指数函数讲义

一、教学目标：1、理解n次方根、根式、分数指数幂概念，会对根式、分数指数幂进行互化；

2、掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简、求值；

3、培养化归意识，思维的灵活性和严密性；

4、掌握指数函数的根念；

5、掌握指数函数的图像、性质；

6、能利用指数函数的性质比拟幂的大小；

7、培养学生的应用意识。二、教学重、难点：教学重点：根式的意义，指数函数的概念、图像。教学难点：指数函数的难点。三、教学内容：问题1从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可到达7.3%．那么，在2001——2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设年后我国的国内生产总值为2000年的倍，那么．问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系．当生物死亡了5730，25730，35730，…年后，它体内碳14的含量分别为，，，…．是正整数指数幂．它们的值分别为，，，…．当生物死亡6000年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量分别为，，，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容．回忆初中学习的内容：平方根、立方根4的平方根为，3的平方根为，16的平方根为，等等．一般地，如果，那么叫做的平方根．类比平方根、立方根，我们看下面的一些例子：，那么2是32的5次方根，记作；，那么3是243的5次方根，记作；，那么2是16的4次方根，记作；，那么3是81的4次方根，记作；，那么2是32的5次方根，记作；，那么2也是16的4次方根，记作．一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且．当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示．当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成〔〕．例如负的次方根可以表示为．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作．式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数。根式的性质通过讨论探究得到：．．例如，，，，=3．练习：求值〔1〕=〔2〕=〔3〕=〔4〕=〔5〕=〔6〕=〔7〕=〔8〕=〔9〕=看下面的例子：当时，〔1〕，又，所以；〔2〕，又，所以．从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？我们先回忆初中所学的指数概念．，当时，，0的0次幂没有意义，．根据次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：〔，〕．的正分数指数幂等于,的负分数指数幂无意义.由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式．例如：，而．规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．〔1〕；〔2〕；〔3〕练习：========化简(1)〔1+2〕〔1+2〕〔1+2〕(1+2-)〔1+2〕(2)指数函数：函数〔〕的解析式与函数的解析式有什么共同特征？如果用字母代替数和1.073，那么以上两个函数的解析式都可以表示为的形式．底数的取值范围怎么规定适宜？当时，，所以规定；当时，如中，指数取时，就没有意义．时，当时，恒为0；当时，无意义．结论：规定，且．一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是．指出以下函数中哪些是指数函数；

(1)y=4x;(2)y=x4;

(3)y=-4x;

(4)y=(-4)x;

(5)y=πx;

(7)y=xx;

例1、当动植物体死亡以后，体内的浓度就要因为它的衰变发生减少，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．这样,人们就可以根据生物体中含有的的多少来测定其生存的年代．考古学家得到一块鱼化石,根据鱼化石中的的残留量，考古学家推断这群鱼是6300多年前死亡的，求这块鱼化石中的残留量约占原始含量的多少？解设鱼化石中的原始含量为1，1年后残留量为，由于死亡机体中原有的按确定的规律衰减，所以生物体的死亡的年数与其体内每克组织的含量有如下关系：死亡年数123……含量……因此，生物死亡年后体内的含量由于大约每经过5730年，死亡生物体内的含量衰减为原来的一半，所以，于是，这样生物死亡年后体内含量．当时，利用计算器，得到．即这块鱼化石中的残留量约占原始含量的．下面我们来研究指数函数图象与性质．2．指数函数的图象在同一坐标系中画出以下函数的图象〔可用描点法，也可借助科学计算器或计算机〕．〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕操作过程：〔1〕先画的图象，再画的图象，再单独观察两个函数的图象特征，再比拟两个图象的关系．〔2〕进行适当讨论之后，再画和的图象，并与前面观察所得结论进行比拟．〔3〕画的图象．〔4〕通过观察以上函数的图象的特征，归纳出指数函数的性质．3．指数函数的性质一般地，指数函数的图象和性质如下表所示．图象定义域值域性质〔1〕过定点，即时，．〔2〕在上是增函数〔2〕在上是减函数例2、指数函数的图象经过点〔3，〕，求，，的值．例3、当a＞0且a≠1时，函数f(x)=ax－2－3必过定点〔2，-2〕.指数函数的应用：例1、比拟以下各题中两个值的大小：①，；②，；③，解：利用函数单调性与的底数是1.7，它们可以看成函数y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而2.5<3，所以，<；与的底数是0.8，它们可以看成函数y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1，所以函数y=在R是减函数，而-0.1>-0.2，所以，<；>1；<1；>小结：对同底数幂大小的比拟用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比拟可以与中间值进行比拟.例2、〔1〕，试比拟的大小；〔2〕，求实数的取值范围．解〔１〕考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数．∵，∴．〔2〕考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数．∵，，，∴，∴，即的取值范围是．例3、，那么x的取值范围是___________．分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．解：∵，∴函数在上是增函数，∴，解得．∴x的取值范围是．评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．例4、求以下函数的定义域和值域：⑴⑵解：⑴要使函数有意义，必须,当时；当时∵∴∴值域为⑵要使函数有意义，必须即∵∴又∵∴值域为例5、函数在区间上有最大值14，那么a的值是_______．分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．解：令，那么，函数可化为，其对称轴为．∴当时，∵，∴，即．∴当时，．解得或〔舍去〕；当时，∵，∴，即，∴时，，解得或〔舍去〕，∴a的值是3或．评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比方：换元法，整体代入等．例6、解方程．解：原方程可化为，令，上述方程可化为，解得或〔舍去〕，∴，∴，经检验原方程的解是．评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根．例7、为了得到函数的图象，可以把函数的图象〔〕．A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度分析：注意先将函数转化为，再利用图象的平移规律进行判断．解：∵，∴把函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，可得到函数的图象，应选〔C〕．评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉根本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比方：平移、伸缩、对称等．总结：1．根式：(1)定义：假设，那么称为的次方根①当为奇数时，次方根记作__________；②当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作________(a>0).(2)性质：①；②当为奇数时，；③当为偶数时，2．指数：(1)规定：①a0＝(a≠0)；②a-p＝；③.(2)运算性质：①(a>0,r、Q)②(a>0,r、Q)③(a>0,r、Q)注：上述性质对r、R均适用.3．指数函数：①定义：函数称为指数函数，1)函数的定义域为__________________________________；2)函数的值域为___________________________________；3)当________时函数为减函数，当_______时为增函数.②函数图像：1)过点，图象在；2)指数函数以为渐近线(当时，图象向无限接近轴，当时，图象向无限接近x轴)；3)函数的图象关于对称.③函数值的变化特征：的图象和性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：R〔2〕值域：〔0，+∞〕〔3〕过点〔0，1〕，即x=0时，y=1〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数练习：选择题：1．某种细菌在培养过程中，每分钟分裂一次〔一个分裂为两个〕。经过个小时，这种细菌由个可繁殖成〔〕个个个个2．在统一平面直角坐标系中，函数与的图像可能是〔3.假设，那么以下各不等式成立的是〔〕4．设都是不等于的正数，在同一坐标系中的图像如下图，那么的大小顺序是〔〕 5．函数在上是减函数，那么的取值范围是〔〕6．函数的值域是〔〕7．当时，函数是〔〕奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数8．函数且的图像必经过点〔〕9．假设是方程的解，那么〔〕10．某厂1998年的产值为万元，预计产值每年以％递增，那么该厂到2010年的产值〔单位：万元〕是〔〕％％％％填空题：是指数函数，且，那么设，使不等式成立的的集合是假设方程有正数解，那么实数的取值范围是函数的定义域为函数的单调递增区间为三、解答题：1．设，求函数的最大值和最小值。2函数且在区间上的最大值比最小值大，求的值。3．设，试确定的值，使为奇函数。4．函数〔1〕求函数的定义域及值域；〔2〕确定函数的单调区间。5．函数〔1〕求函数的定义域；〔2〕讨论函数的奇偶性；〔3〕证明：作业选择题1、以下运算正确的选项是＿＿＿.A.B.C.D.2、函数是R上的减函数，那么a的取值范围是()A.3、以下关系式中正确的选项是〔〕C.4、当时函数的值域是〔〕5、函数在上的最大值与最小值的