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复变函数知识点总结1.复数与复平面1.1复数复数是由实数及虚数组成的数，记作$a+bi$，其中$a$为实部，$b$为虚部，$i$为虚数单位，满足$i^2=-1$。1.2复平面复平面是以复数为点的平面。以$x+yi$表示一个坐标点，称$x$为实部，$y$为虚部。2.复变函数的定义2.1复变函数与实变函数类似，复变函数也包含定义域、值域和映射关系。设$D$为复平面上的一个区域，$f(z)$表示$D$内的复数点$z$对应的函数值，则称$f(z)$为$D$上的一复变函数。2.2全纯函数若$f(z)$在$D$内处处可导，则称其为$D$内的全纯函数。3.解析函数3.1解析函数的定义对于区域$D$内的一函数$f(z)$，如果$f(z)$在$D$内处处可导，则称$f(z)$是$D$内的解析函数。3.2柯西-黎曼方程设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，则当下列两个条件满足时，$f(z)$是$D$内的解析函数。$$\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}$$$$\frac{\partialv}{\partialx}=-\frac{\partialu}{\partialy}$$4.复变函数的初等函数4.1初等函数初等函数包括：常数函数$f(z)=c$，多项式函数$f(z)=\sum_{n=0}^Na_nz^n$和指数函数$f(z)=e^z$。4.2三角函数三角函数包括：正弦函数$f(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$，余弦函数$f(z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$和正切函数$f(z)=\frac{\sinz}{\cosz}$。4.3对数函数对数函数包括：主值对数函数$f(z)=\ln|z|+iArgz$和分枝对数函数$f(z)=\ln|z|+i(arg(z)+2k\pi)$。5.常见函数的性质5.1欧拉公式欧拉公式表示为：$e^{iz}=\cosz+i\sinz$。5.2微分对于$D$内的全纯函数$f(z)$，如果$f(z)$在$z_0\inD$处可导，则$f(z)$在点$z_0$处的导数为：$$f'(z_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$5.3积分设$f(z)$是$D$内的连续函数，$C$是$D$内任意一条简单路径，则$f(z)$沿$C$的积分为：$$\int_Cf(z)dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt$$其中，$\gamma(t)$表示路径$C$上的参数方程。6.应用复变函数在电

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