2022-2023学年高一数学人教A版2019选择性必修第二册试题4-2-2等差数列的前n项和（第2课时）

422等差数列的前n项和（第2课时）（分层作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2022・湖南•高二期末）某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30

个“幸运奖，，，投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，发放的奖金数成等

差数列.已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放（？??？）

A.4000元B.4500元C.4800元D.5000元

【答案】B

【分析】利用等差数列前〃项和的性质直接求解即可

（详解】由已知可矢口等差数歹U中Sio=2000,S20=3500,

因为S10,S20-S,0,S30-S20成等差数列，

所以2（S20—S∣O）=Sm+（S30-S2o'）,

所以2X（3500-2000）=2000+（⅛-3500）,解得S30=4500,

故选：B

2.（2022•福建省福州第一中学高二期末）已知｛m｝是以10为首项，―3为公差的等差数列，则当｛前｝的

前"项和S〃，取得最大值时，H=（????）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【分析】由题可得当"≤4时，¾=13-3n>0,当相≥5时,an=13-3n<0,即得.

【详解】•••｛a〃｝是以10为首项，―3为公差的等差数列，

an=10—3（〃—1）=13—3〃,

故当"≤4时，q,=13-3">O,当"≥5时，”,,=13-3”<0,

故〃=4时，S“取得最大值.

故选：B.

3.（2022・山西•康杰中学高二开学考试）已知等差数列｛4｝的通项公式为q=31-m（ZeZ）,当且仅当

〃=10时，数列｛α,,｝的前〃项和S,最大,则当S*=-10时,k=（????）

A.17B.18C.19D.20

【答案】D

【分析】首先由条件求f，再代入等差数列的前〃项和公式，即可求解.

【详解】由条件可知，当〃=10时，∏l0=31-10r>0,^11=31-lk<0,

解得：；，瑞，因为YZ,

所以£=3,得4=31-3肛

k(28+3J3k)=τ0,解得：丘=20或无=-1(舍).

k23

故选：D

4.(2022.辽宁.高二期中)某技校毕业生小张到某工厂实习，第一天加工某零件20件，随着对加工流程

的熟悉，从第二天开始，每一天比前一天多加工1件零件，若小张在实习期间至少需要加工的零件为220

件，则小张在该工厂实习的天数至少是(????)

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】设小张第n天加工的零件数为““，则数列｛。“｝是以20为首项，1为公差的等差数列，再根据等差

数列前〃项和的公式计算分析即可得出答案.

【详解】解：设小张第〃天加工的零件数为对,则数列｛4,,｝是以20为首项，1为公差的等差数列，

则q=20,4=/1+19,

故小张n天一共加工的零件数为变上!也，

2

W八L(20+π+19)n(20÷9+19)×9

当〃=9时，ʌ--------------=i-----------------1—=216<220,

22

20++192010+191

当〃=1。时，(->J÷)×Q=245>220,

22

故“210,

所以小张在该工厂实习的天数至少是10天.

故选：D.

5.(2022•福建省诏安县桥东中学高二期中)己知数列｛4,,｝的通项公式勺=9"-9(),记5“为数列｛4｝的前

〃项和，若使S.取得最小值，则〃=(????)

A.5B.5或6C.10D.9或10

02/25

【答案】D

【分析】由｛4｝的通项公式可知其时等差数列，等差数列判断其前〃项和S“最值得方法有两种：利用｛4｝

得通项公式判断或者利用前“项和判断；题中已知通项公式，利用通项公式判断即可.

【详解】显然｛可｝是一个等差数列，且4<0,d>0,所以要使5,取得最小值，只需将｛α,,｝的所有负数项或

者等于0的项加完即可，显然即）=9x10-90=0,所以包｝的前九项为负数，且Sg=Su）,所以当〃=9或

10时S“取得最小值.

故选：D

6.（2022・全国•高二课时练习）在各项不全为零的等差数列｛%｝中，S,是其前"项和，且邑OU=S刈-

Sk=S2003,则正整数出的值为（????）

A.2020B.2021C.2022D.2023

【答案】C

【分析】设公差为d,则S,,=?/+10/?）”,S,可看成关于〃的二次函数，由二次函数图象的对称性可

得答案.

【详解】设等差数列｛a.｝公差为d,所以

cnv(n-l),d2

Sn=na,+2d=-n+1%

所以S“可看成关于〃的二次函数，由二次函数图象的对称性及邑的=S刈-Sk=S2m3,可得

2011+20142003+k

，解得it=2022.

2-—2-

故选：C.

A2n+1

7.（2022•安徽宿州•高二期中）已知两个等差数列｛%｝和｛〃｝的前〃项和分别为4和纥，且f=力，

则⅛r（????）

4ŋ38C26

A.-D.—

33957

【答案】D

【分析】根据等差数列性质与前〃项公式化简即可求解.

b+Z?_b+b2Bg29+426

28l9-_---.._.-,._..Z.--_AV-_-_--_-_--_-_---

【详解】由4+)3432x9+157.

故选：D

8.(2022.安徽滁州.高二期中)设S“是等差数列｛q｝的前〃项和，若巴•=：,贝Ij*=(????)

。9ɔJ17

ʌ13R52r17d85

17851352

【答案】B

【分析】结合等差中项与等差数列前〃项和公式求解即可.

13(6+“”)

【详解】在等差数列包｝中，由F〃=：，得N"L2片W=I1，

IJ95S1717(al+al7)17a917585

2

故选：B

9.(2022.全国.高二)等差数列｛%｝的前"项和为S"，若黑=糕+1且4=3,则(????)

4414V/乙

A.Cin=2n+lB.an=n+∖

22

C.Sll=2n+nD.Sn=4n-n

【答案】A

【分析】等差数列前〃项和S”构成的数列｛2｝为等差数列，公差为原数列公差的一半.

n

【详解】设｛4｝的公差为",

即｛2｝为等差数列，公差为(，

n2

由纭―⅛L=1知4=lnd=2,

202120202

,,Cn(3÷2n+l)9

故an=2∏+LSn=---------------=Tr+2〃•

故选：A.

10.(2022•江苏•海安高级中学高二阶段练习)已知等差数列｛4｝的前〃项和为5”，若品)=110,S110=IO,

则几O=(????)

A.-10B.-20C.-120D.-110

【答案】C

【分析】利用数列的运算性质与等差数列的前〃项和的公式计算即可.

04/25

【详解】SULSK)=%+%+...+知。」°°(?+知。)=一100,

%+4K)=—2,则5120=-O*%)=12O(*+4K>)=_]20.

故选：C

二、多选题

11.(2022.全国•高二课时练习)设S”是等差数列｛m｝的前"项之和，且S<S7,S7=S8>S9,则下列结论

中正确的是(？?？)

A.d>0B.。8=0

C.Sl0>S6D.57,S8均为S”的最大项

【答案】BD

【分析】根据所给的条件判断出数列的特点：“8=0,d<0,且G>0,再由等差数列前"项和的公式性质，

求出对应的对称轴，再判断S/0与S6大小关系.

【详解】V56<S7,S7^S8>S9,.∙.o7>0,⅛<0,四=。，；"<0,且“∕>0,

.∙.57,S8均为S〃的最大项，故A错误，B和D正确；

JiQ

∙.∙S〃是关于〃的二次函数，且开口向下，对称轴为望=7.5,

,

..S∣0<S6,故C错误，

故选：BD.

12.(2022・湖南・新邵县教研室高二期末)已知递减的等差数列｛%｝的前〃项和为S,，SZ,则(????)

A.«7>0B.Sl最大C.S14>0D.S13>0

【答案】ABD

【解析】根据项的正负可判断AB,利用前〃项和与通项的关系可判断CD.

【详解】因为Ss=Sg,故q,+%+%+q>=o,所以％+6=。，

因为等差数列｛%｝为递减数列，故公差d<o,

所以%>0,%<0,故AB正确.

又Su=7(α7+%)=0,5l3=13a7>0,故C错误，D正确.

故选：ABD.

13.(2022•全国•高二单元测试)设｛4｝是等差数列，5,是其前〃项的和，且Ss<4，56=57>58,则下

列结论正确的是(????)

A.J>0B.a7=O

C.S9>S5D.臬与&均为S,,的最大值

【答案】BD

【分析】根据题意，由等差数列的性质分析选项，综合即可得答案.

【详解】根据题意，设等差数列｛q,｝的公差为d,依次分析选项：

｛q｝是等差数列，若&=邑，贝1］邑一显=%=。，故B正确；

又由56得Se-Ss=G>0,则有d=%-6<0,故A错误；

而C选项，S9>s5,即4+%+/+%>0，可得2(07+ο8)>0,

又由%=0且d<0,则4<0，必有％+%<0,显然C选项是错误的.

V55<S6,$6=S,>\，•••1与邑均为5“的最大值，故D正确；

故选：BD.

14.(2022・全国•高二)下列结论中正确的有(????)

A.若｛%｝为等差数列，它的前〃项和为S"，则数列也是等差数列

B.若｛4“｝为等差数列，它的前n项和为S“，则数列5“，S2,,,S3n,L也是等差数列

C.若等差数列｛%｝的项数为2〃(〃>1),它的偶数项和为a,奇数项和为S奇，则含=字

D.若等差数列｛4｝的项数为2"+l(">l),它的偶数项和为息,奇数项和为S奇，则导手

【答案】AD

【分析】利用等差数列定义判断，利用等差数列片段和性质判断，利用奇偶项和的性质判断.

【详解】对于A,&=4+空/=0+(q-f∣,数列1g4是等差数列，故正确；

n22V2；［几J

对于B,5n,52Z,-SM,S3〃-S?,,是等差数列，故错误；

对于C,=F,=

所以¥=4,故错误；

a

3偶n+∖

对于D,S-叱然=叫，%=.(妇”)(向)=­

06/25

所以*L=故正确；

⅜n

故选：AD.

q

15.(2022•浙江♦高二阶段练习)若等差数列｛q,｝的公差为d,前〃项和为S,，记％=；L，则(？??？)

A.数列也｝是公差为;d的等差数列

B.数列｛"｝是公差为2〃的等差数列

C.数歹U｛4+〃,｝是公差为Id的等差数列

D.数列｛%-2｝是公差为;d的等差数列

【答案】AC

【分析】利用等差数列的定义可判断各选项的正误.

〃(《+〃”)

【详解】由已知可得〃_5„2....⅜+⅞›

½1-ɔ

nn2

对于AB选项，也用一〃=联刍一空幺=玛/L='，

2222

所以，数列｛4｝是公差为;d的等差数列，A对B错；

对于C选项,(απ+l+bn+i)-(¾+⅛)-(απ+,-απ)+(⅛+1-⅛)=</+ɪny，

所以，数列｛%+"｝是公差为:d的等差数列，C对；

对于D选项,(a,l+l-bn+l)-(an-bn)ɪ(αn+,-¾)-(⅛+1-bn)=d-^=^t

所以，数列｛““-"｝是公差为;d的等差数列，D错.

故选：AC.

16.(2022•湖北武汉•高二期末)已知数列｛%｝的前〃项和为5“，若％=70,。向=。“+3,则下列说法正

确的是(????)

A.｛q,｝是递增数列B.10是数列｛q｝中的项

C.数列｛s,｝中的最小项为其D.数列是等差数列

【答案】AD

【分析】根据题意，可得数列｛¾｝为首项为TO,公差为3的等差数列，逐项求解即可.

【详解】".+ι=",,+3,∙∙∙4,,+∣-4,=3,

•・.数列｛4｝为首项为-10,公差为3的等差数列，

则q,=T0+（"-I）X3=3"-13,

q+∣-4,=3>。，.∙.｛a,,｝为递增数列，A正确，

令10=3〃-13,得〃=年，不满足题意，故B错误，

4=-1（0,.=2）0,且｛%｝为递增数列,

•・.数列｛Sj,｝中的最小项为S,,故C错误,

2

c（3∕z-13-10>3n-23n

3”=='

〃22

••・&=¥-§，则数列是等差数列，故D正确•

n22[nJ

故选：AD

三、填空题

17.（2022.北京大兴.高二期末）若当且仅当”=8时，等差数列的前〃项和5“取得最大值，则数列｛”,』

的通项公式可以是.（写出满足题意的一个通项公式即可）

【答案】M=I7-2〃（n∈7V,）

【分析】根据题意可知该数列应该满足例>0.<0,因此依据此写出一个满足该条件的数列的通项公式即

可.

【详解】当且仅当〃=8时，等差数列｛4｝的前"项和S”取得最大值，

由此可知该数列满足：⅞>o,a,<o,

而见=17—2n（neN*）满足此条件，

故答案为：⅞τ=17-2”（neN*）（答案不唯一）

18.（2022•全国•高二课时练习）一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下

面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了支铅笔.

【答案】7260

【分析】将题意转化为等差数列的求和问题即可.

【详解】从下向上各层所放铅笔数依次为1,2,3,…，120,

从下向上各层所放铅笔数是首项为1,公差为1的等差数列，

08/25

所以共放了铅笔1+2+3+…+120J"""‘I"))=7260(支).

2

故答案为：7260

19.(2022•全国•高二课时练习)已知两个等差数列｛%｝和｛2｝的前"项和分别为S“和】，且寸=—

In〃十I

则使得答为整数的正整数”的值为__________.

b.

【答案】2、4>14

【分析】利用等差数列前〃项和公式求得?的表达式，结合*为整数求得正整数”的值.

(2"-l)(q+⅞lτ)

【详解】由题意可得答L=SM

T2n-l(2"-l)M+&a)(2n-l)⅛bl,

2

则—邑心也H2=3=3+卫

bll或T(2"-l)+3/7+1'n+↑)

由于?为整数，则〃+1为15的正约数，则〃+1的可能取值有3、5、15,

或

因此，正整数”的可能取值有2、4、14.

故答案为：2、4、14

20.(2022•江苏・海安县实验中学高二期中)已知等差数列｛α,,｝的前〃项和为S”，若邑=2,S4=6,则

SS=.

【答案】12

【分析】由等差数列的性质求解

【详解】由题意得S2,S4-S2,S6-S4成等差数列，

则Se-6+2=2x(6-2),得56=12

故答案为：12

21.(2022・江苏省苏州实验中学高二阶段练习)已知等差数列｛《,｝前〃项和为S,,,若$4=-16,7=48,

则S8的值为.

【答案】0

【分析】根据等差数列的前〃项和的性质，5“,与〃-5,,,邑,-与”成等差即可求出.

【详解】依题可知LA-ScSn-'成等差，所以2&+16)=-16+48-Sg,解得：S8=O.

故答案为：0.

sʌ11

22.（2022.全国♦高二）在等差数列｛〃〃｝中，S∕o=12O,且在这10项中，÷l=-,则公差4=

∙⅛ɪɔ

【答案】2

S奇+SfUj=120

【分析】由《反=U及%-%=5”即可求解.

.Sj13

S奇+S-=I20

【详解】解:由盘=U,得“

,¾13

所以∙⅝-S奇=54=10,所以d=2.

故答案为：2.

23.（2022•全国•高二课时练习）已知等差数列｛%｝的前"项和为377,项数”为奇数，且前”项中，奇数

项的和与偶数项的和之比为7:6,则中间项为.

【答案】29

S*/2+17

【分析】由题意可得T=—Γ=Σ＞求出〃=13,再利用等差数列求和公式的性质可求得答案

S（Sn-∖6

S*n+17

【详解】因为〃为奇数，所以W=RF解得〃

所以4=13%=377,所以为=29.故所求的中间项为29.

故答案为：29

/、，、a.

L2n—1

24.（2022.天津.高二期末）若等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为S（1,7.，满足I=不二T,则U=____.

1JiII*1UA

【答案】⅛

22

【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列前"项和公式计算可得；

7

q=也=q+%=2（"+"）£2x7-1J3

【详解】解：依题意可得

bj2bj瓦+广7^-3×7+l-22

故答案为：二13

25.（2022•辽宁・高二期中）在前"项和为5”的等差数列｛%｝中，54=12,S8=21,贝IJSm=

【答案】27

10/25

【分析】根据等差数列片段和的性质及等差中项列方程求$.

【详解】由等差数列片段和性质：SCSS-SQSIZ成等差数列，

所以2(S8-S4)=S4+Sl2-S8,故S12=3(S8-S4)=27.

故答案为：27

四、解答题

26.(2022・全国•高二课时练习)记S“为等差数列｛4｝的前"项和，己知q=-7,53=-15.

(1)求公差d及｛4｝的通项公式；

(2)求并求5”的最小值.

【答案】(1)d=2,¾=2n-9;(2)S,,=(〃一4『—16,最小值为—16.

【解析】(1)设｛〃,,｝的公差为d,由题意得3q+3"=-15,再由《=-7可得［=2,从而可求出｛4｝的通

项公式；

(2)由(1)得S,,=1-8"=(〃-4)2—16,从而可求出其最小值

【详解】(1)设｛4｝的公差为"，由题意得利+3d=-15.

由q=-7得d=2.

所以｛q｝的通项公式为¾=2∏-9.

(2)由(1)得S,,=/-8〃=(〃-4)2—16.

所以”=4时，5“取得最小值，最小值为-16

27.(2022•江苏•高二课时练习)设等差数列｛m｝的前〃项和为S”.

(1)已知“∕=7,αso=lθl,求S50.

(2)已知田=1,“2=3,求52020.

(3)已知45+W=12,求S〃.

【答案】⑴2700

(2)40804∞

(3)66

【分析】(1)根据求和公式直接求解；(2)先求出公差，再根据求和公式进行求解；(3)根据等差数

列的性质得到4+%=%+%,利用求和公式进行求解.

(I)

SL也也R)=5”(7+叫)=2700

522

(2)

ɔrʌɔzʌɔzʌIQ

2

由题意得：公差d=%-q=3-l=2,故S2020=2020x1+且、~-×2=2020=4080400

(3)

_11(4+4U)_11®+%)_11X12

ðiI————OO

"222

28.(2022.江苏.高二课时练习)设等差数列｛m｝的前“项和S”，若S=100，5/6=392,求Sza

【答案】876

【分析】由数列为等差数列，得到&，5l6-58,邑4-九成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，

把已知的凝=1。。，兀=392代入，可得出火的值.

【详解】在等差数列中，Slt=Io0,S16=392,

Ss,Si6-Si,九成等差数列，即2(5M-SB)=SB+包-九)，

2(392-100)=100+(S24-392)

则%=876.

29.(2022.北京丰台.高二期中)已知｛4｝是公差为"的等差数列，其前〃项和为S“，且为=1，现从条件

①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使S“得有最小值，并完成下面问题.条件①％=7；

条件②d=2；条件③d=-2.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)求5”的最小值.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析.

【分析】分别选择①②③，然后由等差数列的通项公式及求和公式及已知条件进行求解通项公式及前〃项

和的最小值即可.

(1)

选①“3=-1时.，根据题意得4-。3=2〃，I-(T)="，解得α=ι,

an=a5+(n-5)d=l-k(n-5)×l=n-4.

12/25

选②d=2时，根据题意得q=%_4d=]_4x2=_7,

an=al+(n-])d=-7+(n-1)×2=2«-9.

选③d=-2时，根据题意得q=%-4d=l-4x(-2)=9,

an=aλ+(n-1)J=9+(n-l)×(-2)=-2n+11.

(2)

选①％=-1时,由(I)可得S,,="4+^≤="X(-3)+^=?

所以当〃=3或4时，(5,,),,,fa=-6.

选②4=2时，由(1)可得S”=叫+"('?"="χ(-7)+J，"2="_8",

所以当〃=4时，⑸)MM=T6.

选③d=-2时，由(1)可得S,=≡∣+"(∖D"="x9-"(；"χ2=-"2+10〃,

所以Szi没有最小值.

【能力提升】

一、单选题

1.(2022・全国•高二课时练习)已知等差数列｛4｝的前"项和为S,,(“eN"),且％=2〃+3若数列⑸｝在

"≥7时为递增数列，则实数4的取值范围为(????)

A.(-15,÷∞)B.[-15,÷∞)

C.[-16,+∞)D.(-16,+∞)

【答案】D

【分析】由题可得S,,=,/+(zl+i)”,利用二次函数的性质即得；或在〃≥7时2(n+l)+∕l>0恒成立，即求;

或数列｛%｝从第8项开始后面的项都是正数即可，2χ8+∕l>0,即得.

【详解】解法一：∙.∙α,,=2"+∕l,

q=2+2,

.∙.S+α,.)∕(2+2+2"+%)一

"22v1

Y数列⑸｝在〃27时为递增数列，

/•--------<7.5,解得4›—16.

2

解法二：数列｛s,,｝在“≥7时为递增数列，

∙'∙S“+]-S”>O,，α,,+∣>O,

2（"+l）+∕l>0恒成立，即4>-2（〃+1）恒成立，

ΛA>-16.

解法三：数列｛5n｝在〃≥7时为递增数列只需满足数列｛an｝从第8项开始，

后面的项都是正数即可，

Λ2×8+λ>O,B∣JΛ>-16.

故选：D.

2.（2022∙北京市第十二中学高二期中）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国

人之浪漫.倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立

秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至

的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影

长之和为85.5寸，问大暑的日影长为（？??？）

A.4.5寸B.3.5寸C.2.5寸D.1.5寸

【答案】B

【分析】根据从冬至到夏至的日影长等量减少，由等差数列求解.

【详解】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列｛4｝,

由题意得:ai+a4+aj=3α4=31.5,IjllJa4=10.5,

S9=）=9%=85.5,则a5=9.5,

所以公差为d=%-%=T,所以％=%+7d=10∙5-7=3.5,

故选：B

3.（2022•安徽省临泉第一中学高二阶段练习）已知等差数列｛%｝的前“项和为5”，若S2⑼>0,S2022<0,

则使得前〃项和5“取得最大值时”的值为（????）

A.2022B.2021C.1012D.IOll

【答案】D

【分析】由题，结合等差数列性质和前〃项和公式得%”>0,“κm+.2<0,进而判断〃≤1011时，«„>0：

14/25

“≥1012时，4<0成立得答案.

【详解】解：因为等差数列｛q｝的前〃项和为S“，⅛l>0,52022<0,

S2021=2024+*)=202”=2021%>0

所以m(,

“中酗)=1。11(4+限)=1。11(­2)<。

所以4θU>O,"lOu+"∣OI2<O,

所以4ou>O,«1012<0,即等差数列｛4｝的公差d<0,

所以，"≤1011时，«„>0；"≥1012时，an<0,

所以，使得前n项和5“取得最大值时n的值为1011.

故选：D

二、多选题

4.(2022全国•高二课时练习)已知等差数列｛4｝,其前八项的和为5.，则下列结论正确的是(????).

A.数列｛｝｝为等差数列

B.若磊一击=lθθ,且4=T00,则S砌=2021

C.若an=m(m≠n),则。”+“=0

D.若Sm=”，S11=In(In≠n),则5,,,+n=0

【答案】ABC

【分析】利用等差数列的定义，通项公式及求和公式的基本量运算，逐项分析即得.

【详解】设等差数列｛q｝的首项为4,公差为4,

则%=α∣+("-l)d,其前〃项和为S"="4+"(；"d.

选项A,-=al+ɪd,则=+gd]-(q=((常数)，

所以数列｛9｝为等差数列，故A正确.

选项B,因为0=型生Ud=IoOO4=100,

2019192

.,1UKMM2021-1...20201.

所rc以m4=6，从而下沫=%+—z—<∕=-l1∞v+--×-=1.

ɪ∖JΛJ∖JX乙JΛU

所以邑02∣=2021,故B正确.

am=4+(w-l)J=〃,

选项C,由《〃=〃，an=m,得

an=al+(〃-l)d-m,

解得q=∕π+1,d=—1,

所以4叶〃=a\+(〃+加—l)d=∕7÷m-l+(λ2+∕7∕-l)×(-l)=O,故C正确.

选项D,由S,,,=〃，S=m,则s“=〃q+当=Dd=,S,=ma+m(m-∖∖

nznni—----Ld=n,

2

将以上两式相减可得+^-[(w2-w)-(n2-n)]=«-«1,

艮IJ(加一〃)4+?(/%—〃)(加+〃_[)=〃_/%.

又，所以q+∙^∙(m+〃-I)=-1,即2(机+〃一I)=-I-4,

Si=(m+")q+(—+〃)(,+J1)4=(帆+〃)4+(777+71)∙(-l-6Z1)=-(w+Λ2),所以D不正确.

故选：ABC.

5.(2022•辽宁葫芦岛•高二阶段练习)已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，公差为d,若S∣0<S9<Su,则

(????)

A.d>0B.a1>0C.S20<0D.52l>0

【答案】AD

【分析】对AB,根据通项见与S,的关系可得小<0,即>0即可判断；

对CD,根据等差数列前“项和的公式，结合等差数列的性质判断即可

【详解】因为51。<品，Sl0<S11,所以SK)-S9=4。<0,S,l-Sio=«„>0,故等差数列首项为负，公差为

正，所以4>O,4<0,故A正确，B错误；由d<S",可知S"-W=%+%>O,所以

%=lθ(q+6⅛)=lθ(α∣o+%)>θ,故C错误；因为即>0,所以力=21%>0,故D正确.

故选：AD

6.(2022•辽宁♦沈阳二中高二期末)数列｛4｝是递增的等差数列，前〃项和为S“，满足4=3%,则下列

选项正确的是()

A.d>0B.«1<0

C.当〃=4时，S〃最小D.S〃>0时，〃的最小值为7

【答案】ABD

16/25

【分析】由递增的等差数列可知”>0；由4=3为结合等差数列通项公式可得4=-∣d<0;最后根据等差

数列求和公式与2>0可求得最值，即可判断CD

【详解】由｛4｝是递增的等差数列，得d>0,选项A正确；

由“ii=3%,得4+7"=3(0l+4"),则q=-∣∙d<O,选项B正确；

由S,,="q+心二ɪɪd=&(〃-3『-2d,得当〃=3时，S.有最小值，且最小值为-gd,C选项错误；

2222

又S"="q+"(；Td=SGL6)>0,解得〃>6("∈M),

所以S“>0时，〃的最小值为7,选项D正确；

故选：ABD

7.(2022・广东・饶平县第二中学高二开学考试)已知数列｛七｝满足4=1,n¾+,-(∏+l)αn=l,n∈N*,其

前"项和为5“，则下列选项中正确的是(????)

A.数列｛《,｝是公差为2的等差数列

B.满足5“<10。的〃的最大值是9

C.S,,除以4的余数只能为。或1

D.25〃="

【答案】ABC

【分析】令么=殳，由题干条件可知：b,,+l-bιι=-一一二，可得a=2-J,

可求得%=2〃-LS,,=I,依次分析即可求解.

【详解】令2=殳，由，7%+∣一("+i)q,=ι可知：-ʒ--=—ɪ；：=-一-二,

nM+lnn(π+l)nn÷l

所以也㈤一〃,=’—二，累加可得：bn=2--,所以”,,=2"l("≥2),

检验4=1满足，所以4=2"-l("wN"),

所以数列｛〃,,｝是公差为2的等差数列，故选项A正确；

由等差数列前〃项和公式得：S=〃♦+”)二亡故S,,="2<100,

解得：〃<10,故满足S,,<10。的〃的最大值是9,故选项B正确；

22

对于选项C,当"=2%-l,Z∈N*时，Sπ=n=4k-4k+l,

此时S.除以4的余数只能是1,

22

当“=2Z,keN*时，Sn=n=4k,此时S“除以4的余数只能是O,

故选项C正确：

22

对于选项D,ISn-In,nan=n(2zz-l)=In-n,显然2S)IWWa“，故选项D错误，

故选：ABC.

8.(2022・全国•高二专题练习)设5“是等差数列｛%｝的前八项和，若跖=%，且(〃+1电>电+∣5eN*),

则下列选项中正确的是(????)

A.an>an+lB.SIO和Su均为S“的最大值

C.存在正整数%,使得S.=。D.存在正整数加，使得5“=53,“

【答案】ACD

【分析】设数列公差为d,根据已知条件$=又和(〃+1)S,,>nS,,+t(〃eN*)判断公差正负，求出4和"关系,

逐项验证即可.

【详解】设等差数列｛q｝公差为止由邑=心得7%+写∙d=13q+巨乎V,化简得%+4=0；

αw

ΛIISIO>IO5,I,即ιiχ(q+)χi°>ιoχ(q+qJχ”,

22

ʌ⅜)>0,a11<0,ΛJ<O,故数列｛4｝为减数列，故A正确；

4o+4]=O,%o>o,%ι<o,故SIO为SH的最大值，故B错误；

即)+QIl=4+%)=°，故S/""+c〜)X2Q=0,故C正确；

2

SM=%时，叫+."=3/nq+.d,即24=(T∕M+l)d,

又由4+即=0得2α∣=-19d,

-19d=(^lm+l)d,解得〃?=5,故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

9.(2022.辽宁.高二期末)等差数列｛%｝中，q=2020,前〃项和为5“，若小—索∙=-2,则52^=.

18/25

【答案】-2022

【分析】由己知结合等差数列的性质可得为等差数列，再设公差为d及通项公式即可求解.

【详解】设｛q｝的公差为德，由等差数列的性质可知，因为S,,="他;乌）,故｝=岁L，故

2-辿=空％，^詈口=!为常数，所以［曳］为等差数列，设公差为"

nn-∖222InJ［nJ

4=2020,1=2020,

1-&=2〃=-2,

1210

.,.d--∖y

,∙.=2020+2021X(-1)=-1,则S2022=-2022

2022

故答案为：-2022

10.（2022・福建•莆田一中高二期末）在等差数列｛〃"｝中，q=l,其前〃项和为3,若$6-3邑=24,则

Slo—

【答案】100

【分析】由等差数列性质得数列为等差数列，设其公差为“，进而得与-^=4d=4,故&=〃，进

而得S,,=小,再计算S“,即可.

【详解】Y数列｛4｝为等差数列，

•••数列｛1｝为等差数列，

设其公差为d,又*一孕=4d=4,解得:d=l,

又；$=4=1,

.∙.鼠=",即S,,=/

n

S10=100

故答案为：100.

11.（2022•辽宁・东北育才学校高二期中）已知s“，7；分别是等差数列｛七｝,｛幻｝的前"项和，且

5„3/2+1/∙,*∖a.na..

—=-------An&Nh,则λi一『+—」=

Tn”+1'h,+hιsb6+hl5---------

【答案】IT

【分析】利用等差数列的性质和前〃项和公式即可求得.

【详解】因为化｝为等差数列，所以4+%="+九，所以

,,,-×(α+‰)×20

4oI%_4。+%_4+4。_2J2”S2o3×2O+l=61

lζ~20+1^21

瓦+%b6+bιs4+九2。→(⅛,÷‰)×20

故答案为：W

12.（2022・江苏•高二）首项为正数的等差数列，前〃项和为S“，且S3=Sli,当〃=时，5,取到最

大值.

【答案】5或6##6或5

【分析】结合已知条件和等差数列的性质，求