2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 组合数及其性质第2课时 课件34张

课程标准1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题.基础落实·必备知识全过关课程标准1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题.知识点

组合的有关概念

这n个元素不相同一般地,从n个不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数,记作

.

可用排列数公式表示

名师点睛过关自诊1.[人教A版教材习题]壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张,一共可以组成多少种币值?提示

因为四张人民币的面值都不相同,组成的面值与顺序无关,所以可以分为四类面值,分别由1张、2张、3张、4张人民币组成,共有不同的面值2.[人教A版教材习题](1)空间中有8个点,其中任何4个点不共面,过每3个点作一个平面,可以作多少个平面?(2)空间中有10个点,其中任何4个点不共面,过每4个点为顶点作一个四面体,可以作多少个四面体?提示

(1)因为“三个不共线的点确定一个平面”,且所确定的平面与点的顺序无关,所以共可确定的平面数是(2)因为四面体由四个顶点唯一确定,且与四个点的顺序无关,所以共可确定的四面体个数是3.[人教A版教材习题]在一次考试的选做题部分,要求在第1题的4个小题中选做3个小题,在第2题的3个小题中选做2个小题,在第3题的2个小题中选做1个小题,有多少种不同的选法?提示

因为只要选出要做的题目即可,所以是组合问题.可以分三步分别从第1,2,3题中选题,因此由分步乘法计数原理得,不同的选法种数为重难探究·能力素养全提升探究点一有限制条件的组合问题【例1】

现有男运动员6名,女运动员4名,其中男、女队长各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法?(1)男运动员3名,女运动员2名;(2)至少有1名女运动员;(3)既要有队长,又要有女运动员.规律方法

有限制条件的抽(选)取问题,主要有两类:有限制条件的选取问题类型处理方案注意事项含有“特殊元素”的问题先取出“特殊元素”,然后利用分步乘法计数原理分类时做到不重不漏含有“至多”与“至少”的问题方法一:直接分类法;方法二:间接法变式训练1(1)某组织从4名男运动员、6名女运动员中各选一名运动员作为最佳运动员,不同的选法种数为(

)A.12 B.30 C.15 D.24D(2)从(1)中的4名男运动员、6名女运动员中选出3人参加某公益活动,则至多有2名男运动员的选法有

种.

116探究点二分组、分配问题角度1.不同元素分组、分配问题【例2】

有6本不同的书,按下列方式分组或分配,则共有多少种不同的方式?(1)分成三组,每组分别有1本,2本,3本;(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;(3)分成三组,每组都是2本;(4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.规律方法

分组、分配问题的求解策略(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种:①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.变式训练2某宾馆安排A,B,C,D,E五人入住3个不同的房间,每个房间至少住1人,且A,B不能住同一房间,则不同的安排方法的种数为(

)A.24 B.48 C.96 D.114D角度2.相同元素分配问题【例3】

将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中,分别求下列要求下的放法的种数.(1)每个盒子都不空;(2)恰有一个空盒子;(3)恰有两个空盒子.解

(1)先把6个相同的小球排成一行,在首尾两球外侧放置一块隔板,然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板,有

=10(种).规律方法

相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法,此法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题.(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m),有

种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板.变式训练3某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(

)A.4种 B.10种 C.18种

D.20种B解析

由于只剩一本书,且这些画册、集邮册分别相同,可以从剩余的书的类别进行分析.又由于排列、组合针对的是不同的元素,应从4位朋友中进行选取.第一类:当剩余的一本是画册时,相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友,只有1位朋友得到画册.即把4位朋友分成人数为1,3的两队,有1个元素的那队分给画册,另一队分给集邮册,有

种分法.第二类:当剩余的一本是集邮册时,相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友,有2位朋友得到画册,即把4位朋友分成人数为2,2的两队,一队分给画册,另一队分给集邮册,有

种分法.因此,满足题意的赠送方法共有探究点三与几何有关的组合应用题【例4】

如图,在以AB为直径的半圆周上,有异于A,B的六个点C1,C2,…,C6,线段AB上有异于A,B的四个点D1,D2,D3,D4.(1)以C1,C2,C3,C4,C5,C6,D1,D2,D3,D4这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形?其中含C1点的有多少个?(2)以图中的12个点(包括点A,B)中的4个点为顶点,可作出多少个四边形?规律方法

1.图形多少的问题通常是组合问题,要注意共点、共线、共面、异面等情形,防止多算.常用直接法,也可采用间接法.2.把一个与几何相关的问题转化为组合问题,体现了数学抽象及数学运算的核心素养.变式训练4空间中有10个点,其中有5个点在同一个平面内,其余点无三点共线,无四点共面,则以这些点为顶点,共可构成四面体的个数为(

)A.205 B.110

C.204

D .200A本节要点归纳1.知识清单:(1)有限制条件的组合问题:①特殊元素;②分配问题;③相同元素分配问题.(2)与几何相关的应用题.2.核心素养:分类讨论、化归、数学建模.3.常见误区:分类标准是否恰当,能否做到“不重不漏”,问题情境的转化.成果验收·课堂达标检测123451.身高各不相同的7名同学排成一排照相,