2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（下）入学数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（下）入学数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）下列图形只具有两条对称轴的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形2．（4分）在直角坐标系中，点P（﹣3，6）关于原点对称的点是（）A．（﹣3，﹣6） B．（3，6） C．（3，﹣6） D．（6，﹣3）3．（4分）算蹈《碇步桥》亮相今年春晚后，引发了众多热议话题，其中话题“朱洁静不愧是首席”的阅读量更达到了空前的10.6亿，将数据“10.6亿”用科学记数法表示为（）A．10.6×107 B．10.6×108 C．1.06×109 D．1.06×10104．（4分）下列运算结果正确的是（）A．﹣＝﹣ B．（﹣0.1）﹣2＝0.01 C．（）2÷＝ D．（﹣m）3•m2＝﹣m65．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和直线DF在l1，l2，l3上的交点分别为：A，B，C，D，E，F．已知AB＝6，BC＝4，DF＝9，则DE＝（）A．5.4 B．5 C．4 D．3.66．（4分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（）A．众数是9 B．中位数是8.5 C．平均数是9 D．方差是1.27．（4分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和138．（4分）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式：a3﹣9a＝．10．（4分）关于x的分式方程有增根x＝2，那么k＝．11．（4分）若点A（﹣1，a），点B（2，b）均在反比例函数（k为常数）的图象上，若a＜b，则k的取值范围是．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（，），则a的值为．13．（4分）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：；（2）解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．15．（8分）为更好的了解中学生课外阅读的情况，学校团委将初一年级学生一学期阅读课外书籍量分为A（3本以内）、B（3﹣6本）、C（6﹣10本）、D（10本以上）四种情况进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图所给信息解答上列问题：（1）在扇形统计图中C所占的百分比是多少？（2）请将男、女阅读情况的折线统计图补充完整；（3）学校团委欲从课外阅读量在10本以上的同学中随机邀请两位参加学校举办的“书香致远墨卷至恒”主题读书日的形象大使，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位同学恰好都是女生的概率．16．（8分）成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力．如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝17米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米参考数据：sin35°≈0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70）．17．（10分）如图，O为∠PAQ一边PA上一点，以O为圆心，OA为半径作⊙D分别交PA、QA于B、C，∠PAQ的角平分线交⊙O于M，过M作QA的垂线分别交PA、QA于D、E，连接MC、BM，并延长BM交QA于F．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）判断△MCF的形状，并说明理由；（3）若ME＝6，tan∠EMF＝，试求DB的值．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数在第一象限相交于点A（2，3），过A作AD⊥x轴，垂足为D，一次函数y＝kx+b（k≠0）分别与x轴、y轴相交于B、C，且△ABD的面积为9．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点M是反比例函数上的一点，且纵坐标为1．N为y轴上一动点．当△AMN的周长最小时，求点N的坐标；（3）已知P是x轴上一个动点，过P作PQ⊥x轴交反比例函数于点Q．当△BOC和△PQD相似时，求Q的坐标．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式（α﹣2）（β﹣2）＝20．（4分）在一个不透明的纸箱内装有形状、质地、大小、颜色完全相同的5张卡片，卡片上分别标有数字﹣3，﹣1，0，1，2，将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为．21．（4分）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为奇数的点称为完美点．若反比例函数将矩形OABC（不包含边界）内的完美点平均分布在其两侧，其中O（0，0）、A（7，0）、B（7，5）、C（0，5），则整数k的值是．22．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝19，点E为CD上一点，DE＝6．连接AE，点F为AE的中点，点H是AB边上的一个动点将△AFH沿FH翻折得到△A′FH，连接A′B，点G为A′B的中点，则CG的最大值为．23．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，在AB边上任选一点P，令AP的长度为x（0＜x＜1），从P点构造一条斜率为的直线，交CB于P1，之后过P1作一条垂直于PP1的直线，交CD于P2，以此类推不断进行下去．则P3A的长度为（用含x的式子表示）：若，当P第8次回到AB边上时，P1A的长度为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．（8分）春节期间电影院生意火爆，某电影院顺势推出零食玩具套装，每份套装进价40元．根据经验，定价为100元时，每天可以卖出20份．若定价每降价1元，则每天多卖出2份，设定价为x元，每天销售量为y份．（1）请直接写出y（份）与x（元）之间的函数关系式；（2）为了尽快清理库存，应当定价多少元，使得该电影院每天套装的销售利润是2000元？（3）为了使该电影院每天套装的销售利润最大，应定价多少元？并求出最大利润．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）当C位于原点下方且S△ABC＝3时，求二次函数的解析式；（2）存在实数m，使得当二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求a的取值范围；（3）在（1）问的条件下，抛物线上是否存在一点M，满足？若存在，求出所有满足条件的点M的横坐标；若不存在请说明理由．26．（12分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝6．（1）如图①，点E在AB上，点F在AD上，将△AEF沿EF翻折，使点A恰好落在BD上的点G处，若BE＝2，求BG的长；（2）如图②，点E、F分别是AB、AD边上的动点，将△AEF沿EF翻折，使得点A恰好落在对角线BD的三等分点上，求此时DF的长；（3）如图③，若E、F分别为AB、AD上靠近点A的三等分点，连接EF，将△AEF绕点A旋转得到△AE′F′，取E′F′的中点P，连接PD、PC．求旋转过程中的最小值及此时tan∠DCP的值．

2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．（4分）下列图形只具有两条对称轴的是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【解答】解：A、等边三角形由3条对称轴，故本选项错误；B、平行四边形无对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、正方形有4条对称轴，故本选项错误；故选：C．2．（4分）在直角坐标系中，点P（﹣3，6）关于原点对称的点是（）A．（﹣3，﹣6） B．（3，6） C．（3，﹣6） D．（6，﹣3）【解答】解：点P（﹣3，6）关于原点对称的点是（3，﹣6），故选：C．3．（4分）算蹈《碇步桥》亮相今年春晚后，引发了众多热议话题，其中话题“朱洁静不愧是首席”的阅读量更达到了空前的10.6亿，将数据“10.6亿”用科学记数法表示为（）A．10.6×107 B．10.6×108 C．1.06×109 D．1.06×1010【解答】解：10.6亿＝1060000000＝1.06×109；故选：C．4．（4分）下列运算结果正确的是（）A．﹣＝﹣ B．（﹣0.1）﹣2＝0.01 C．（）2÷＝ D．（﹣m）3•m2＝﹣m6【解答】解：A、﹣＝2﹣3＝﹣，正确，符合题意；B、（﹣0.1）﹣2＝＝100，故此选项错误；C、（）2÷＝×＝，故此选项错误；D、（﹣m）3•m2＝﹣m5，故此选项错误；故选：A．5．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和直线DF在l1，l2，l3上的交点分别为：A，B，C，D，E，F．已知AB＝6，BC＝4，DF＝9，则DE＝（）A．5.4 B．5 C．4 D．3.6【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝6，BC＝4，DF＝9，∴，∴DE＝5.4，故选：A．6．（4分）某射击爱好者的10次射击成绩（单位：环）依次为：7，9，10，8，9，8，10，10，9，10，则下列结论正确的是（）A．众数是9 B．中位数是8.5 C．平均数是9 D．方差是1.2【解答】解：A、∵10出现了4次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是10，故本选项不符合题意；B、该组成绩的中位数是＝9，故本选项不符合题意；C、该组成绩＝（7+9+10+8+9+8+10+10+9+10）＝9，故本选项符合题意；D、该组成绩数据的方差S2＝[（7﹣9）2+2×（8﹣9）2+3×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝1，故本选项不符合题意；故选：C．7．（4分）三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是（）A．11 B．13 C．11或13 D．11和13【解答】解：方程x2﹣6x+8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，可得x﹣2＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝2，x2＝4，当x＝2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；当x＝4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6＝13．故选：B．8．（4分）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（）A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上 C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，∴B错误；C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣＝，∴C错误；D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，∴D正确；故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式：a3﹣9a＝a（a+3）（a﹣3）．【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）．10．（4分）关于x的分式方程有增根x＝2，那么k＝﹣1．【解答】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），可得：（x﹣2）﹣k（x+2）＝4，∵关于x的分式方程有增根x＝2，∴把x＝2代入（x﹣2）﹣k（x+2）＝4，可得：﹣4k＝4，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．11．（4分）若点A（﹣1，a），点B（2，b）均在反比例函数（k为常数）的图象上，若a＜b，则k的取值范围是k＞0．【解答】解：∵点A（﹣1，a），点B（2，b）均在反比例函数（k为常数）的图象上，若a＜b，∴点A（﹣1，a）在第三象限，点B（2，b）在第一象限，∴k＞0，故答案为：k＞0．12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（，），则a的值为．【解答】解：由作图知点P位于第二象限角平分线上，∴﹣＝，解得：a＝，经检验：a＝是原分式方程的解，故答案为：．13．（4分）如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，点F的坐标为（1，1），点C的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是（﹣2，0）或（，）．【解答】解：两个图形位似时，①位似中心就是CF与x轴的交点，设直线CF解析式为y＝kx+b，将C（4，2），F（1，1）代入，得，解得，即y＝x+，令y＝0得x＝﹣2，∴O′坐标是（﹣2，0）．②OC和BG的交点也是位似中心，直线BG的解析式为y＝﹣x+1，直线OC的解析式为y＝x，由解得，∴位似中心的坐标（，），故答案为（﹣2，0）或（，）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，答案写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：；（2）解方程：（2x﹣1）2＝（3﹣x）2．【解答】解：（1）原式＝﹣+|1﹣|+1+＝﹣+﹣1+1+＝；（2）（2x﹣1）2＝（3﹣x）2，（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2＝0，（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）＝0，2x﹣1+3﹣x＝0或2x﹣1﹣3+x＝0，所以x1＝﹣2，x2＝．15．（8分）为更好的了解中学生课外阅读的情况，学校团委将初一年级学生一学期阅读课外书籍量分为A（3本以内）、B（3﹣6本）、C（6﹣10本）、D（10本以上）四种情况进行了随机调查，并根据调查结果制成了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图所给信息解答上列问题：（1）在扇形统计图中C所占的百分比是多少？（2）请将男、女阅读情况的折线统计图补充完整；（3）学校团委欲从课外阅读量在10本以上的同学中随机邀请两位参加学校举办的“书香致远墨卷至恒”主题读书日的形象大使，请你用列表法或画树状图的方法，求所选出的两位同学恰好都是女生的概率．【解答】解：（1）在扇形统计图中C所占的百分比为：1﹣20%﹣52%﹣6%＝22%，答：在扇形统计图中C所占的百分比是22%；（2）被调查的总人数为（4+6）÷20%＝50（人），∴C类女生人数为：50×22%﹣5＝6（人），D类女生人数为：50×6%﹣1＝2（人），将折线统计图补充完整如下：（3）列表如下：男女女男男、女男、女女男、女女、女女男、女女、女由列表可知，共有6种等可能的情况，其中所选出的两位同学恰好都是女生的结果有2种，∴所选出的两位同学恰好都是女生的概率为＝．16．（8分）成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力．如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝17米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米参考数据：sin35°≈0.57，cos35°＝0.82，tan35°＝0.70）．【解答】解：作CE⊥AB于E，则四边形CDBE为矩形，∴CE＝DB，CD＝BE，在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，∴AB＝DB＝17（米），∴CE＝17（米），在Rt△ACE中，tan∠ACE＝，∴AE＝CE•tan∠ACE≈17×0.70＝12（米），∴CD＝BE＝AB﹣AE＝5（米），答：起点拱门CD的高度约为5米．17．（10分）如图，O为∠PAQ一边PA上一点，以O为圆心，OA为半径作⊙D分别交PA、QA于B、C，∠PAQ的角平分线交⊙O于M，过M作QA的垂线分别交PA、QA于D、E，连接MC、BM，并延长BM交QA于F．（1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）判断△MCF的形状，并说明理由；（3）若ME＝6，tan∠EMF＝，试求DB的值．【解答】（1）证明：连接OM，∵AM是∠PAQ的角平分线，∴∠PAM＝∠QAM，∵OA＝OM，∴∠PAM＝∠OMA，∴∠QAM＝∠OMA，∴OM∥AQ，∵ME⊥AQ，∴OM⊥ME，∵OM为半径，∴直线ED是⊙O的切线；（2）△MCF为等腰三角形，理由如下：连接OC，∵，∴∠BOM＝2∠PAM，∠COM＝2∠QAM，∵∠PAM＝∠QAM，∴∠BOM＝∠COM，∴BM＝CM，∵AB是直径，∴∠AMB＝∠AMF＝90°，∵∠BAM＝∠FAM，AM＝AM，∴△ABM≌△AFM（ASA），∴BM＝MF，∴CM＝MG，∴△MCF是等腰三角形；（3）令BN⊥DE，在Rt△MEF中，∵ME＝6，tan∠EMF＝，∴，∴EF＝3，∴ME＝＝，∵∠MFE＝∠AFM，∠MEF＝∠AMF＝90°，∴△MEF∽△AMF，∴，∴AF＝15，∴AE＝AF﹣EF＝12，由（2）得△ABM≌△AFM，∴AB＝AF＝15，由（2）得BM＝MF，∵∠BNM＝∠FEM＝90°，∠BMN＝∠FME，∴△BMN≌△FME（AAS），∴BN＝EF＝3，设DB＝x，则DA＝DB+AB＝x+15，∵∠BDN＝∠ADE，∠BND＝∠AED＝90°，∴△BDN∽△ADE，∴，即，解得x＝5，∴DB＝5．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数在第一象限相交于点A（2，3），过A作AD⊥x轴，垂足为D，一次函数y＝kx+b（k≠0）分别与x轴、y轴相交于B、C，且△ABD的面积为9．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点M是反比例函数上的一点，且纵坐标为1．N为y轴上一动点．当△AMN的周长最小时，求点N的坐标；（3）已知P是x轴上一个动点，过P作PQ⊥x轴交反比例函数于点Q．当△BOC和△PQD相似时，求Q的坐标．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）过点A（2，3），∴m＝2×3＝6，∴反比例函数的解析式为y＝，∵AD⊥x轴，点A（2，3），∴AD＝3，D（2，0），∵△ABD的面积为9，∴BD•AD＝9，∴BD×3＝9，解得BD＝6，∴B（﹣4，0），将A（2，3），B（﹣4，0）一次函数y＝kx+b（k≠0）得，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）∵点M是反比例函数y＝上的一点，且纵坐标为1．∴点M（6，1），∵A（2，3），∴AM＝＝2，∴当AN+MN最小时，△AMN的周长最小，作点M关于y轴的对称点M′（﹣6，1），连接AM′交y轴于N，∴MN＝M′N，∴AN+MN＝AN+M′N，∴此时AN+MN最小为AM′的值，设直线AM′的解析式为y＝sx+t，∴，解得，∴直线AM′的解析式为y＝x+，∴当△AMN的周长最小时，点N的坐标为（0，）；（3）设P（p，0），则Q（p，），∵D（2，0），∴PD＝|p﹣2|，PQ＝||，∵一次函数y＝x+2分别与x轴、y轴相交于B、C，∴C（0，2），∵B（﹣4，0），∴OB＝4，OC＝2，∵PQ⊥x轴，∴∠DPQ＝90°＝∠BOC．∴当△BOC和△PQD相似时，分两种情况：①时，如图2，∴＝＝＝2，解得p＝3或﹣1，∴Q的坐标为（3，2）或（﹣1，﹣6）；②＝时，如图3，∴＝＝＝2，解得p＝1+或1﹣，∴Q的坐标为（1+，）或（1﹣，﹣）；综上，当△BOC和△PQD相似时，Q的坐标为（3，2）或（﹣1，﹣6）或（1+，）或（1﹣，﹣）．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）已知α、β是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两实数根，则代数式（α﹣2）（β﹣2）＝﹣5【解答】解：根据题意得α+β＝4，αβ＝﹣1，所以原式＝αβ﹣2（α+β）+4＝﹣1﹣2×4+4＝﹣1﹣8+4＝﹣5．故答案为﹣5．20．（4分）在一个不透明的纸箱内装有形状、质地、大小、颜色完全相同的5张卡片，卡片上分别标有数字﹣3，﹣1，0，1，2，将它们洗匀后，背面朝上，从中随机抽取1张，把抽得的数字记作a，再从剩下的卡片中随机抽取1张，把抽得的数字记作b，则使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为．【解答】解：∵反比例函数的图象经过第一、三象限，∴ab＞0，画树状图得：则共有20种等可能的结果，ab为正数的所有可能值为：3，3，2，2；∴使得反比例函数的图象经过第一、三象限的概率为＝．故答案为：．21．（4分）定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为奇数的点称为完美点．若反比例函数将矩形OABC（不包含边界）内的完美点平均分布在其两侧，其中O（0，0）、A（7，0）、B（7，5）、C（0，5），则整数k的值是4．【解答】解：如图：由O（0，0）、A（7，0）、B（7，5）、C（0，5）可得，矩形OABC（不包含边界）内的完美点有（1，1），（1，3），（3，1），（3，3），（5，1），（5，3），而它们的横坐标与纵坐标的积分别是1，3，3，9，5，15，要使这些完美点平均分布在双曲线y＝的两侧，只需3＜k＜5，此时双曲线y＝的左侧有（1，1），（1，3），（3，1），右侧有（3，3），（5，1），（5，3），∵k为整数，∴k＝4．故答案为：4．22．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝19，点E为CD上一点，DE＝6．连接AE，点F为AE的中点，点H是AB边上的一个动点将△AFH沿FH翻折得到△A′FH，连接A′B，点G为A′B的中点，则CG的最大值为12.5．【解答】解：四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，DE＝6，∴AE＝．又∵点F为AE的中点，∴点A，D，E在以点F为圆心，半径为5的圆上．∵△A′FH由△AFH沿FH翻折得到，∴FA′＝FA，所以点A′也在⊙F上．取A'F的中点H，连接GH，BF．BF的中点M．∵点G为A′B中点，点H为A'F中点，∴GH为△A′BF的中位线．∴GH∥BF，GH＝BF，∴点H沿BF方向平移到点G，∵点H在以F为圆心2.5为半径的圆上，∴点G在以BF的中点M为圆心2.5为半径的圆上，作FP⊥BC于P，MQ⊥BC于Q，FS⊥AB，四边形BPFS是矩形，∵∠ASF＝∠EDA，∠FAS＝∠AED，∴△AFS∽△EAD，∴，∵AF＝5，AD＝8，DE＝6，AE＝10，∴AS＝3，FS＝4，∴BS＝FP＝19﹣3＝16，FS＝BP＝4，∵MQ∥PF，∴，∵M为BF的中点，∴MQ＝PF＝8，BQ＝BP＝2，∴CQ＝BC﹣BQ＝6，∴CM＝＝10，当CG经过点M时有最大值，CG＝10+2.5＝12.5．故答案为：12.5．23．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，在AB边上任选一点P，令AP的长度为x（0＜x＜1），从P点构造一条斜率为的直线，交CB于P1，之后过P1作一条垂直于PP1的直线，交CD于P2，以此类推不断进行下去．则P3A的长度为（用含x的式子表示）：若，当P第8次回到AB边上时，P1A的长度为．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图：设P1（0，t），设直线P1P解析式为：m＝n+t，代入P（x﹣1，0）得0＝（x﹣1）+t，∴t＝﹣x，∴直线P1P解析式为：m＝n+﹣x，∴P1B＝﹣x，∴P1C＝1﹣（﹣x）＝+x，∵Rt△P2CP1～Rt△P1BP，∴，∴，∴P2C＝，∴P2D＝1﹣DC＝﹣，∵Rt△P3DP2～Rt△P2CP1，∴，∴，∴P3D＝﹣．∴P3A＝1﹣P3D＝1﹣（﹣）＝．当，P1B＝﹣x＝，∴P1A＝＝＝．故答案为：，．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，答案写在答题卡上）24．（8分）春节期间电影院生意火爆，某电影院顺势推出零食玩具套装，每份套装进价40元．根据经验，定价为100元时，每天可以卖出20份．若定价每降价1元，则每天多卖出2份，设定价为x元，每天销售量为y份．（1）请直接写出y（份）与x（元）之间的函数关系式；（2）为了尽快清理库存，应当定价多少元，使得该电影院每天套装的销售利润是2000元？（3）为了使该电影院每天套装的销售利润最大，应定价多少元？并求出最大利润．【解答】解：（1）根据题意得：y＝20+2（100﹣x）＝﹣2x+220，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+220；（2）根据题意得：（x﹣40）（﹣2x+220）＝2000，整理得：x2﹣150x+5400＝0，解得x1＝60，x2＝90，∵为了尽快清理库存，∴x＝60，答：应当定价60元，使得该电影院每天套装的销售利润是2000元；（3）设该电影院每天套装的销售利润为w元，根据题意得：w＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，∴当x＝75时，w有最大值，最大值为2450，答：为了使该电影院每天套装的销售利润最大，应定价75元，最大利润为2450元．25．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．（1）当C位于原点下方且S△ABC＝3时，求二次函数的解析式；（2）存在实数m，使得当二次函数的自变量x满足m≤x≤m+2时，二次函数的最大值与最小值的差为2，求a的取值范围；（3）在（1）问的条件下，抛物线上是否存在一点M，满足？若存在，求出所有满足条件的点M的横坐标；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝a﹣2，∴C（0，a﹣2），∵C位于原点下方，∴OC＝2﹣a，当y＝0时，ax2﹣2ax+a﹣2＝0，∴x1+x2＝2，x1•x2＝，∴AB＝＝，∵S△ABC＝3，∴×（2﹣a）×＝3，解得a＝或a＝8，∵a﹣2＜0，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣；（2）当m+2≤1时，即m≤﹣1，当x＝m时，y有最大值am2﹣2am+a﹣2，当x＝m+2时，y有最小值a（m+2）2﹣2a（m+2）+a﹣2，∴am2﹣2am+a﹣2﹣a（m+2）2+2a（m+2）﹣a+2＝2，解得m＝﹣，∴﹣≤﹣1，解得0＜a≤；当m≥1时，当x＝m时，y有最小值am2﹣2am+a﹣2，当x＝m+2时，y有最大值a（m+2）2﹣2a（m+2）+a﹣2，∴a（m+2）2﹣2a（m+2）+a﹣2﹣am2+2am﹣a+2＝2，解得m＝，∴≥1，解得0＜a≤；当0≤m＜1时，当x＝1时，y有最小值为﹣2，当x＝m+2时，y有最大值a（m+2）2﹣2a（m+2）+a﹣2，∴a（m+2）2﹣2a（m+2）+a﹣2+2＝2，解得m＝﹣1或m＝﹣﹣1，∴0≤﹣1≤1或0≤﹣﹣1≤1，此时a无解；当﹣1＜m＜0时，当x＝1时，y有最小值为﹣2，当x＝m时，y有最大值am2﹣2am+a﹣2，∴am2﹣2am+a﹣2+2＝2，解得m＝+1或m＝﹣+1，∴﹣1+1＜0或﹣1＜﹣+1＜0，此时a无解；综上所述：a的取值范围为0＜a≤；（3）存在点M，满足，理由如下：作点O关于AC的对称点E，连接EC，过点E作EF⊥OC交于F点，∴∠OCA＝∠ECA，∴∠OCE＝2∠OCA，∵，∴∠BAM＝∠OCE，∵EO⊥AC，∴∠OCA+∠EOC＝90°，∵∠OCA+∠