2022年黑龙江省哈尔滨市明星中学高二数学理下学期摸底试题含解析

2022年黑龙江省哈尔滨市明星中学高二数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，()，若，，使得，则实数的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略2.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为(

)A.直角三角形

B.等腰直角三角形C.等边三角形

D.等腰三角参考答案：A3.函数y＝xlnx在(0,5)上是A.单调增函数B.单调减函数C.在上单调递增，在上单调递减D.在上单调递减，在上单调递增参考答案：Df′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1(x>0).令f′(x)＝0，得x＝，∴在x∈上，f′(x)<0，在x∈，f′(x)>0，故选D.4.已知在中，，，，则等于（

）A．

B.或

C.

D.以上都不对参考答案：B5.P为椭圆=1上一点,M、N分别是圆(x+3)2+y2=4和(x-3)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的取值范围是 （）A． B． C． D．参考答案：A略6.已知函数f（x）＝+m+1对x∈（0，）的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是

（

）

A．2－2＜m＜2+2

B．m＜2

C．m＜2+2

D．m≥2+2参考答案：C略7.如果执行右面的程序框图，那么输出的

（

）A．22

B．46

C．

D．190参考答案：C8.已知直线x﹣y﹣=0经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（）A． B． C．

D．参考答案：B9.已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C10.设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2012，那么数列3，，，……，的“理想数”为（

）A、2011

B、2012

C、2013

D、2014参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示．则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是．参考答案：30【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出正确的结果．【解答】解：根据频率分布直方图，得；消费支出超过150元的频率（0.004+0.002）×50=0.3，∴消费支出超过150元的人数是100×0.3=30．故答案为：30．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．12.从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到logab的不同值的个数是．参考答案：43【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、a、b中有1，由对数的运算性质可得logab的值的数目，②、a、b中不含有1，先分析a、b的取法情况，分析其中重复的情况数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、a、b中有1，则a≠1，则b的值为1，logab=0，有1个值，②、a、b中不含有1，则a、b的取法有A72=42种，则共可得到1+42=43个不同的logab值；故答案为：43．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及对数的运算性质，注意利用对数的运算性质分析重复的情况．13.名男生，名女生排成一排，女生不排两端，则有

种不同排法.参考答案：

解析：先排女生有，再排男生有，共有14.从1、2、3、4、5、6六个数中选出两位奇数和两位偶数组成无重复数字的四位数，要求两位偶数相邻，则共有

个这样的四位数（以数字作答）.

参考答案：10815.函数的值域为

参考答案：16.已知函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是▲

．

参考答案：略17.由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是．参考答案：2﹣2考点： 余弦函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答： 解：由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评： 本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点。（1）求证：命题“如果直线过点F（3，0），那么”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。

参考答案：略19.已知函数f（x）=．函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x＞0时，f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．参考答案：【分析】（1）直接求函数f（x）的导函数，化简导函数分子，判断正负即可；（2）可以先利用特殊值x=1先尝试k的可能值，然后用导数的方法予以证明；

或者构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）=∴f′（x）=[﹣1﹣ln（x+1）]=﹣[+ln（x+1）]．由x＞0，x2＞0，＞0，ln（x+1）＞0，得f′（x）＜0．因此函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．（2）解法一：当x＞0时，f（x）＞恒成立，令x=1有k＜2[1+ln2]．又k为正整数．则k的最大值不大于3．下面证明当k=3时，f（x）＞（x＞0）恒成立．即证明x＞0时（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1﹣2x，则g′（x）=ln（x+1）﹣1．当x＞e﹣1时，g′（x）＞0；当0＜x＜e﹣1时，g′（x）＜0．∴当x=e﹣1时，g（x）取得最小值g（e﹣1）=3﹣e＞0．∴当x＞0时，（x+1）ln（x+1）+1﹣2x＞0恒成立．因此正整数k的最大值为3．解法二：当x＞0时，f（x）＞恒成立．即h（x）=＞k对x＞0恒成立．即h（x）（x＞0）的最小值大于k．由h′（x）=，记Φ（x）=x﹣1﹣ln（x+1）．=＞0，∴Φ（x）在（0，+∞）上连续递增．又Φ（2）=1﹣ln3＜0，Φ（3）=2﹣2ln2＞0，∴Φ（x）=0存在惟一实根a，且满足：a∈（2，3），a=1+ln（a+1），由x＞a时，Φ（x）＞0，h′（x）＞0；0＜x＜a时，Φ（x）＜0，h′（x）＜0知：h（x）（x＞0）的最小值为h（a）==a+1∈（3，4）．因此正整数k的最大值为3．【点评】本题考查函数的导数在最大值、最小值中的应用，以及函数的导数法研究函数的单调性，同时转化思想是解决此类恒成立问题的“良方”．20.（本题满分10分）(1)抛物线的顶点在原点，焦点为直线x－y＋1＝0与y轴交点，求抛物线的标准方程；参考答案：（1）与轴交点为抛物线的焦点，所以抛物线方程为。21.（12分）（2014秋?中山期末）数列{an}首项a1=1，前n项和Sn与an之间满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设存在正数k，使对一切n∈N*都成立，求k的最大值．参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列递推式．

【专题】综合题．【分析】（1）由数列的性质对其进行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可．（2）由（1）先求出Sn，进而可求求数列{an}的通项公式；（3）先构造函数F（n）判断其单调性，然后再由F（n）在n∈N*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1（1分）∴Sn﹣Sn﹣1=，∴Sn﹣1﹣Sn=2SnSn﹣1（3分）∴（n≥2），（5分）∴数列{|是以=1为首项，以2为公差的等差数列．（6分）（2）解：由（1）知=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴Sn=，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣∵a1=S1=1，∴an=．（10分）（3）设F（n）=，则=（12分）∴F（n）在n∈N*上递增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]min≥k∵[F（n）]min=F（1）=，∴0＜k≤，kmax=．（14分）【点评】本题考查等差数列通项与前n项和关系以及数列与不等式相结合的有关问题，（3）中的转化为函数来判断单调性都需要较高的知识组合能力及较高的观察能力．22.已知动点E在抛物线y2=16x上，过点E作EF垂直于x轴，垂足为F，设．（1）求动点M的轨迹C的方程；（2）已知点B（1，﹣2），过点（3，2）的直线L交曲线C于P、Q两点，求证：直线BP与直线BQ的斜率之积为定值．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（1）设点M（x，y），则E（x，2y），代入抛物线y2=16x，即可得到轨迹方程．（2）设过点（3，2）的直线为L：m（y﹣2）=x﹣3，直线L交于P、Q两点设点P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线L与曲线