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文档简介

二、二重积分的基本性质

一、二重积分的概念重积分解法:

类似定积分解决问题的思想:引例1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xOy

面上的有界闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“分割,近似替代,近似求和,取极限”1)“分割”用任意曲线网分D为n个小闭区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“近似替代”在每个3)“近似求和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令一、二重积分的定义及可积性定义:将区域D

任意分成n

个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d

也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划二重积分的几何意义:=V表示曲顶柱体的体积;表示曲顶柱体体积的负值；表示各部分体积的代数和.(3)一般f(x,y),=-V二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D

上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.二、二重积分的基本性质(k

为常数)

为D的面积,则

为D的面积,则推论2.

由于则推论1.若在D上则5.若在D上(a≤b)与曲线1.设被积函数f(x,y),有界闭区域D是由直线x=a,x=b

三、利用直角坐标计算二重积分围成的.X-

型区域

(先y后x的二次积分

)(c≤d)与曲线2.设被积函数f(x,y),有界闭区域D是由直线y=c,y=d

围成的.Y-

型区域

(先x后y的二次积分)说明:

若积分区域既是X-型区域又是Y

-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有3.若有界闭区域D较复杂,可将它分成若干X-

型域或Y-

型域,则例1.

计算二重积分其中D是直线x=-2,x=2与y=-1,y=1围成的矩形.解：D看作X-型区域例2.

计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x

所围的闭区域.解法1.

将D看作X-型区域,则解法2.

将D看作Y-型区域,

则例3.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:D为Y-型区域,则及直线例4.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:

由被积函数可知,因此取D为X-

型域:先对x

积分不行,说明:

有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例5.计算二重积分其中区域D

是由直线与双曲线

围成的闭区域

.解:Y-型区域，则内容小结1.二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则

2.计算步骤及注意事项•

画出积分域D•确定积分序•写

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