2023年中考数学 二轮复习提高训练-四边形的综合题

2023年中考数学二轮复习拔高训练--四边形的综合题

(1)问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,NBAD=I20。，ZB=/.ADC=

90。.E,F分别是BC,CD上的点，且NEA尸=60。，请探究图中线段BE,EF,DF之间的数量

关系.小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE.连接AG,先证明&ABE生

XADG，得AE=AG；再由条件可得∆EAF=∆GAF,证明AAEF三AAGF,进而可得线段

BE,EF,DF之间的数量关系是.

(2)探索延伸：如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∆B+∆D=180o∙E,F分别是

BC,CD上的点，且∆EAF=/.BAD.问(1)中的线段BE,EF,DF之间的数量关系是否还

成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西20。的A处，

舰艇乙在指挥中心南偏东80°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇

甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东30。的方向以60海里/小时的速度前进.2

小时后，甲、乙两舰艇分别到达E,F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为60°,试求此

时两舰艇之间的距离.

2.如图1,点E为正方形ABCD内一点，∆AEB=90°,现将RtAABE绕点B按顺时针方向

旋转90°,得到ACBE'(点A的对应点为点C),延长AE交CE'于点F.

图1图2图3

(I)如图1,求证：四边形BEFE'是正方形；

(2)连接DE.

①如图2,若DA=DE,求证：F为CE'的中点；

②如图3,若AB=I5,CF=3,试求DE的长.

图3

⑴如图1,当E为BC边中点时，求证：BF=^DF;

(2)如图2,连结CF,若AB=IO,BD=I6,当ACEF为直角三角形时，求EC的

长；

(3)如图3,当NaBC=90。时，过点C作CGIAE交AE的延长线于点G,连结DG,若

DF=DC,求tan“。G的值(直接写出答案即可).

4.如图，矩形ABCD中，AD=4,AB=m(m>4),点P是DC上一点(不与点。，

C重合)，连接AP,AAPQ与AAPO关于AP对称，PM是过点A,P,Q的半圆。

的切线，且PM交射线AB于点M.

Dl~~太------------IC-----------------------Ic

AMBAB

备用图

(1)当ZP=PM时，半圆。与AB所围成的封闭图形的面积为；

(2)当Q在矩形ABCD内部时，

①判断LPAQ与∆AMP是否相等，并说明理由；

②若tan"ZQ=1，求AM的长；

(3)当需=/时，若点Q落在矩形ABCD的对称轴上，求m的值及此时半圆。落在矩形

ABCD内部的弧长.

5.已知，如图1,在^ABCD中，对角线AC=6cm，BC=8cm，AB=IOcm,如图2,点

G从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为lcm∕s,过点G作GHIBC交AB于点H；

将BABCD沿对角线AC剪开，ΔDEF从图1的位置与点G同时出发，沿射线BC方向匀速运

动，速度为2cm∕s,当点G停止运动时，ΔDEF也停止运动.设运动时间为t(0<t≤8),解

答下列问题：

(1)当t为何值时，点F在线段GD的垂直平分线上？

(2)设四边形AHGD的面积为S(CTn2),试确定S与t的函数关系式；

(3)当t为何值时，S有最大值？

(4)连接EG,试求当AG平分∆BAC时，四边形EGFD与四边形AHGE面积之比.

6.如图，已知一个矩形纸片OA8C,将该纸片放置在平面直角坐标系中，。为原点，矩形的顶点

A,C分别在X轴，y轴的正半轴上，顶点B《6,2√3>,点。是矩形边。4上的动点，沿CD折

叠该纸片，得点8的对应点B'，点A的对应点A.

备用图

(1)如图①，当点。与点A重合时，CB'与X轴交于E点.

①求点E和点B的坐标.

②在直线AC上是否存在点尸，使PB'+PE的值最小?若存在，请找出点P的位置，并求出

PB'+PE的最小值；若不存在，请说明理由.

(2)在纸片折叠的过程中，连接AB，BB',当ANBB'的面积最大时，求点B’的坐标

(直接写出结果即可).

(1)如图1,点A和点B是直线I1上两点，点C和点D是直线I2上两点，且l1∕∕l2,

BC±AB,若AB=2,BC=3,则△ABD的面积为；

(2)如图2,在边长为4的菱形ABCD中，ZA=60o,M是边AD的中点，N是边AB上一动

点，将么AMN沿直线MN翻折得到^PMN,求点P到直线BC的最小距离；

(3)如图3,在矩形ABCD中，AD=6,AB=8,E,F分别为边CB,CD上的动点，且EF=

4,点O为EF的中点，连接BO并延长交CD于点M,过点O作ON〃DC交DB于点N,连接

MN,则ABMN面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

8.在平面直角坐标系xθy中，已知正方形ABCD,其中

A(-^,0),B(0,~),C(y~,0),D(0,--)>M,N为该正方形外两点，MN=I•给出如下定义：

记线段MN的中点为P,平移线段MN得到线段MN'，使点M1,N'分别落在正方形ABCD的相

邻两边上，或线段MN与正方形的边重合(M',N',P'分别为点M,N,P的对应点)，线段PP'

长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”.

(1)如下图，平移线段MN,得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N11M2N2,则这两

条线段的位置关系是________；若P11P2分别为M1N11M2N2的中点，在点Pι,P2中，连接点P

与点________的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离，

↑yP

1-M-----1------N

B

D

(2)如图，已知点£1(孝+1,0)，若M,N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD的

“平移距离”为di,求心的最小值；

(3)若线段MN的中点P的坐标为(2,2),记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为

d2,直接写出d2的取值范围.

9.综合与实践：利用矩形的折叠开展数学活动，探究体会图形在轴对称，旋转等变换过程中的变

化，及其蕴含的数学思想和方法.

动手操作：如图①，矩形纸片4?Cz)的边A8=2遮，将矩形纸片A3CO对折，使点A与点。

重合，点8与点C重合，折痕为ER然后展开，Ef›与AC交于点

如图②，将矩形ABCO沿过点A的直线折叠，使点5落在对角线AC上，且点3与点”重合,

展开图形，折痕为AG,连接GH；

若在图①中连接BH,得到如图③，点M是线段BH上的动点，点N是线段AH上的动点，连接

AM,MN,且NAMN=/AB”；

若在图②中连接8H,交折痕AG于点。，隐去其它线段，得到如图④.

（1）解决问题：

在图②中，NACB=,BC=,弟=,与AABG相似的三角形有.

（2）在图②中，AH1=AE•▲（从图②中选择一条线段填在空白处），并证明你的结论；

（3）在图③中，4ABH为三角形，设为X,则N"=（用含X的式

子表示）；

（4）拓展延伸：

在图④中，将△ABQ绕点8按顺时针方向旋转α（0时狂180。），得到△480,连接OQ，，贝IJ

的最小值为，当tan∕CBQ=时，△08。的面积最大值为.

10.如图，在菱形ABCD中，AB=5,BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交

BC于点F,BG平分/CBE交DE于点G.

（2）若BD=6,DG=2GE.

①求菱形ABCD的面积.

②求tan/BDE的值.

（3）若BE=AB,当ZzMB的大小发生变化时（0。</ZMB<180。），在AE上找一点T,使GT

为定值，说明理由并求出ET的值.

11.正方形ABC。，点E在射线C。上，连接AE,以AE为斜边，作AE凡FE=FA（点凡B

在直线AE的两侧），连接。F.

(i)如图，点E在线段Cr)上.

①求乙MΨ的度数.

②求证：CE=y[2DF.

(2)若。E=2,以A,E,D,尸为顶点的四边形的面积为6时•，请直接写出。尸的长.

12.在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点M,过点E作

EF//BC,交CD于点F,过点F作FG_LBM,垂足为点H,交AD于点G,连接EG、BF、CH.

(1)如图1,若点E为AC中点，有EF=kHF,则k=

(2)如图2,若EF=IHF,求器的值；

(3)求证：GE±EF.

13.综合与实践

(1)操作探究

如图1.将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,AC与EF交于点G.请

回答下列问题：

①与&AEG全等的三角形为▲,与AAEG相似的三角形为▲.并证明你的结论：(相

似比不为1,只填一个即可)：

②若连接AF.CE,请判断四边形AFCE的形状：▲.并证明你的结论；

(2)拓展延伸

如图2,矩形ABCD中，AB=2,BC=4,点M、N分别在AB、DC边上，且

AM=NC,将矩形折叠，使点M与点N重合，折痕为EF,MN与EF交于点G,连接

ME.

①设m=AM2+AE2,n=ED2+DN2,贝!]m与n的数量关系为；

②设AE=a,AM=b,请用含a的式子表示b:；

③ME的最小值为.

14.如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点H.现

在提供三个关系：@AF1EG；(2)AH=HF;③AF=EG.

(1)从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题.写出该命题并证明；

(2)若AB=3,EG垂直平分AF,设BF=n.

①求EH：HG的值(含n的代数式表示)；

②连接FG,点P在FG上，当四边形CPHF是菱形时，求n的值.

15.问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在正方形ABCD中，点E是边CD

上一点，将AADE以点A为中心，顺时针旋转90。，得到AABF,连接EF.过点A作AGLEF,垂

足为G.试猜想FG与GE的数量关系，并证明.

(1)独立思考：请你解决老师所提出的问题；

(2)拓展探究：智慧小组在老师所提问题的基础上，连接DG,他们认为DG平分/ADC.请你

利用图2说明，智慧小组所提出的结论是否符合题意？请说明理由；

(3)问题解决：在图2中，若AD+DE=28,则四边形AGED的面积为.(直接写出

答案即可)

16.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm，连接AC,点O为AC的中点，点E

为边BC上的一个动点，连接OE,作OFLOE,交边AB于点F.已知点E从点B开始，以

lcτn∕s的速度在线段BC上移动，设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题：

(1)当t为何值时，OE〃AB?

(2)连接EF,设XOEF的面积为'(cm?),求y与t的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使SAOEF：S能冽BeD=51：384?若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由；

(4)连接OB,在运动过程中，是否存在某一时刻3使OB恰好将AOEF分成面积比为

1:2的两部分？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】(1)EF=BE+DF

(2)解：EF=BE+DF仍然成立.

证明：如图1,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,

'.'∆B+∆ADC=180o,∆ADC+∆ADG=180°,

ΛZ-B=Z.ADG.

在和aADG中，

BE=DG

Z.B=∆ADG，

AB=AD

・•・△ABE三UDG(SAS),

：.AE=AGf∆BAE=∆DAG,

1

^∆EAF=^∆BAD，

1

.∖∆BAE÷∆DAF=∆EAF=^∆BAD，

∖u∆GAF=∆DAG+∆DAF,

ΛZGTlF=∆BAE+∆DAF,

.∖∆EAF=∆GAF,

在AAEF和∆AGF中，

AE=AG

∆EAF=∆GAF,

AF=AF

.u.∆AEF≡∆ΛGF(S½S),

：.EF=GF,

∖tGF=DG+DF=BE+DF,

：.EF=BE+DF；

(3)解：如图2,

图2

连接EF,延长AE、BF相交于点G.

,.∙ZAOB=20o+90°+(90o-80o)=120。，ZEOF=60o,

.,.Z.EOF=∆AOB,

XVOA=OB,Z.OAG+乙OBG=(90°-20°)+(80°+30°)=180°,

符合(2)中探索延伸中的条件，

，结论EF=AE+BF成立，

即EF=2×(50+60)=220海里.

答：此时两舰艇之间的距离是220海里.

2.【答案】(1)证明：由旋转性质知，∆CE'B=∆AEB=90°,

又---AE延长与CE于F点，

乙FEB=4AEB=90°.

,.-RtZiABE绕点B按顺时针方向旋转90°,

.∙.∆EBE'=90°,

四边形BEFE'是矩形.

又YBE=BE，，

四边形BEFE'是正方形.

(2)解：①如图，过点。作。HJ.EA,垂足为H.

DC

由=DE,得AH=^AE.

•：∆HDA+乙DAH=∆EAB+乙DAH=90°,

乙HDA=乙EAB.

又V乙DHA=乙AEB=90o,AD=AB,

；・△DHA=△AEB.

：,AH=BE=FE,,

由旋转性质知，CE'=AE,

故FE'=AH=∖CE',BPCF=FE'.

②解：设正方形BEFE'的边长为X.

在RtZ∖CE'8中，CE'=3+%,BE'=x,CB=AB=15,

（3+%）2+X2=152,

解得X=9（舍去X=-12）.

如图，过点。作DH∙LEA,垂足为H,同（2）知ADHAmAAEB,

.∙.DH=AE,AH=BE=BE'.

.∙.CE'=AE=DH=3+9=12,HE=AE-AH=12-9=3.

在Rt△DHE中，得DE=yjDH2+HE2=3√17.

3.【答案】（1）解:如图1,

D

BeC

图1

YE是BC的中点，

ΛBC=2BE,

；四边形ABCD菱形，

ΛAD=BC=2BE,AD∕/BC,

Λ∆AFDSZ^EFB,

.DF_AD

••前F'

.DF_2BE_r

•,丽=碇=2'

.∙.BF=IDF；

(2)解：如图2,连接AC交BD于0,

图2

：四边形ABCD菱形，BD=16,

.••AC、BD互相平分，

.∙.0A=ɪAC,OB=IBD=8,

YF在BD上，

ΛFC=FA,

在Rt△ABO中，NAoB=90。,AB=IO,

-'-OA=>∕AB2-OB2=6,

ΛAC=I2,

VAD√BC,

Λ∆FDA<^∆FBE,

①当∕FEC=90。时，如图2,

在AABC中，SΔABC=-AE=^AC-OB,

..„AC-OB12×848

-AE=-BC-=-10-=-5'

在Rt∆AEB中，ZAEB=90o,

②当NEFC=90°时,如图3,

力

AK----------------D

图3

在RSAFC中，NAFC=90。，点O是AC的中点,

ΛOF=iAC=6,

.∙.DF=8+6=14,BF=2,

V∆FBES∕∖FDA,

③∙.∙点E在BC边上，

点F在线段OB上，

故NECF≤NECA<90°,

故∕ECF=90。这情况不存在，

综上所述，当ACEF为直角三角形时，EC的长为等或学；

（3）√2-l

4.【答案】（1）2π-4

（2）解：①"4Q与/.AMP相等.

理由：如图2,设半圆。与AM交于点E，连接PE.

•：AP为直径,

：.∆AEP=90°.

在矩形ABCD中，Z-D=Z-DAM=90°,

：.AE=DP.

:△APQ与XAPD关于AP对称，

：.PQ=DP.

：.AE=PQ.

.∖AE=PQ.

.∖∆APE=∆PAQ,

VPM切半圆。于点P,

：.AP1PM.

.β.∆APE+∆EPM=90°,Z.AMP+∆EPM=90o..∖∆APE=∆AMP.

.∖∆PAQ=∆AMP.

②由①可知，^APE=乙PAQ=LAMP,PE=AQ=AD=4.

在Rt∆APE中，

3

了，

tan∆APE—4

：.AE=3.

D

图3

在RtAPEM中,

PE

tan∆AMP=两=彳，

・43

''EM=4'

16

EM=T-

∙.NE+EM=AM,

....16IC25

•∙AM=-ɜ-÷3=ɪ・

(3)解：如图4,设点H为AD的中点，直线HO是矩形ABCD的对称轴，连接OE.

当点Q落在矩形ABCD的对称轴HO上时，半圆。落在矩形ABCD内部的弧为睦.

在RtAAHQ中，∆AHQ=90°,

AQ=AD=2AH=4,

：・(HQA=30o,∆DAQ=60°,∆DAP=∆PAQ=乙QAB=30°.

■•DP=AD-tan30o=警，AP=竽，。力=竽

:DP:DC=1/4,

-'-DC=AB=m=^^∙

9：0A=OE,

.∖∆AOE=60o.

：.乙EOP=120o.

：.P^的长_12°X"X⅛ɪ_8百丁.

—一180—~~π

如图5,设K是CD的中点，L是AB的中点，作直线KL.

易知直线KL是矩形ABCD的对称轴.

"."DP：DC=1：4,DK=KC=与DC，

，DP=PK=PQ=iDC,

q

.∙.点Q不可能落在直线KL上，这种情形不存在.

综上所述，满足条件的m的值为厚，此时半圆。落在矩形ABCD内部的弧长为⅛≡7r

5.【答案】（1）解：如图，

由题意得：BG=t,CF=2t,BC=8,AB=10,

∙,∙CG—8—t,GF—8—t+2t=8+t,

^ABCD及平移的性质,

∙.AB∕∕DFfAB=DF=IOf

・・・点F在线段GD的垂直平分线上,

：•FG=FD,

・,・8+t=10,

・•・t=2.

当t=2s时，点尸在线段GD的垂直平分线上.

(2)解：•・•AC=6cm,BC=8cm,AB=IOcm,

222222

ʌAC÷BC=6+8=IO=ABf

O

・・.乙ACB=90Λ

・••GH1BC

AC6HG

∙'∙tanzwβc=BC=8=~BG'

HG6

Λ~Γ=81

3

ʌHG=-rt,

4

又∙.∙CF=2t,^∖ABFDl

∙.∙O<t<8,

:∙G点在BC上，

・•・S伺ABFD=BF∙AC=6(8+2t)=48+12t,

1133

s=BG9=t9t=t?,

∆BGH22l48

11,、

S^GFD=»GF♦AC=,X6(8+t)=24+3t,

・•・S四边形AHGD=S圈ABFD—SABGH—^ΔGFD>

2cQ

48+12t-Q—24—3t=-6产+91+24,(OVt≤8)

OO

(3)解：•：S四边形AHGD=-Qt2+9t+24,且(OVt≤8)

O

•••抛物线的对称轴是：%=12,

.∙.O<t≤8时，S随t的增大而增大,

当t=8s,四边形AHGD的面积最大，最大面积为：

3

5=--×872+9×8+24=72.

O

(4)解：如图，连接AGtEGf过G作GNJ于N,

-AG平分∆BAC,∆ACB=90。,

・•.GN=GC=8—t,

GNAC63

∙∙∙SMNBG=前=丽=TU=宁

8-t3

∙,∙t-5,

此时：GF=8+t=13fED=BC=StAE=10,

H-.UDΓ-HG_AC

mltanZ∙HBG=„=

15

,•hg=不

∙'∙Sna®EGFD=SAEGF+SAEFD=∕xl3x6+^x8x6=39+24=63,

:∙S四边形ABGE=SΔABQ+SΔAQE=2×5×6÷2×lθ×6=45,

11575

ʌSABGH=ɪ×5×"jΓ~=-g-，

.CZIL75285

・・3四边形AHGE=45—W=&-

ccy1L28524

:,3四边形EGFD∙S四边形AHGE=45：飞一=再.

6.【答案】（1）解：如图，①Y四边形OABC是矩形，

：.Z.ABC=∆OCB=LCOA=90°,B（6,2√39，

ΛOA=BC=6,OC=AB=2√3,

∙.∙在Rt∆ABC中，tan∕4CB=第=婆=卓，

DL63

.".AACB=30°,

由折叠知：∆ACB=∆ACB'=30°,∆ABC=∆AB'C=90°,AB=AB'=2√3,

：.∆OCB'=90°-∆BCB'=900-60°=30,

OC

∙∙°E=吞=2,

'.E(2,O),

过点B'作BF1OA，垂足为F,

：∆OEC=∆AEB',∆COA=∆AB'C=90°,

,.∆OCB'=乙EAB'=30°,

∖BF=^AB'=ɪ×2√3=√3,AF=√3B,F=3,

;OF=OA-AF=6-3=3,

∙.B'(3,-√3);

②存在，连接BE与AC的交点即为P点.

•.♦折叠后点B的对应点为B.

：.PB=PB',

：.PB'+PE=PB+PE,

要使PB'+PE的值最小，就是求PB+PE的最小值，即为BE,

在Rt∆ABE中，AE=OA-OE=6-2=4,

,BE=>JAB2+AE2=2+42=2√7，即PB'+PE的最小值为2√7；

(2)B(-6,2√3;

7.【答案】(1)3

(2)解：如图2,由折叠知MP=AM,又M是AD的中点，可得MA=MP=MD,

图2

故点P在以AD为直径的圆上，

过点M作ME_LBC于点E,交圆M于点P,则PE的值是最小值，

∖∙∕A=60°,AB=4,

ΛAM=2,

ΛME=2√3,

.∙.PE=2√3-2.

点P到直线BC的最小距离是2√3-2；

(3)解：存在.

理由：如图3中，过点O作OJLBD于J,过点C作CK_LBD于K.

图3

VON/7CD,AB√CD,

ΛON√AB,

,SABMN=ɪ∙ON∙AD=3ON,

ΛON的值最小时∙，ΔBMN的面积最小,

：四边形ABCD是矩形，

ΛZA=90o,AD=6,AB=8,

2222

'BD=yJAD+AB=√6+8=1。，

VCKlBD,

.∙.SABCD=ɪ∙CD∙CB=j∙BD∙CK,

CKCD-CB_24

~BD~=^5^

VON∕/AB,

NONJ=/ABD,

.*.cosZONJ=cosZABD-ʌ=∣,

,.∙/OJN=90。，

.∙.OJ=ION,

VOJ±BD,CK±BD,

ΛCO+OJ>CK,

VZECF=90o,EF=4,FO=EF,

.∙.C0=ɪEF=2,

Λ2+0J>ɪ,

ΛOJ≥普，

.∙∙0J的最小值为S，

Λ0N的最小值为竽，

Λ∆BMN的面积的最小值为3xɪ=14.

8.【答案】（1）平行；Pi

（2）解：VB（0,乎），C（乎，0）,四边形ABCD为正方形,

VE（孝+1，0）,

/.CE=:+1—乎=I=BC,

ΛZ1=Z2,则N1+N2=∕BCA=45°,

/1=/2=22.5°,

在RtABMN中，BPl为斜边上的中线，

则BPi=ɪMN=1=NPi,

.∙.NPιBN=NPιNB,

又MN〃BE,

ΛZ2=ZP1NB,

.∙./2=/PlNB=45°,ZP∣BE=Z2+ZP∣BN=45°,

.∙.dι的最小值为辛；

(3)解：根据题意，PHP2分别是AB、BC的中点，

则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PPi,最小为PP2,

∙∙∙PP∣=J(2+^∕+(2-^)2=φ，

PP2==J(2√2-i/=2√2-∣^

Ad2的取值范围是2√Σ-J≤d2≤毕.

2-4・2

9.【答案】(1)30°；6；4；7

（2）解：AG；∖∙EF为折痕，

ΛEH±AD,

,.∙ZEAH=ZHAG=30oZAHG=ZAEH=90o

AEHs△AHG,

.AE_AH

',AH=AG'

：.AH2=AE-AG

（3）等边；—，/+X

6

（4）3√3;√3;6

IO.【答案】（1）证明：Y四边形ABCD是菱形，

ΛBC=DC,ABHCD,

ΛZBDC=ZCBD,ZBDC=ZABD,

.,.ZCBD=ZABD=1ZABC,

'.'BG平分乙CBE交DE于点G,

ΛZCBG=ZEBG=ɪZCBE,

.∙.NCBD+NCBG=ɪ（ZABC+ZCBE）=ɪ×180°=90°,

ΛZDBG=90°；

（2）解：①如图1,连接AC交BD于点O,

图1

：四边形ABCD是菱形，BD=6,

ΛOD=IBD=3,AClBD,

ΛZDOC=90°,

在中，）

Rt∆DOCOC=√c∕2_OD2==4,

.∙.AC=2OC=8,

11

S菱形ABCD=QACXBD=3X8x6=24'

即菱形ABCD的面积是24.

②如图2,连接AC,分别交BD、DE于点O、H,

图2

・・•四边形ABCD是菱形，

ΛAC±BD,

VZDBG=90°

ΛBG±BD,

.∙.BGHAC,

.DH_DO

^DG=BD=2'

ΛDH=HG,DG=2DH,

VDG=2GE,

JEG=DH=HG,

.DH_1

,,丽=2'

VABHCD,

ΛZDCH=EAH,ZCDH=ZAEH,

Λ∆CDHS△AEH,

.CH_DH_1

,•而=丽=2'

ΛCH=ɪAC=§,

ΛOH=OC-CH=4-I=,

.∙.tan∕BDE=黑=M

(3)解：如图3,过点G作GTIlBC交AE于点T,此时ET=

图3

理由如下：由题（1）可知，当NDAB的大小发生变化时，始终有BGHAC,

・•・△BGEs△AHE,

.EG_BE

^GH=AB'

∙.'AB=BE=5,

ΛEG=GH,

同理可得，ZkDOHs∕∖DBG,

.DH_DO

••丽=前’

VBO=DO,

JDH=GH=EG,

VGTHBC,

ΛGTHAD,

Λ∆EGT^∆EDA,

.GT_EG_£T_1

"AD=ED=EA=3'

VAD=AB=5,

∙∙∙GT=I,为定值，

此时ET=ɪAE=A(AB+BE)=学.

11.【答案】(1)解：①设EF与AD交于点G,

Y在正方形ABCD中，NEDG=90。,

又•/在Rt∆AEF中，ZAFE=90o,

ΛZEDG=ZAFE,

VZDGE=ZFGA,

△DEGFAG,

.EG_GD

-AG=GF'

又•・・NEGA=NDGF,

ʌ△AEGFDG，

ΛZADF=ZAEF=45o;

②连接AC,则/ECA=/FDA=45。，

∙/ZEAD+ZDAF=ZEAD+ZCAE=45o,

...NCAE=NDAF,

.∙.ΔCAESDAF,

.CEAC√2

"DF=AD=T'

,CE=√2DF；

⑵√Σ或2b

12.【答案】(1)√∑

(2)设EF=α

4

•；EF=WHF

.3

•∙HF=-zrτa

又YHF1EH

.∙.由勾股定理得EH=，a

由题可知假设EGIAD,则有XHEFSXHEG,又HFIEH

二Z∆HGM“△HFE,ΔHGMHEG,

.GH_HMEH_GH

"FHHE'GH~^HM

嚼=带,又HFLEH

：.AHEFSXHEG,假设成立

：.EGIAD

如下图，延长GE交BC于点N,则GNIBC,过点H作HLlBC于点L

又,：EFuBC

LFEN=乙ENC=90°即EF1GN

又•：ADllBC

C.EF//AD

：.Z.GEF=(DGE=90°即EG1GD

9：∆GEF=乙EMF=90°,4F=乙F

,AGEF-EHF

.FH_EF_3

β*GF-FF-GF-4

••∙口E「G=-γ-'rpur一司。

Jɔ

VAC为正方形ABCD的对角线

.∖∆ACB=45°

•：GN1BC

,△ENC是等腰直角三角形

：.EN=NC

又,：EFllBC

：.EN=NC=FC=EF即四边形ENCF为正方形

：.EN=a

VzGEH=乙BEN,Z.GHE=乙BNE

IAGEHFBEN

.EG_EH_GH

•,丽=丽=丽

：.BE=^a,BN=JGa)2一非=孝ɑ

'BC=曾+1)Q

∙>∙BF=j[(ɪ+l)α]2+a2

■:乙EBN=乙HBC,乙ENB=乙HLB=90°

MEBNFHBL

.BN_BE_EN

••瓦=丽=TTL

XVHL2+LC2=LH2

ΛCH=J[(^÷l)α]2+α2

.CHT

∙∙BFT

(3)VFGLAD,∆D=90o,EF//BC

：.EF1CD

J.∆EFD=90o

：.Z-GEF=90o

：.GE1EF.

13.【答案】(1)解：①ACFG；LACD或△CAB；v矩形ABCDf

∙.AD//BC,乙D=90。,

・・•乙AEF=乙CFG,∆EAG=乙FCG,

由折叠可得：AG=CG,

AEG=△CFG.

如图1,连接CE,AF,

由折叠可得：EA=EC,∆EGA=∆EGC,

∙.∙∆EGA+/.EGC=180°,

：•∆AGE=90o=Z-D,

•・•Z-GAE=Z.DAC,

AGEs&ADCf

同理：XAGESACBA,

②菱形；如图1,由①得：4TlEGmACFG.

.∙.AE=CF,

矩形ABCD,

ʌAD//BC,

四边形AFCE为平行四边形,

∙.∙∆AGE=90°,

.∙∙AC1EF,

•••四边形AFCE为菱形，

(2)m=n；b=5-2a；√5

14.【答案】(1)解：在正方形ABCD中，E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于

点H,月SFJ.EG；

求证：AF=EG.

证明：过点D作DPIZF交AB于点P,如图1所示：

则乙4DP+∆DAF=90°.

VΛF1EG,

.∙.DP//EG,

•••四边形ABCD是正方形，

乙B=∆BAD=∆BAF+∆DAF=90o,AB=AD,AB//CD,

.∙.∆ABF=∆ADP,四边形QGEP是平行四边形，

.・・DP=EG,

在A4BF与4Zλ4P中，

乙BAF=∆ADP

AB=DA,

.Z-B=∆DAP

∙∙.ΔABF=ΔDAP(ASA),

∙.AF=DP,

AF=EG;

（2）解：①过点H作AD的平行线交AB于N,交CD于Q,如图2所示:

图2

则NQ=A。=AB=3,EH：HG=NH：HQ,

∙∙∙EG垂直平分AF,

••・N、H分别为AB、AF的中点，

NH是Λ4BF的中位线，

：・NH=WBF=W∏,

1

：・HQ=3-打，

∏

ΛEH：HG=NH：HQ=ɪ-=ɪ;

ɜ-ɪn6~n

②如图3所示：

图3

・・•四边形CPHF是菱形，

HF=FC=3—n,

•・,EG垂直平分AF,

.∙.AH=HF=3-n,

∙∙AF=2AH=6-2nf

在RtZkABF中，由勾股定理得：AB2+BF2=AF2,

即32+彦=(6-2n)2,

解得：九=4—夕或九=4+（舍去）,

Λn=4—√7∙

15.【答案】（1）解：FG=GE,理由如下:

Y四边形ABCD是正方形，

ΛAB=AD,ZBAD=90°,

・・,将AADE以点A为中心,顺时针旋转90。，得到AABF,

ΛZFAE=90o,AF=AE,

VAG±