《6.2 立方根》教案、导学案、同步练习

《6．2立方根》教案【教学目标】1．了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根；(重点)2．了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根．(难点)【教学过程】一、情境导入填空并回答问题：(1)()3＝0.001；(2)()3＝－eq\f(27,64)；(3)()3＝0；(4)若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体的体积公式得a3＝8，那么a叫做8的什么呢？二、合作探究探究点一：立方根的概念及性质【类型一】立方根的概念及性质立方根等于本身的数有________个．解析：在正数中，eq\r(3,1)＝1，在负数中，eq\r(3,－1)＝－1，又eq\r(3,0)＝0，∴立方根等于本身的数有1，－1，0.故填3.方法总结：不论正数、负数还是零，都有立方根．【类型二】立方根与平方根的综合问题已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算术平方根．解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x－2＝4，2x＋y＋7＝27，从而解出x，y，最后代入x2＋y2，求其算术平方根即可．解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4，∴x＝6.∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.把x＝6代入解得y＝8，∴x2＋y2＝62＋82＝100.∴x2＋y2的算术平方根为10.方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想列方程求出x，y的值，再根据算术平方根的定义求出x2＋y2的算术平方根．【类型三】立方根的实际应用已知球的体积公式是V＝eq\f(4,3)πr3(r为球的半径，π取3.14)，现已知一个小皮球的体积是113.04cm3，求这个小皮球的半径r.解析：将公式变形为r3＝eq\f(3V,4π)，从而求r.解：由V＝eq\f(4,3)πr3，得r3＝eq\f(3V,4π)，∴r＝eq\r(3,\f(3V,4π)).∵V＝113.04cm3，π取3.14，∴r≈eq\r(3,\f(3×113.04,4×3.14))＝eq\r(3,27)＝3(cm)．答：这个小皮球的半径r约为3cm.方法总结：解此题的关键是灵活应用球的体积公式，并将公式适当变形．探究点二：开立方运算求下列各式的值：(1)－eq\r(3,343)；(2)eq\r(3,\f(10,27)－5)；(3)－eq\r(3,－8)÷eq\r(2\f(1,4))＋eq\r(（－1）100).解：(1)－eq\r(3,343)＝－7；(2)eq\r(3,\f(10,27)－5)＝eq\r(3,－\f(125,27))＝－eq\f(5,3)；(3)－eq\r(3,－8)÷eq\r(2\f(1,4))＋eq\r(（－1）100)＝2÷eq\r(\f(9,4))＋eq\r(1)＝2÷eq\f(3,2)＋1＝2×eq\f(2,3)＋1＝eq\f(7,3).方法总结：做开平方或开立方运算时，一般都是利用它们的定义去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算．三、板书设计1．每个数a都只有一个立方根，记为“eq\r(3,a)”，读作“三次根号a”．2．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．3．求一个数a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数．开立方与立方互为逆运算．【教学反思】本节课让学生应用类比法学习立方根的概念、性质和运算．学生在以后的数学学习中，要注意渗透类比的思维方式，让学生在学习新知识的同时巩固已学的知识，并通过新旧对比更好地掌握知识第六章实数《6.2立方根》导学案【学习目标】：1.掌握立方根的概念及运算，区分平方根与立方根的不同，提高运算能力..2.通过独立思考，小组合作，用类比的方法理解开立方与立方互为逆运算.3.极度热情，培养严谨的数学思维.【重点】：立方根的概念和求法.【难点】：立方根与平方根的区别.【自主学习】一、知识链接1.非负数a的平方根是.2.正数的平方根有个，它们互为相反数；0的平方根是；负数平方根.3.计算：23=，（-2）3=，0.53=，（-0.5）3=，03=，二、新知预习1.一般的，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的或.这就是说，如果x2=a，那么x叫做，用符号“”表示，读作.其中a是，3是.2.求一个数的立方根的运算，叫做.3.正数的立方根是数，0的立方根是，负数的立方根是数.三、自学自测1.下列说法中错误的是（）A.负数没有立方根B.0的立方根是0C.1的立方根是1D.-1的立方根是-1分别求出下列各数的立方根：0.064,0，，.【课堂探究】要点探究探究点1：立方根的概念及性质问题1：立方等于125的数有几个？有立方等于-125的数吗？如果有的话，是多少？问题2：什么叫立方根？怎样把a的立方根表示出来？书写时应注意什么？问题3：正数的立方根是正数还是负数？负数的立方根呢？0的立方根呢？问题4：立方根与平方根有什么区别和联系？问题5：互为相反数的两个数的立方根有什么关系？归纳总结：典例精析例1.求下列各数的立方根:（1）-27；（2）；（3）；（4）0.216；（5）-5.例2.的算术平方根是.例3.计算：探究点2：用计算器求立方根问题1：若计算器设有键，用计算器进行开立方运算的步骤是什么？问题2：也可以利用第二功能键求一个数的立方根，其按键顺序是什么？问题3：用计算器计算…，，，，，…，你能发现什么规律？用计算器计算（精确到0.001），并利用你发现的规律求，，的近似值.要点归纳：被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）.典例精析例4.用计算器求下列各数的立方根：343，-1.331.例5.用计算器求的近似值（精确到0.001）.二、课堂小结立方根立方根的概念立方根的性质（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数；0的立方根是0.被开方数的小数点向左或向右移动3n位时立方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）.立方根与平方根的区别性质被开方数的范围用计算器计算【当堂检测】2.比较3，4，的大小.3.立方根概念的起源与几何中的正方体有关，如果一个正方体的体积为V，那么这个正方体的棱长为多少？4.求下列各式的值.（1）；（2）；（3）；（4）.5.比较下列各组数的大小.（1）与2.5; （2）与.6.【拓展题】若=2，=4，求的值.第六章实数《6.2立方根》同步训练一、单选题（共15题；共30分）1、下列运算中，正确的是（）A、（﹣2）0=1B、=﹣3C、=±2D、2﹣1=﹣22、的立方根等于（）A、4B、-4C、±4D、23、下列运算中，正确的是（）A、+=B、﹣a+2a=aC、（a3）3=a6D、=-34、下列说法正确的是（）A、任何数都有两个平方根B、若a2=b2，则a=bC、=±2D、﹣8的立方根是﹣25、下列说法中正确的有（）①±2都是8的立方根，②=x，③的立方根是3，④-=2．A、1个B、2个C、3个D、4个6、若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（）A、0B、1C、-1D、±1，07、下列说法错误的是（）A、5是25的算术平方根B、±4是64的立方根C、（﹣4）3的立方根是﹣4D、（﹣4）2的平方根是±48、﹣8的立方根是（）A、2B、-2C、±2D、9、计算的结果是（）A、±3B、3C、3D、​10、下列说法中，正确的是（）A、（﹣6）2的平方根是﹣6B、带根号的数都是无理数C、27的立方根是±3D、立方根等于﹣1的实数是﹣111、下面各式中，计算正确的是（）A、=±2B、=2C、=1D、（﹣1）3=﹣312、下列说法错误的是（）A、9的算术平方根是3B、16的平方根是±4C、27的立方根是±3D、立方根等于﹣1的实数是﹣113、﹣1的立方根为（）A、-1B、±1C、1D、不存在14、下列说法正确的是（）A、一个正数有一个正的平方根B、0没有平方根C、一个正数有一个正的立方根D、负数没有立方根15、下列判断：①1的立方根是±1；②只有正数才有平方根；③﹣4是﹣16的平方根；④（）2的平方根是±正确的是（）A、①B、②C、③D、④二、填空题（共5题；共10分）16、﹣4是________

的立方根．17、如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是________．18、若x2=16，则x=______若x3=﹣8，则x=____的平方根是_____19、的算术平方根是________（﹣2）2的正平方根是

________立方根是本身的数有

________256的四次方根是

________20、方程（x﹣1）3﹣8=0的根是

________三、解答题（共4题；共20分）21、求各式中的实数x：（1）2x2=18；（2）8（x﹣1）3+27=0．22、已知：（x+1）2﹣9=0，求x的值23、已知7﹣2a的平方根是±，2是b的算术平方根，求ab的立方根．24、已知某数的平方根是a+3和2a﹣15，求1﹣7a的立方根．四、综合题（共1题；共10分）25、我们知道a+b=0时，a3+b3=0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．(1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立(2)若与互为相反数，求1﹣的值．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】立方根【解析】【解答】解：A、（﹣2）0=1，正确；B、​=-3，故B错误；C、=2，故C错误；D、2﹣1=，故D错误．故选：A．【分析】A、根据零指数幂的性质即可判断；B、根据立方根的定义进行验证；C、表示4的算术平方根；D、2﹣1表示2的1次方的倒数．2、【答案】D【考点】立方根【解析】【解答】解：​=8，8的立方根为2．故选D．【分析】利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果．3、【答案】B【考点】立方根【解析】【解答】解：A、不是同类二次根式，不能合并，错误；B、﹣a+2a=a，正确；C、（a3）3=a9，错误；D、=3，错误；故选B．【分析】根据根式的加减、同类项、幂的乘方和立方根计算即可．4、【答案】D【考点】立方根【解析】【解答】解：A、负数没有平方根，0的平方根是0，只有正数有两个平方根，故本选项错误；B、当a=2，b=﹣2时，a2=b2，但a和b不相等，故本选项错误；C、=2，故本选项错误；D、﹣8的立方根是﹣2，故本选项正确；故选D．【分析】根据负数没有平方根，0的平方根是0，正数有两个平方根即可判断A，举出反例即可判断B，根据算术平方根求出​=2，即可判断C，求出﹣8的立方根即可判断D．5、【答案】B【考点】立方根【解析】【解答】解：①一个数的立方根只有一个，故本小题错误；②符合立方根的定义，故本小题正确；③=9，9的立方根是，故本小题错误；④因为=﹣2，所以﹣​=2，故本小题正确．故选B．【分析】分别根据立方根的定义对各小题进行分析即可．6、【答案】A【考点】立方根【解析】【解答】解：根据平方根与立方根的性质，一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是0．故选：A．【分析】根据任何实数的立方根都只有一个，而正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，进行进行解答．7、【答案】B【考点】立方根【解析】【解答】解：​∴选项B错误．故选B．【分析】将选项中的各个要求的问题都计算出来，然后进行对照，即可得到哪个选项是错误，从而可以解答本题．8、【答案】B【考点】立方根【解析】【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2．故选B【分析】利用立方根的定义即可求解．9、【答案】B【考点】立方根【解析】【解答】解：=3，故选B【分析】原式利用立方根定义计算即可得到结果．10、【答案】D【考点】立方根【解析】【解答】解：A、（﹣6）2=36，36的平方根是±6，原说法错误，故本选项错误；B、带根号的数不一定都是无理数，例如​是有理数，故本选项错误；C、27的立方根是3，故本选项错误；D、立方根等于﹣1的实数是﹣1，说法正确，故本选项正确；故选D．【分析】根据平方根及立方根的定义，结合各选项进行判断即可．11、【答案】B【考点】立方根【解析】【解答】解：A、=2，故本选项错误；B、=2，故本选项正确；C、=﹣1，故本选项错误；D、（﹣1）3=﹣1，故本选项错误；故选B．【分析】求出每个式子的值，再判断即可．12、【答案】C【考点】立方根【解析】【解答】解：A、9的算术平方根是3，正确；B、16的平方根是±4，正确；C、27的立方根是3，错误；D、立方根等于﹣1的实数是﹣1，正确；故选C．【分析】根据立方根、算术平方根和平方根的定义判断即可．13、【答案】A【考点】立方根【解析】【解答】解：因为（﹣1）3=﹣1，所以﹣1的立方根为﹣1，即​=﹣1，故选A．【分析】由立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．根据﹣1的立方等于﹣1即可求出﹣1的立方根．14、【答案】C【考点】立方根【解析】【解答】解：A、一个正数的平方根有两个，错误；B、0有平方根，错误；C、一个正数有一个正的立方根，正确；D、负数有立方根，错误；故选C．【分析】根据平方根和立方根的定义进行判断即可．15、【答案】D【考点】立方根【解析】【解答】解：①1的立方根是1，故错误；②只有正数才有平方根，错误，0也有平方根；③﹣16没有平方根，故错误；④（）2的平方根是±​，正确；故选：D．【分析】根据平方根、立方根的定义，即可解答．二、填空题16、【答案】-64【考点】立方根【解析】【解答】解：∵=﹣4，∴﹣4是﹣64的立方根．故答案为：﹣64．【分析】根据立方根的定义，即可解答．17、【答案】0与±1【考点】立方根【解析】【解答】解：只有±1和0的立方根等于它本身，那么这个数是0与±1．故答案为：0与±1．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据立方根的定义即可求解．18、【答案】±4；-2；±【考点】立方根【解析】【解答】解：若x2=16，则x=±4；若x3=﹣8，则x=﹣2；=3，3的平方根是±．故答案为：±4；﹣2；±​．【分析】用直接开平方法进行解答；用直接开立方法进行解答；先求出的结果为3，再根据平方根的定义求解．19、【答案】2①2②0，1，﹣1③4【考点】立方根【解析】【解答】解：​=4，4的算术平方根是2．（﹣2）2=4，4的正平方根是2．立方根是本身的数有0，1，﹣1，256的四次方根是4，故答案为：2；2；0，1，﹣1；4．【分析】根据算术平方根、平方根，即可解答．20、【答案】x=3【考点】立方根【解析】【解答】解：移项，得（x﹣1）3=8，