中考数学考点集训分类训练阶段测评4 三角形、四边形和圆(含答案)

阶段测评四三角形、四边形和圆一、选择题(本题有9小题,每小题3分,共27分)1(2022无锡)下列命题中,是真命题的是()①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形A.①② B.①④ C.②③ D.③④2(2022荆州)如图,直线l1∥l2,AB=AC,∠BAC=40°,则∠1+∠2的度数是()A.60° B.70° C.80° D.90°3(2022河南)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点.若OE=3,则菱形ABCD的周长为()A.6 B.12 C.24 D.48(第3题)(第4题)4(2022宜宾)如图,在△ABC中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,那么四边形AEDF的周长是()A.5 B.10 C.15 D.205(2022包头)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为()A.1∶4 B.4∶1C.1∶2 D.2∶1(第5题)(第6题)6(2022丽水)某仿古墙上原有一个矩形的门洞,现要将它改为一个圆弧形的门洞,圆弧所在的圆外接于矩形,如图.已知矩形的宽为2m,高为23m,则改建后门洞的圆弧长是()A.5π3m B.8πC.10π3m D.(5π7(2022宜宾)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=5,BC=3,将△BCD沿BD折叠到△BED的位置,DE交AB于点F,则cos∠ADF的值为()A.817 B.715 C.15(第7题)(第8题)8(2022泰州)如图,正方形ABCD的边长为2,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点C的距离分别为d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为()A.2 B.2 C.22 D.49(2022恩施州)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=10cm,BC=8cm,点P从点D出发,以1cm/s的速度向点A运动,点M从点B同时出发,以相同的速度向点C运动,当其中一个动点到达端点时,两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t(单位:s),下列结论正确的是()A.当t=4s时,四边形ABMP为矩形B.当t=5s时,四边形CDPM为平行四边形C.当CD=PM时,t=4sD.当CD=PM时,t=4s或6s二、填空题(本题有6小题,每小题3分,共18分)10(2022苏州)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD.若∠BAC=28°,则∠D=°.

(第10题)(第11题)11(2022常德)如图,已知F是△ABC内的一点,FD∥BC,FE∥AB,若▱BDFE的面积为2,BD=13BA,BE=14BC,则△ABC的面积是12(2022成都)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于点M,N;②作直线MN交边AB于点E.若AC=5,BE=4,∠B=45°,则AB的长为13(2022泰安)如图,某一时刻太阳光从窗户射入房间内,与地面的夹角∠DPC=30°,已知窗户的高度AF=2m,窗台的高度CF=1m,窗外水平遮阳篷的宽AD=0.8m,则CP的长度为m(结果精确到0.1m).

14(2022河南)如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O'处,得到扇形A'O'B'.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为.

(第14题)(第15题)15(2022绍兴)如图,AB=10,点C是射线BQ上的动点,连接AC,作CD⊥AC,CD=AC,动点E在AB延长线上,tan∠QBE=3,连接CE,DE,当CE=DE,CE⊥DE时,BE的长是.

三、解答题(本题有9小题,共86分)16(8分)(2022福建)如图,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=EC,AB=DE,∠B=∠E.求证:∠A=∠D.17(8分)(2022鄂州)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD.(1)求证:DF=CF;(2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积.18(8分)(2022十堰)如图,▱ABCD中,AC,BD相交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.(1)求证:BE=DF;(2)设ACBD=k,当k为何值时,四边形DEBF是矩形?请说明理由19(8分)(2022达州)某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙(AB)上安装一遮阳篷BC,使正午时刻房前能有2m宽的阴影处(AD)以供纳凉.假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为63.4°,遮阳篷BC与水平面的夹角为10°,如图为侧面示意图,请你求出此遮阳篷BC的长度(结果精确到0.1m).(参考数据:sin10°≈0.17,cos10°≈0.98,tan10°≈0.18;sin63.4°≈0.89,cos63.4°≈0.45,tan63.4°≈2.00)20(8分)(2022陕西)如图,AB是☉O的直径,AM是☉O的切线,AC,CD是☉O的弦,且CD⊥AB,垂足为E,连接BD并延长,交AM于点P.(1)求证:∠CAB=∠APB;(2)若☉O的半径r=5,AC=8,求线段PD的长.21(10分)(2022海南)无人机在实际生活中应用广泛.如图所示,小明利用无人机测量大楼的高度,无人机在空中P处,测得楼CD楼顶D处的俯角为45°,测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米,楼AB的高度为10米,从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°(点A,B,C,D,P在同一平面内).(1)填空:∠APD=度,∠ADC=度;

(2)求楼CD的高度(结果保留根号);(3)求此时无人机距离地面BC的高度.22(12分)(2022安徽)已知四边形ABCD中,BC=CD,连接BD,过点C作BD的垂线交AB于点E,连接DE.(1)如图(1),若DE∥BC,求证:四边形BCDE是菱形.(2)如图(2),连接AC,设BD,AC相交于点F,DE垂直平分线段AC.(i)求∠CED的大小;(ii)若AF=AE,求证:BE=CF.图(1)图(2)23(12分)(2022荆州)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点O是边AB上一个动点(不与点A重合),连接OD,将△OAD沿OD折叠,得到△OED;再以O为圆心,OA的长为半径作半圆,交射线AB于G,连接AE并延长交射线BC于F,连接EG,设OA=x.(1)求证:DE是半圆O的切线;(2)当点E落在BD上时,求x的值;(3)当点E落在BD下方时,设△AGE与△AFB面积的比值为y,确定y与x之间的函数关系式;(4)直接写出:当半圆O与△BCD的边有两个交点时,x的取值范围.24(12分)(2022陕西)问题提出(1)如图(1),AD是等边三角形ABC的中线,点P在AD的延长线上,且AP=AC,则∠APC的度数为.

问题探究(2)如图(2),在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P作直线l⊥BC,分别交AB,BC于点O,E,求四边形OECA的面积.问题解决(3)如图(3),现有一块△ABC型板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线l于点P,连接AP,BP,得△ABP.请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.图(1)图(2)图(3)阶段测评四三角形、四边形和圆1.B2.B【解析】如图,过点C作CD∥l1,∵l1∥l2,∴l1∥l2∥CD,∴∠1=∠BCD,∠2=∠ACD,∴∠1+∠2=∠BCD+∠ACD=∠ACB.∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ACB=12(180°-∠BAC)=70°,∴∠1+∠2=703.C【解析】∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=CD=AD,OB=OD.又∵EC=ED,∴BC=2OE=6,∴C菱形ABCD=4×6=24,故选C.4.B【解析】∵DE∥AB,DF∥AC,∴四边形AEDF是平行四边形,∠B=∠EDC,∠FDB=∠C.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠FDB,∠C=∠EDC,∴BF=FD,DE=EC,∴AF+FD=AF+BF=AB,AE+DE=AE+EC=AC,∴▱AEDF的周长=AB+AC=5+5=10.5.D【解析】如图,∵AMDN=BMCN=2,∠AMB=∠DNC=90°,∴△ABM∽△DCN,∴∠ABC=∠DCN,ABCD=AMDN=2,∴AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,∴△ABE与△CDE的周长比为6.C【解析】如图,连接AD,BC,交于点O,则点O为矩形外接圆的圆心.∵CD=2,BD=23,∴BC=CD2+BD2=4,∴OC=OD=2=CD,∴△COD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴改建后门洞的圆弧所对的圆心角为360°-60°=300°,∴7.C【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,AB∥CD,AD=BC=3,CD=AB=5,∴∠BDC=∠DBF.由折叠的性质可得∠BDC=∠BDF,∴∠BDF=∠DBF,∴BF=DF.设BF=x,则DF=x,AF=5-x,在Rt△ADF中,由勾股定理可得AD2+AF2=DF2,即32+(5-x)2=x2,∴x=175,∴cos∠ADF=ADDF=3178.C【解析】如图,连接AC,AE,CF,CG.易证△ADE≌△CDG,∴AE=CG,∴d1+d2+d3=DE+CF+CG=EF+CF+AE.易知当点A,E,F,C共线时,d1+d2+d3的值最小,最小值为AC的长.∵AC=2AB=22,∴d1+d2+d3的最小值为22.9.D【解析】根据题意,得DP=t,BM=t,∴AP=10-t,CM=8-t.当四边形ABMP为矩形时,AP=BM,即10-t=t,解得t=5,故选项A中的结论不正确.当四边形CDPM为平行四边形时,DP=CM,即t=8-t,解得t=4,故选项B中的结论不正确.当CD=PM时,分两种情况:①四边形CDPM是平行四边形,此时t=4;②四边形CDPM是等腰梯形,如图,过点M作MG⊥AD于点G,过点C作CH⊥AD于点H,则四边形ABMG、ABCH为矩形,Rt△MGP≌Rt△CHD,∴AG=BM=t,AH=BC=8,PG=DH,∴DH=AD-AH=2,PG=AG-AP=2t-10,∴2=2t-10,解得t=6,故选项C中的结论不正确,选项D中的结论正确.10.62【解析】连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.又∵∠BAC=28°,∴∠B=62°,∴∠D=62°.11.12【解析】如图,连接DE,CD.∵▱BDFE的面积为2,∴S△BDE=12S▱BDFE=1.∵BE=14BC,∴S△BDC=4S△BDE=4.∵BD=13BA,∴S△ABC=3S△BDC12.7【解析】如图,连接EC,由题意知,MN是线段BC的垂直平分线,∴CE=BE=4,∴∠ECB=∠B=45°,∴∠AEC=∠ECB+∠B=90°.在Rt△ACE中,AE=AC2-CE2=52-13.4.4【解析】由题意可知AD∥CP.∵∠DPC=30°,∴∠ADB=30°,∴AB=AD×tan∠ADB=0.8×33=4315(m).∵AC=AF+CF=3m,∴BC=AC-AB=(3-4315)(m).在Rt△BCP中,∠BPC=30°,∴CP=BCtan∠BPC=3BC=314.13π+32【解析】如图,设O'A'与AB相交于点C,连接OC,CB,∵点O'为OB的中点,CO'⊥OB,∴CO=CB,∴CB=OC=OB=2,∴△COB为等边三角形,∴∠COB=60°,∴S弓形CB=S扇形COB-S△COB=60π×22360-34×22=23π-3,S△CO'B=12×1×2×32=32,∴S阴影部分=90π×22360归纳总结阴影部分面积的计算方法1.规则图形,可直接用公式求解.2.分割求和(差)法:把图形适当分割,将不规则图形的面积转化成几个规则图形面积的和或差.如图(1),S阴影=S扇形BOC+S△COD-S△ODE.图(1)图(2)图(3)图(4)3.等积转化法:通过等面积转化,将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.如图(2),点D为AB的中点,则S阴影=S△ACD.如图(3),已知扇形AOB,DO∥AB,则S阴影=S△DAB+S弓形AB=S△OAB+S弓形AB=S扇形AOB.4.整体作差法:用整个图形的面积减去所有空白部分的面积.如图(4),已知▱ABCD,以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E,连接CE,则S阴影=S▱ABCD-S△BCE-S扇形DAE.5.容斥原理法:当阴影部分由几个图形叠加而成时,利用“阴影部分的面积=叠加前的几个图形的面积之和-(多加部分的面积+空白部分的面积)”求解.如图(5),阴影部分是扇形ABE和扇形ACD的重叠部分,则S阴影=S扇形ABE+S扇形ACD-S△ABC.图(5)15.5或354【解析】如图,过点C作AE的垂线,垂足为F,过点D作CF的垂线,垂足为点G,连接EG.由题意可知tan∠QBE=3=CFBF,故可设BF=k,CF=3k.∵∠CAF+∠ACF=90°,∠ACF+∠DCG=90°,∴∠CAF=∠DCG.又∠AFC=∠CGD=90°,AC=CD,∴△AFC≌△CGD(AAS),∴DG=CF=3k,CG=AF=10+k.∵∠CGD=∠CED=90°,∴C,E,D,G四点共圆.∵CE=DE,CE⊥DE,∴∠EDC=45°,∴∠CGE=45°,∴EF=FG=CG-CF=10-2k.∵CF2+EF2=CE2=(22CD)2=12(DG2+CG2),∴(3k)2+(10-2k)2=12[(3k)2+(10+k)2],整理得4k2-25k+25=0,解得k=5或k=54,∴BE=BF+EF=k+10-2k=16.【参考答案】证明:∵BF=EC,∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF.(2分)在△ABC和△DEF中,AB∴△ABC≌△DEF,∴∠A=∠D.(8分)17.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OC=12AC,OD=12BD,∴OC=OD,∴∠ACD=∠BDC.∵∠CDF=∠BDC,∠DCF=∠ACD,∴∠CDF=∠DCF,∴DF=CF.(4分)(2)由(1)可知,DF=CF.又∠CDF=60°,∴△CDF是等边三角形,∴CD=DF=6.∵∠BDC=∠CDF=60°,OC=OD,∴△OCD是等边三角形,∴OD=CD=6,∴BD=2OD=12,∴BC=BD2-CD2∴S矩形ABCD=BC·CD=63×6=363.(8分18.【参考答案】(1)证明:连接DE,BF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=OD,AO=OC.又E,F分别为AO,OC的中点,∴EO=12OA,OF=12∴EO=FO,∴四边形DEBF是平行四边形,∴BE=DF.(4分)(2)当k=2时,四边形DEBF是矩形.理由:由(1)得四边形DEBF是平行四边形,∴当BD=EF时,四边形DEBF是矩形,即当OD=OE时,四边形DEBF是矩形.∵AE=OE,∴k=ACBD=AC2OD=AC2即当k=2时,四边形DEBF是矩形.(8分)19.【参考答案】如图,过点C作CF⊥AD于点F,则四边形AFCE是矩形.(1分)设CF=2xm,则AE=CF=2xm,BE=(3-2x)m.在Rt△CDF中,tan∠CDF=CFDF=tan63.∴DF=xm,∴EC=AF=AD+DF=(2+x)m.在Rt△BEC中,tan∠BCE=BEEC=tan10°≈0.即3-2x2+x=解得x≈1.21,经检验,x=1.21是方程的解,且符合题意,∴BE=3-2x=0.58(m).∵sin∠BCE=BEBC≈0.∴BC=0.580.17≈3.4(m)答:遮阳篷BC的长度约为3.4m.(8分)20.【参考答案】(1)证明:∵AM是☉O的切线,∴∠BAM=90°.(1分)又∵∠CEA=90°,∴AM∥CD,∴∠CDB=∠APB.(2分)又∵∠CAB=∠CDB,∴∠CAB=∠APB.(3分)(2)如图,连接AD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠CDB+∠ADC=90°.∵∠CAB+∠C=90°,∠CDB=∠CAB,∴∠ADC=∠C,∴AD=AC=8.(5分)又∵AB=10,∴BD=6.(6分)易证△ADB∽△PAB,∴ABPB=BD∴PB=AB2BD=100∴DP=503-6=323.(8分21.【参考答案】(1)7560(4分)(2)如图(1),过点A作AE⊥DC于点E,图(1)则AE=BC=100米,EC=AB=10米.在Rt△AED中,∠DAE=30°,∴DE=AE·tan30°=100×33=10033∴CD=DE+EC=(10033+10)∴楼CD的高度为(10033+10)米.(7分(3)如图(2),过点P作PG⊥BC于点G,交AE于点F,图(2)则∠PFA=∠AED=90°,FG=AB=10米.∵MN∥AE,∴∠PAF=∠MPA=60°.∵∠ADE=60°,∴∠PAF=∠ADE.∵∠DAE=30°,∴∠PAD=30°.又∵∠APD=75°,∴∠ADP=75°,∴∠ADP=∠APD,∴AP=AD,∴△APF≌△DAE,∴PF=AE=100米,∴PG=PF+FG=100+10=110(米),∴无人机距离地面BC的高度为110米.(10分)22.【参考答案】(1)证明:设CE与BD交于点O.∵BC=CD,CE⊥BD,∴DO=BO,∠DCO=∠BCO,∴CE垂直平分线段BD,∴DE=BE.∵DE∥BC,∴∠DEC=∠BCO,∴∠DEC=∠DCO,∴BC=CD=DE=BE,∴四边形BCDE是菱形.(4分)(2)(i)∵DE垂直平分线段AC,∴AE=CE,∴∠AED=∠CED.由(1)知CE垂直平分线段DB,∴DE=BE,∴∠DEC=∠BEC,∴∠AED=∠CED=∠BEC.又∵∠AED+∠CED+∠BEC=180°,∴∠CED=13×180°=60°.(8分)(ii)证明:∵AE=EC,∠AEC=∠AED+∠DEC=120°,∴∠ACE=30°.同理可得,∠EBD=30°,∴∠ACE=∠ABF.在△ACE和△ABF中,∠∴△ACE≌△ABF(AAS),∴AC=AB.又∵AE=AF,∴AB-AE=AC-AF,即BE=CF.(12分)23.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAO=90°.由折叠的性质知∠DEO=∠DAO=90°,∴OE⊥DE.又∵OE是半径,∴DE是☉O的切线.(3分)(