,3,6),则下列点P中,在平面α内的是 ()A.P(2,3,3) B.P(2,0,1)C.P(4,4,0) D.P(3,3,4)【解析】选A.逐一验证法,对于选项A,QUOTE=(1,4,1),所以QUOTE·n=612+6=0,所以QUOTE⊥n,所以点P在平面α内,同理可验证其他三个点不在平面α内.4.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则:①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.以上说法正确的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选C.QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以QUOTE∥QUOTE,所以A1M∥D1P,由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面DCC1D1,A1M∥平面D1PQB1.①③④正确.5.如图,F是正方体ABCDA1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有 ()导学号A.B1E=EB B.B1E=2EBC.B1E=QUOTEEB D.E与B重合【解析】选A.分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),设E(2,2,z),则QUOTE=(0,1,2),QUOTE=(2,2,z),因为QUOTE·QUOTE=0×2+1×22z=0,所以z=1,所以B1E=EB.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若A0,2,QUOTE,B1,1,QUOTE,C2,1,QUOTE是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=________________.

【解析】QUOTE=1,3,QUOTE,QUOTE=2,1,QUOTE,a·QUOTE=0,a·QUOTE=0,QUOTEx∶y∶z=QUOTEy∶y∶QUOTEy=2∶3∶(4).答案:2∶3∶(4)7.设平面α与向量a=(1,2,4)垂直,平面β与向量b=(2,4,8)垂直,则平面α与β位置关系是________________.

【解析】因为2a=b,所以a∥b.因为平面α与向量a垂直,所以平面α与向量b也垂直.而平面β与向量b垂直,所以α∥β.答案:平行8.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF的夹角为θ,则cosθ的最大值为________________. 导学号

【解析】如图,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0≤m≤2),则QUOTE=(2,1,0),QUOTE=(1,m,2),cosθ=QUOTE,令t=2m(0≤t≤2),cosθ=QUOTE×QUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=QUOTE,AF=1,M是线段EF的中点.求证:(1)AM∥平面BDE.(2)AM⊥平面BDF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,设AC∩BD=N,连接NE.则NQUOTE,QUOTE,0,E(0,0,1),A(QUOTE,QUOTE,0),MQUOTE,QUOTE,1,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,QUOTE=QUOTE,QUOTE,1.所以QUOTE=QUOTE且NE与AM不共线.所以NE∥AM.又因为NE平面BDE,AM平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,因为D(QUOTE,0,0),F(QUOTE,QUOTE,1),所以QUOTE=(0,QUOTE,1)所以QUOTE·QUOTE=0,所以AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF=F,所以AM⊥平面BDF.10.在四棱锥PABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. 导学号(1)求证:EF⊥CD.(2)在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论.【解析】(1)如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a,a,0)、C(0,a,0)、Ea,QUOTE,0、P(0,0,a)、FQUOTE,QUOTE,QUOTE.QUOTE=QUOTE,0,QUOTE,QUOTE=(0,a,0).因为QUOTE·QUOTE=0,所以QUOTE⊥QUOTE,即EF⊥CD.(2)设G(x,0,z),则QUOTE=xQUOTE,QUOTE,zQUOTE,若使GF⊥平面PCB,则由QUOTE·QUOTE=xQUOTE,QUOTE,zQUOTE·(a,0,0)=axQUOTE=0,得x=QUOTE;由QUOTE·QUOTE=xQUOTE,QUOTE,zQUOTE·(0,a,a)=QUOTE+azQUOTE=0,得z=0.所以G点坐标为QUOTE,0,0,即G点为AD的中点.(15分钟35分)1.(5分)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且QUOTE=QUOTE,N为B1B的中点,则|QUOTE|为 ()A.QUOTEa B.QUOTEa C.QUOTEa D.QUOTEa【解析】选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),C1(0,a,a),Na,a,QUOTE.设M(x,y,z),因为点M在AC1上且QUOTE=QUOTE,所以(xa,y,z)=QUOTE(x,ay,az),所以x=QUOTEa,y=QUOTE,z=QUOTE,得MQUOTE,QUOTE,QUOTE,所以|QUOTE|=QUOTE=QUOTEa.2.(5分)给出下列命题:①直线l的方向向量为a=(1,1,2),直线m的方向向量b=QUOTE,则l与m垂直;②直线l的方向向量a=(0,1,1),平面α的法向量n=(1,1,1),则l⊥α;③平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β;④平面α经过三点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1.其中真命题是________________.(把你认为正确的命题的序号都填上)

【解析】对于①,因为a=(1,1,2),b=(2,1,QUOTE),所以a·b=1×21×1+2×QUOTE=0,所以a⊥b,所以直线l与m垂直,①正确;对于②,a=(0,1,1),n=(1,1,1),所以a·n=0×1+1×(1)+(1)×(1)=0,所以a⊥n,所以l∥α或lα,②错误;对于③,因为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),所以n1与n2不共线,所以α∥β不成立,③错误;对于④,因为点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,2,0),所以QUOTE=(1,1,1),QUOTE=(1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,所以QUOTE,即QUOTE,则u+t=1,④正确.综上,真命题的序号是①④.答案:①④3.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为正方形A1B1C1D1四边上的动点,O为底面正方形ABCD的中心,M,N分别为AB,BC的中点,点Q为平面ABCD内一点,线段D1Q与OP互相平分,则满足QUOTE=λQUOTE的实数λ有________________个.

【解析】建立如图所示的坐标系,设正方体的棱长为2,P点坐标为(x,y,2),则O(1,1,0),所以OP的中点坐标为QUOTE,QUOTE,1,又知D1(0,0,2),D1Q的中点也是OP中点,所以Q(x+1,y+1,0),而Q在MN上,所以xQ+yQ=3,由=λ得QUOTE所以x+y=1,即点P坐标满足x+y=1,由于P点在四边上,所以有2个符合题意的点P,即对应有2个λ.答案:24.(10分)如图所示,已知直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证: 导学号(1)DE∥平面ABC.(2)B1F⊥平面AEF.【证明】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,令AB=AA1=4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4).取AB的中点N,连接CN,则N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),所以QUOTE=(2,4,0),QUOTE=(2,4,0),所以QUOTE=QUOTE,所以DE∥NC,又因为NC平面ABC,DE平面ABC.故DE∥平面ABC.(2)由(1)知QUOTE=(2,2,4),QUOTE=(2,2,2),QUOTE=(2,2,0).QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×(2)+(4)×(2)=0,QUOTE·QUOTE=(2)×2+2×2+(4)×0=0.所以QUOTE⊥QUOTE,QUOTE⊥QUOTE,即B1F⊥EF,B1F⊥AF,又因为AF∩FE=F,所以B1F⊥平面AEF.5.(10分)如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是棱D1D的中点,点F在棱B1B上,且满足B1F=2BF. 导学号(1)求证:EF⊥A1C1.(2)在棱C1C上确定一点G,使A,E,G,F四点共面,并求此时C1G的长.【解析】(1)以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0)、A1(a,0,a)、C1(0,a,a)、EQUOTE、FQUOTE,所以QUOTE=(a,a,0),QUOTE=QUOTE,因为QUOTE·QUOTE=a2+a2+0=0,所以QUOTE⊥QUOTE,所以A1C1⊥EF.(2)设G(0,a,h),因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ADD1A1∩平面AEGF=AE,平面BCC1B1∩平面AEGF=FG,所以FG∥AE,所以存在实数λ,使得QUOTE=λQUOTE,因为QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=λQUOTE,所以λ=1,h=QUOTEa,所以C1G=CC1CG=aQUOTEa=QUOTEa,故当C1G=QUOTEa时,A,E,G,F四点共面.1.在直三棱柱ABCA1B1C1中,BA⊥CA,A1A=BA=CA,点M,N分别是AC,AB的中点,过点C作平面α,使得α∥A1M,α∥B1N,若α∩B1C1=P,则QUOTE的值为 导学号()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为AB,AC,AA1两两垂直,所以以A为原点,以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则QUOTE=(0,1,2),QUOTE=(1,0,2),设QUO