2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省扬州市邗江区梅岭中学九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四条线段中，能成为成比例线段的是(

)A.a=1，b=2，c=3，d=4 B.a=1，b=2，c=3，d=6

C.2.已知⊙O的半径是5，OP=4，则点P与⊙A.点P在圆上 B.点P在圆内 C.点P在圆外 D.不能确定3.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，若A.0.382 B.0.618 C.3.82 D.6.184.用配方法解方程x2−2x−1A.(x−1)2=2 B.5.二次函数y=−2(A.开口向上 B.对称轴为直线x=3

C.顶点坐标为(−3,6) D.6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠AA.90°

B.100°

C.110°7.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为(

)A.52

B.83

C.3

8.如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan

A.0.9

B.1.2

C.1.5

D.1.8二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。9.若2x=5y，则x10.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+11.小聪这学期的数学平时成绩90分，期中考试成绩80分，期末考试成绩82分，计算总评成绩的方法：平时成绩：期中成绩：期末成绩=3：3：4，则小聪总评成绩是______分.12.图1是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=______cm13.如图，△ABC中，AB=AC，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径作⊙O与边AC相切于点

14.已知二次函数y=−x2+2x+3的图象如图所示，当

15.如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠A

16.如图是一顶由扇形纸板围成的圆锥形生日帽，阴影部分是扇形纸板重叠的部分(用于黏贴).已知生日帽的母线长为25cm，高为24cm，AB长为π

17.若点A(m−1,y1)，B(m,18.在正方形ABCD中，AB=2，点P是CD边上一动点(不与点D、C重合)，连接BP，过点C作CE⊥BP，垂足为E，点F在线段B

三、计算题：本大题共1小题，共8分。19.我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩(满分100)如图所示：

根据图示信息，整理分析数据如表：平均数(分)中位数(分)众数(分)初中部a85c高中部85b100(1)求出表格中a=______；b=______；c=______．

(2四、解答题：本题共9小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题8分)

计算和解方程：

(1)sin6021.(本小题8分)

已知关于x的方程x2−(k+2)x+2k22.(本小题8分)

如图，在6×6正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图(保留痕迹，描出必要的格点)

(1)在图1中作出△ABC的外心D；

(2)图2中D是AB的中点，作出BC边上的点F23.(本小题10分)

如图，正方形ABCD的边长为4，BF=1，E为AB的中点．

求证：

(124.(本小题10分)

已知抛物线y=−x2+mx+3经过点M(−2,3)．

(1)求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；

25.(本小题10分)

如图，四边形ABOD是平行四边形，以O为圆心，OB为半径的圆经过点A，延长BO交⊙O于点E，AB=AE，连接DE．

(126.(本小题10分)

某超市销售一种玩具，每个进价为40元.当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个．

(1)当每个售价为52元时，日均销售量为______个；

(2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元；

27.(本小题12分)

“关联”是解决数学问题的重要思维方式.角平分线的有关联想就有很多……

【问题提出】

(1)如图①，PC是△PAB小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点B作BD/​/PA，交PC的延长线于点D，利用“三角形相似”．

小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点C分别作CD⊥PA请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．

【理解应用】

(2)如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是边BC上一点.连接AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，使点C恰好落在边AB上的E点处，落AC=1，AB=2，则DE的长为______．

【深度思考】

(3)如图③，△ABC中，AB=6，AC=4，AD28.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+4ax+4a−6(a>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)当a=6时，直接写出点A、B、C、D的坐标：

A______，B______，C______，D______；

(2)如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求抛物线的表达式；

(3)如图2，在(2)的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、1×4≠2×3，所以A选项不符合题意；

B、1×6=2×3，所以B选项符合题意；

C、2×4≠2×32.【答案】B

【解析】解：∵⊙O的半径是5，OP的长为4，4<5，

∴点P在圆内．

故选：B．

点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r3.【答案】D

【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB)，

∴APAB≈0.618，

4.【答案】A

【解析】解：移项得，x2−2x=1，

配方得，x2−2x+1=1+1，

(x−1)2=2．

故选A．5.【答案】B

【解析】解：A、二次函数y=−2(x−3)2+6中a=−2<0，故函数图象开口向下，原说法错误，不符合题意；

B、由函数解析式可知，函数图象的对称轴为直线x=3，正确，符合题意；

C、由函数解析式可知，函数图象的顶点坐标为(3,6.【答案】C

【解析】解：连接OD，如图所示，

∵∠ABD=20°，

∴∠AOD=40°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠7.【答案】B

【解析】解：如图：过点G作GF⊥AC，垂足为G，过点G作GE⊥AB，垂足为E，

由题意得：AG平分∠BAC，

∴GF=GE，

∴S△ABGS△ACG=12AB⋅GE12AC⋅GF=ABA8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BCE∽△CP′D．

点P在正方形边AD上运动，当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，此时tan∠BPC=tan45°=1；当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，证明△BCE∽△CP′D，然后得到1≤tan∠BPC≤43，进而可以进行判断．

【解答】

解：点P在正方形边AD上运动，

当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，

此时tan∠BPC=tan45°=1；

当P运动到A9.【答案】52【解析】解：∵2x=5y，

∴xy=510.【答案】−2【解析】解：根据题意，得

x=0满足关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0，

∴m2−4=0，

解得，m=±2；

又∵11.【答案】83.8

【解析】解：小聪总评成绩是90×3+80×3+82×4312.【答案】154【解析】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，

∵CD//AB，

∴△CDO∽ABO′，即相似比为CD13.【答案】3

【解析】解：∵⊙O与边AC相切于点A，

∴∠OAC=90°，

∴∠B+∠OAB+∠C=180°−∠OAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OB=OA，

∴∠B=∠14.【答案】−1【解析】解：当y=0时，−x2+2x+3=0，

解得：x1=−1，x2=3，

∴二次函数y=−x2+2x+3的图象与x15.【答案】10【解析】解：过D点作DE⊥AC于E点，DF⊥BC于F点，如图，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACB=2∠ACD，

∵∠ACB=2∠B，

∴∠ACD=∠B，

∴CD=BD=3，

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵S△CAD：S△CBD=AD：BD=2：3，

∴12DE⋅AC：12DF⋅BC=2：3，16.【答案】108

【解析】解：圆锥的底面半径为252−242=7(cm)，

底面周长为2π×7=14π(cm17.【答案】m<【解析】解：∵点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在二次函数y=x2+4x+3的图象上，

∴y1=(m−1)18.【答案】10【解析】解：作△BCF的外接⊙O，连接OB、OC、OA、OF，在优弧BC上取点M，连接MB、MC，过O作ON⊥AB，与AB的延长线交于点N，

∵CE⊥BP，CE=CF，

∴∠CFE=45°，

∴∠BMC=∠CFE=45°，

∴∠BOC=90°，

∵AB=BC=2，

∴OB=OC=OF=219.【答案】85

80

85

【解析】解：(1)初中组五名同学的成绩为：75，80，85，85，100，

成绩的平均数a=(75+80+85+85+100)÷5=85，

该组数据中，85出现的次数最多，故其众数c=85；

高中组五名同学的成绩为：70，75，80，100，100，故该组数据中的中位数b=80．

故答案为：85，80，85；20.【答案】解：(1)sin60°−tan30°+2cos45°

=32【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；

(2)先把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．

本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算和解一元二次方程，能熟记特殊角的三角函数值是解21.【答案】解：(1)Δ=(k+2)2−4⋅2k

=(k−2)2，

∵(k−2)2【解析】(1)先计算判别式得到Δ=(k−2)2，根据非负数的性质得△≥0，然后根据判别式的意义即可得到方程总有两个实数根；

(2)根据判别式的意义得Δ=(k−22.【答案】解：(1)如图1，分别作线段AC，BC的垂直平分线，交于点D，

则点D即为所求．

(2)如图2，取格点G，使AG⊥BC，连接AG交BC于点F，连接DF，

则△ABF为直角三角形．

∵D是A【解析】(1)分别作线段AC，BC的垂直平分线，交点即为△ABC的外心D．

(2)取格点G，使AG⊥BC，连接AG交BC23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCDC是正方形，

∴∠A=∠B=90°，AB=AD=4，

∵E为AB的中点，

∴AE=BE=12AB=2，

∵BF=1，

∵AE：AD=2：4=【解析】(1)由正方形的性质推出∠A=∠B=90°，AB=AD=4，由线段中点定义汽车AE=BE=12AB=2，于是得到AE：AD=BF：BE24.【答案】0≤y≤【解析】解：(1)把M(−2,3)代入y=−x2+mx+3得：

−4−2m+3=3，

解得m=−2，

∴y=−x2−2x+3=−(x+1)2+4，

∴抛物线的顶点坐标为(−1,4)；

(2)∵y=25.【答案】(1)证明：如图，连接OA，

∵四边形ABOD是平行四边形，

∴AD//BO，AD=BO，

∵BO=OE，

∴AD/​/OE，AD=OE，

∴四边形AOED是平行四边形．

∵AB=AE，

∴∠AOB=∠AOE，

∵∠AOB+∠AOE=180°，

∴∠AOB=【解析】(1)连接OA，由平行四边形的性质可知，AD/​/BO，AD=BO=OE，可得四边形AOE26.【答案】180

【解析】解：(1)当每个的售价为52元时，日均销售量为200−20=180(个)，

故答案为：180；

(2)设每个的售价为x元，

根据题意可得：(x−40)(200−5×x−500.5)=2000，

整理，得：x2−110x+3000=0，

解得：x1=50，x2=60，

答：当每瓶售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元；

(3)设日均利润为27.【答案】53

6

【解析】(1)证明：选择小明的思路，如图，过点BD//AP交PC的延长线于点D，

∵BD//AP，

∴∠APC=∠D，

又∵∠ACP=∠BCD，

∴△ACP∽△BCD，

∴PABD=ACBC，

∵PC是△PAB的角平分线，

∴∠APC=∠BPC，

∴∠BPC=∠D，

∴PB=BD，

∴PAPB=ACBC；

选择小红的思路，如图，过点C分别作CD⊥PA交PA于点D，作CE⊥PB交PB于点E，作PF⊥BC于点F，

∵PC是△PAB的角平分线，

∴CD=CE