6.2.3平面向量的数乘运算

6.2.3平面向量的数乘运算知识点一向量的数乘运算定义一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作长度方向的方向与的方向相同的方向与的方向相反规定当＝0或时，；微点拨：①数乘向量仍是向量，实数与向量不能相加.②中的实数叫作向量的系数.③向量数乘运算的几何意义是把沿着的方向或的反方向长度扩大或缩小几倍．④当＝0或时，，注意是，而不是0.若，则＝0或.⑤当时，向量是与向量同向的单位向量.知识点二向量数乘的运算律设为实数，那么(1)；(2)；(3).特别地，.知识点三向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量．对于任意向量，以及任意实数，恒有.微点拨：实数与向量可以求积，但不能求和或求差知识点四向量共线定理向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.微点拨：①向量共线定理中规定，因为如果，当时，，可以是任意实数；当时，，值不存在．②的值是唯一存在的．③当向量同向时，；当向量反向时，.考点一向量的线性运算提分笔记向量线性运算的基本方法1．类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．2．方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．题型一向量的数乘运算1．（2023·全国·高三专题练习）设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（

）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．故选：B2．（2023·高一课时练习）已知m、n是实数，、是向量，对于命题：①

②③若，则

④若，则其中正确命题的个数是：（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，③中若，结论不成立，④中若，结论不成立.【详解】①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中若，与没有确定关系，结论不成立，错误；④中若，m与n没有确定关系，结论不成立，错误.故①②两个命题正确．故选：B3．（2023·全国·高一随堂练习）求下列未知向.(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根据向量数乘运算求解.【详解】（1）由得，所以.（2）由得，所以.（3）由得，所以.题型二向量的混合运算1．（2023下·重庆綦江·高一校考期中）化简为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的数乘及加减运算即可求得结果.【详解】根据向量的四则运算可知，.故选：D2．（2022·高一课时练习）若向量，，则.【答案】【分析】根据向量的加减与数乘，可得答案.【详解】；；；.故答案为：.考点二用已知向量表示相关向量提分笔记1．直接法2．方程法当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．3．中点向量公式若M为AB的中点，O为平面内任一点，则OM＝OA+题型一不含参数1．（2023上·广东茂名·高三统考阶段练习）在中，点为边的中点．记，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】

因为点D为边的中点，所以，.故选：D.2．（2023下·广西钦州·高一浦北中学校考期中，多选）如图，设两点把线段三等分，则下列向量表达式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由图和平面向量线性运算逐一判断选项即可.【详解】由图可得两点把线段三等分，故，A，B正确；，故C，D，错误，故选：AB.3．（2023下·江苏连云港·高一统考期中）已知中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算化简求解即可.【详解】中，，所以.故选：A.4．（2023下·山东潍坊·高二校联考期末）已知平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，若，，则等于（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，由求解.【详解】解：因为在平行四边形中，M，N，P分别是AB，AD，CD的中点，且，，所以，所以，故选：C5．（2021·高一课时练习）在中，若，．(1)若P、Q是线段BC的三等分点，求证：；(2)若P、Q、S是线段BC的四等分点，求证：；(3)如果、、、…、是线段BC的等分点，你能得到什么结论？不必证明．（已知）【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，连接AD，交BC于O点，连接PD、QD，得到，进而求得.（2）当P、Q、S是线段BC的四等分点时，得到Q是BC的中点，结合向量的运算，即可求解.（3）根据向量的多边形法则，即可求得．【详解】（1）解：当P、Q是线段BC的三等分点时，以AB、AC为邻边作平行四边形ABDC，连接AD，交BC于O点，连接PD、QD，如图所示，则，因为，，所以且，所以四边形APDQ是平行四边形，所以.（2）解：当P、Q、S是线段BC的四等分点时，如图所示，则Q是BC的中点，所以.（3）结论：．题型二含参数1．（2023上·江苏苏州·高三统考开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过向量的线性运算化简向量即可求解.【详解】，所以，，所以.故选：A.2．（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F为BE的中点，若，则．【答案】【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】，所以，，.故答案为：.3．（2024上·重庆·高三重庆巴蜀中学校考期中）在中，D为AC上一点且满足若P为BD的中点，且满足则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.【详解】因为，所以，则，所以，，.故选：D.题型三已知关系式的变形1．（2023上·北京朝阳·高三统考期中）已知平面内四个不同的点满足，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.【详解】,,即,.故选：D.2．（2022下·河北石家庄·高一统考阶段练习）已知平面上不共线的四点，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解.【详解】由，得，即，所以，所以，即，故选：B3．（2023下·福建福州·高一校联考期中）在中，，，是所在平面内一点，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，得到，结合，化简得到，即可求解.【详解】由，可得，因为，可得，所以，又因为，所以.故选：A.4．（2019·广东·校联考一模）已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的线性运算化简．【详解】∵，∴，整理得．故选：A．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是把用表示．考点三向量共线的判定及应用应用共线向量定理时的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量共线是指存在不全为零的实数，使成立；若，当且仅当时成立，则向量不共线．题型一向量共线问题1．（2023·全国·高一随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：(1)，；(2)，（其中两个非零向量和不共线）；(3)，.【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.【分析】用向量共线定理判断.【详解】（1），，所以，所以，共线.（2），,所以，所以，共线.（3）因为，，所以，所以.所以，共线.2．（2023·全国·高一课堂例题）如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD，DC的中点，BE，BF分别交AC于M，N．求证：M，N三等分AC．【答案】证明见解析【分析】根据题意结合向量的线性运算分析证明.【详解】由题意可得：，，所以,由于与，与分别共线，但与不共线，所以，，因此N是AC的一个三等分点；同理可证，因此M也是AC的一个三等分点．题型二证明或判断三点共线提分笔记一般来说，要判定三点是否共线，只需看是否存在实数，使得即可．1．（2020·高一课时练习）已知，，求证，，三点共线.【答案】证明见解析.【分析】利用共线向量定理即可推理作答.【详解】因为，，则有，因此共线，而与有公共点，所以，，三点共线.2．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，，求证：A，B，C三点共线．【答案】证明见解析【分析】分别用，表示和，根据和的关系即可证明.【详解】证明:因为，，所以，因此，A，B，C三点共线．3．（2022上·广西玉林·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，且，，，则一定共线的是（

）A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量定理逐项判断作答.【详解】向量，不共线，且，，，，则有共线，而有公共点B，有A，B，D共线，A是；，不存在实数，使得，因此不共线，A，B，C不共线，B不是；，不存在实数，使得，因此不共线，B，C，D不共线，C不是；，不存在实数，使得，因此不共线，A，C，D不共线，D不是.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）设两向量与不共线，若，，，则为何值时，三点共线？【答案】【分析】根据平面向量的加法运算求出，由三点共线，可得存在实数，使，列方程组即可求解.【详解】，若三点共线，则存在实数，使，即，所以，解得.故当时，三点共线.题型三利用向量共线求参数提分笔记已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．1．（2023下·重庆·高一校联考期末）已知点在线段上，且，若向量，则（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可知，结合向量的线性表示即可求得.【详解】如图，由，可得，所以，即，故选：D.2．（2023上·江西·高三校联考阶段练习）在中，若点满足，，则.【答案】2【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】易知，又因为，所以.故答案为：2.3．（2023·高一单元测试）在中，，，，分别是边，，的中点，是的重心，若，则.【答案】4【分析】由向量的平行四边形法则，由向量共线，是的重心，可得，代入可得.【详解】因为的中点，所以，因是的重心，所以，所以，故，故答案为：44．（2018·高一课时练习）已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量共线定理即可得到相关方程组，解出即可.【详解】∵与共线，∴存在实数，使得.①又∵与共线，∴存在实数，使得.②由①得，.∴，∴即.∴故选：D.考点四三角形四心问题题型一三角形四心的判断1．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】A【详解】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，∴动点的轨迹一定通过的重心，如图，故选A．2．（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（

）A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心【答案】C【分析】取BC的中点D，连接OD，AM，BM，CM，由，结合，得到，从而，再由为的外心，得到即可.【详解】解：取BC的中点D，如图所示，连接OD，AM，BM，CM．因为，所以，又，则，所以，又由于为的外心，所以，因此有．同理可得，，所以点是的垂心．故选：C．3．（2023·江苏·高一专题练习）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【答案】C【分析】根据是以为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知点轨迹，据此可求解.【详解】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量，则的方向与的角平分线一致，由，可得，即，所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心.故选：C.4．（2022上·山西太原·高三统考期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（

）A．重心，外心 B．内心，外心 C．重心，内心 D．垂心，外心【答案】A【分析】设中点为，进而结合向量加法法则与共线定理得三点共线，在的中线，进而得为的重心，根据题意得点为的外接圆圆心，进而可得答案.【详解】解：设中点为，因为，所以，即，因为有公共点，所以，三点共线，即在的中线，同理可得在的三条中线上，即为的重心；因为，所以，点为的外接圆圆心，即为的外心综上，点依次是的重心，外心.故选：A题型二已知三角形四心的向量表示1．（2023上·江苏南通·高三统考期末）设为的重心，则（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.【详解】因为为重心，所以，所以，故选：B.2．（2023下·广东广州·高一统考期末）已知点P在所在平面内，满足，且，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根据题意分析可知点P为的重心，根据重心的性质结合向量的线性运算求解.【详解】因为，则点P为的重心，取的中点D，则，整理得，所以，可得.故选：D.题型三向量与基本不等式交汇问题1．（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基