辽宁省鞍山市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试卷(含答案)

辽宁省鞍山市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题_

1、若i(l-z)=l,则z+z=()

A.-2B.-lC.lD.2

2、设全集U={—2,-1,0,1,2,3},集合A={T,2},β={%∣χ2-4x+3=θ},则

电(AB)=()

A.{-2,0}B.{0,3}C.{-2,l}D.{l,3}

3、数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了

工=22"+1(A=0,1,2,…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧

拉算招=641∙6700417,不是质数.现设=l0g4(M-I)(〃=1，2,…)，S”表示数列

{4}的前几项和，若：32S.=63%,则〃=()

A.5B.7C.6D.8

4、已知平面向量。与〃的夹角为6(尸>,a=(2,0),例=1I,则卜-2司的值为()

A.√2B.2C.4D.-

2

/

π)=；,则cos(2a-

5、已知Sina+一)

I3

A.-1B.1C.--D.-

9999

6、为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少

安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有()

A.50种B.60种C.80种D.100种

7、已知圆锥的母线长为2,侧面展开图扇形的面积为2兀，那么该圆锥的体积是()

A.-B.-C.πD.—

333

8、函数/'(X)是定义在R上的偶函数，且/(l+x)=F(I-x),若XG[0,1],

f(x)=2x,则/(2023)=()

A.4B.2C.1D.0

二、多项选择题

9、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收

入调查数据整理得到如下频率分布直方图(如图)：

处

0.14■

0.IC-

卜也4匕L6匕7匕也，*∣A∙SliiJSU<SQJJi丸

根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是()

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元

C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

10、已知函数/(x)=SinWX+e)+cos(eυx+°)(cυ>0,陷≤]).的最小正周期为兀，

且/(x)的图象过点倒,0),则下列结论中正确的是()

A.∕(x)的最大值为血

BJ(X)的图象一条对称轴为:

CJ(X)在(Og)上单调递减

D.把/(x)的图象向左平移四个单位长度，得到函数g(x)=√∑cos上尤+外的图象

11、已知6，F?分别是双曲线C：弓-丁=]的左、右焦点，点M是该双曲线的一条

渐近线上的一点，并且以线段耳，鸟为直径的圆经过点M,则()

A.双曲线C的渐近线方程为y=±-x

2

B.以线段F1F2为直径的圆的方程为X+/=3

C.点M的横坐标为2或-2

D.的面积为逐

2

12、如图所示，从一个半径为一一(单位:m)的圆形纸板中切割出一块中间是正方

√3-l

形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面(舍弃阴影部分)折叠成一个正四棱锥

P-ABCD,则以下说法正确的是()

A四棱锥AMQ的体积是竽m'

B.四棱锥P-ABeD的外接球的表面积是8τm√

C.异面直线∕¾与Co所成角的大小为60°

D.二面角A-PB-C所成角的余弦值为-L

3

三、填空题

13、在的展开式中，常数项是；

14、若函数/(x)=X-αlnx的图象在点(1,1)处的切线方程为y=3x-2,则实数

15、若正实数α,〃满足α+力=1,则々+之的最小值为_________；

3ab

22

16、已知椭圆C：⅞+⅞=l,(α>)>0)的左、右顶点分别为A,A,,且以线段AA

ab

为直径的圆与直线区-缈+2αb=0相切，则C的离心率为.

四、解答题

17、设数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足S向=S,+%+2(〃eN*),255=3(/+%)・

(1)求数列的通项公式｛α,｝;

(2)若2=%+(T)，求数列也｝的前〃项和T.

18、在AABC中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c,8=60。，a2=b2+c2-bc,

延长BC至。，使BD=7,AACD的面积为°百.

2

⑴求AB的长；

(2)求aACD外接圆的面积.

19、甲、乙、丙三人，为了研究某地区高中男生的体重M单位：kg)与身高M单位：

Cm)是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6位高中男生身高和体重的数据，得到

如下表格：

身高

160166172173173182

/cm

体重∕kg445055555664

根据表中数据计算得到y关于X的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89.

⑴求y关于X的线性回归方程S=%+4;

(2)从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高(单位：cm)的数据绘制成如

图的茎叶图.①估计体重超过60kg的频率P,②视频率为概率，从抽出的10名男生中

再选2人，记这2人中体重超过60kg的人数为X,求X的分布列及其数学期望(用(1)

中的回归方程估测这10位男生的体重).

16233

173466

IlI24

20、如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCO为直角梯形，ABHCD,

NABC=90。，AB=2BC=2CD=2,△"＞尸为等边三角形，且面ADP_L底面ABCD

(1)若M为BC中点，求证：PMlBC-,

(2)求面而。与面PBC所成二面角的余弦值.

21、已知抛物线C的顶点是坐标原点O,对称轴为X轴，焦点为凡抛物线上点A的

横坐标为1,且以OA=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点作与X轴不垂直的直线/交抛物线C于两点M,N,直线x=l分

别交直线0M,ON于点A和点求证：以AB为直径的圆经过X轴上的两个定点.

22、已知函数/(x)=Jχ2一q]nx(αeR,tz≠0).

⑴求函数"x)的单调区间；

(2)若对任意的x∈[l,+∞),都有成立，求α的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：因为i(l-z)=l,所以Z=I-I=l+i,所以Z=I-i,所以z+z=(1+i)+(l-i)=2.

i

故选D.

2、答案：A

解析:由题意，B={x∣X2-4X+3=0}={1,3),所以人8={T,1,2,3},

所以g(AU3)={-2,0}∙

故选：A.

3、答案：C

解析：因为工=2'+1(〃=0,1,2,),所以

2n2n

=Iog4(Z;,-1)=Iog4(2+1-1)=Iog42=2-',当〃=1时，工=5,此时

Λl=log4(5-l)=l,所以{α,,}是首项为1,公比为2的等比数列，所以

S11=^^∣∙^=2"-1.所以32(2"—l)=63x2"τ,解得〃=6.

4、答案：B

解析：由已知∣“∣=2,∖a+2b∣2=α2+4α∙6+462=4+4×2×l×cos60o+4=12,所以

∖a+2b∣=2.

5、答案：A

解析:解：COS(2a+g)=cos2(a+]]=l-2sin?[α+]]=l-2x[=1,

又20一]=(2α+ɪ`j-π,

=CoS2‹z÷^-—cos2α+07

所以COSlπ一，故选：A.

Ll3JI39

6、答案：C

解析：可根据甲学校的人数进行分类：第一类：甲校2人，C；C；A；=6()；第二类：甲

校3人，C；A；=20,根据分类加法计数原理可得总数60+20=80种.

7、答案：D

解析：设圆锥底面半径为r,高为/?,

.*.h=Λ∕22—1=ʌ/ɜ,

,-.V=-Sh=-(π×l2]×yβ=—.

33v,3

故答案为：D.

8、答案：B

解析：因为/(l+x)=/(l-x),且/(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(l+x)=∕(f,

令/=%-1,则x=f+l,

所以f(t+2)=fS，即/(x)=/(x+2),

所以函数/(x)的周期为2,

所以/(2023)=/(1011×2+1)=/(1)=2,

故选：B.

9、答案：ABC

解析：对于A,该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的频率为

(0.02+0.04)x1=0.06=6%,所以比例估计为6%,故A正确；

对于B,因为(0.02+0.04+0.10+0.14+0.20)x1=0.5,所以该地农户家庭年收入的中位

数约为7.5万元，故B正确；

对于C,家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为

(0.10+0.14+0.20+0.20)×1=0.64>0.5,所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年

收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C正确；

对于D,该地农户家庭年收入的平均值约为

3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+ll×0.04+12×0.02

+13×0.02+14×0.02=7.68>6.5,

所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，

故D错误.

故选ABC.

10、答案：AC

解析：/(x)=λ∕2sinGx+夕+扑

最小正周期为兀，「.」=兀，得①=2ω=2,则/(x)=J^sin12x+0+:Jf(X)=

√2sin(2x+φ+Jf(x)vf(x)的图象过点(θ,√∑)(0,√2),

/.f(0)=V2sin19+£=Λ∕2ʌf(0)=V2sin(φ+；)=应，即sin=1,得

°+工=2E+/φ+U=2k兀+》，得夕=2E+∙^φ=2k兀+E,k∈Z,keZ,|同〈巴,・,

∣φ∣V枭.・・，・,.当Z=O时，e=：(p=j,贝IJ

/(x)=λ∕2sin^2x+-^+^=V2sin^2x÷^=V2cos2x则最大值为V5L故A正确，

/(：)=JΣcos∣∙=0w±JΣfg)=V2cos"=0≠+√2,即/(x)图象的一条对称轴为:

JT

错误，当0<x<5Error!Digitexpected.时，0<2%<兀ErrOr!Digitexpected.,此时

/(jr)=V2cos2xf(x)=√2cos2x,为减函数，故C正确，把/(x)f(x)的图象向左平移

ɪ个单位长度，得至1]y=啦COS2卜+巳)=V2COS^2Λ+^y=√5cos2(x+=

0(：05(2*+9无法得至!]8(司=7^0$(2_¥+已)8(*)=√5cos(2x+》的图象，故D错

误，故选：AC.

11、答案：CD

解析：由双曲线方程知：α=2,匕=1,.∙∙C的渐近线方程为y=±gx,A错误;

22

c^yja+b=√5,.•.6鸟为直径的圆方程为/+;/=5,B错误；

ɪ((

由y=±5'得：f=2或"=一2,二点M的横坐标为2或-2,C正确；

f+y2=5ly=±ιU=±1

IyMl=L∙'∙ΛMF1F2=JME∣∙I%I=6，D正确.

故选：CD.

12、答案：BCD

解析：设正方形边长为尤，则由如图1知MN=X+2∙rsin6()o=x(K+l),

22

又因为MN=2∙所以X(G+1)=2∙解得x=2,

√3-l√3-l

对于A,因为POL平面ABCO,所POLQ4,

因为。4=√Σ,B4=2,所以C0=J∕¾2-012=日

所以％-"°=；,22,应=^^，，

所以A错;

对于B,因为。4=08=0C=OD=OP=右，所以四棱锥P-ABC。的外接球的半径

为0，

所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4兀(五)2=8Mm2),所以B对；

对于C,因为AB〃CD,所以异面直线附与CO所成角等于NPB4,

又因为△尸AB为正三角形，所以/084=60。，所以C对；

对于D,取PB中点。连接A。，CQ,则PB，AQ,PBLCQ,

所以二面角A-PB-C的平面角为NAQC,

A02+CQ2_AC23+3—8

cosZAQC-ɪ＞所以D对.

-IAQCQ-2∙Λ^∙√3

故选：BCD.

13、答案：-6

解析：

14、答案：-2

解析：f(x)=x-a∖nx,则r(x)=l-@,

X

依题意有广⑴=1一。=3,

则a=-2.

故答案为：-2.

15、答案：5

解析：b>0,且。+〃=1,

b3b3(α+b)b3a八C

--1—=--1-----—+—+3≥2+3=5

3ab3ab3ab

当且仅当2=2，即a=',3时，等号成立,

3ab44

即2+3的最小值为5.

3。b

故答案为：5.

16、答案：—

3

解析：A（-a，o），4（。，0），以线段为直径的圆光2+v="与直线

bx—ay+2ab=O相切,

.=—a,化为：a2=3b2,

√^2+(-α)2

.∙∙椭圆C的离心率e=£

a

故答案为：-y.

17、答案：⑴a〃=2〃

（2）T=n2+n+-———

"ll33∙4n

解析：（1）.，+1=%+。“+2（〃6*），，%-。,,=2,

・・・{a,,}是以2为公差的等差数列，

2%=3(%+4)，ʌ2×5¾=3×Ia5,

即lθ(q+4)=6(q+8),解得《=2,

.∙.an=2+(n-l)×2=2λ/,

(2)2=4+(；

33∙4"

18、答案：⑴AB=I或6

(2)∆ACD外接圆的面积为答

解析：(1)因为。2=〃+¢2-秘=〃+<?-2Z?CCoSA,所以CoSA=∙∣,

又0。<4<180。，所以A=60。，又因B=60。，

所以AABC为等边三角形，故AB=BC=AC,

由BL>=7,可得C£>=7-8。=7-AB,

⅛5ΔΛDCAC-CP-SinZACZ)=^AB∙(7-ΛB)=,

解得AB=I或6；

(2)由(1)得：当AB=I时，8=6,

则A。？=AC2+c∕52-2AC∙Cz)SinNACO=I+36-2xlx6x(-g)=43,所以

ΛD=√43,

设AACD外接圆的半径为R,由正弦定理可得2R=―竺_=2%，

sinZACD√3

所以R=华，所以AAS外接圆的面积为兀代=%，

√33

当AB=6时，CD=I,

则AD2=AC2+CD2-IACCDsmZACD=36+l-2×6xl×43,

所以AO=用，同理aACD外接圆的面积为3把,

3

综上所述，Z∖ACZ)外接圆的面积为三上.

3

19、答案：(l)y=0.89x-98.19

3

(2)分布列见解析，数学期望为：

解析：⑴依题意可知∕=0∙89,.X=17by=54,

.∙.a=y-⅛7=54-0.89×171=-98.19,

故y关于X的线性回归方程为y=0.89χ-98.19.

(2)令g=0.89x-98.19=60,得Xa177.74,

故这10位男生的体重有3位体重超过60kg,

X的可能取值为0,1,2,

P(X=O)=m=得，P(X=I)=等⅛,P(X=2)=卷=(，

joɪɔJoɪɔjoɪɔ

则X的分布列为：

XO12

771

P

1515

20、答案：(1)见解析

⑵李

解析：(1)取人。中点。，连接OM.

因为在梯形ABCo中，O,M分别为A。，BC的中点,

所以Q又所以OMLBC.

因为尸为等边三角形，故POLAD,

又面ADPJ_底面ABC。，面ADP∩面ASCD=4),

PoU面AOP,故PO，底面ABCD

因为BCU面ABC。，所以PBC.

又因为OPOM=O,所以BCJ_面POM,

而RWU面POM,故PM_L3C.

(2)由⑴可知，以。为坐标原点，以向量M6,OM,OP的方向分别作为X,y,Z轴

的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则呜,训,Cθ,∣,θ)哈-别'。[器'。)'P(。'阍'

所以AZj=(T,1,0),OP=0,0,ɪ,CS=(1,0,0),BP=

设m=(X],y,zJ为平面PAD的一个法向量，

/“A。=。∕f+y=°ʌE,`

则〈，即《卡，令无]=1,则加=(1,1,0).

加OP=O-Z=O

1[21

设“=(X2，%，Z2)为平面PBC的一个法向量，

”Λ2=0

则V,即,13∖∣6,令z2=屈,

n∙CP=0—X—%Hz=0

[22~2222

则〃=(0,2,∖∕6j.

m`n2_

于是cos(加,〃

f2√iθ^5

因为由图可知面∕¾。与面PBC所成的二面角为锐角,

所以面雨。与面PBC所成的二面角的余弦值为手.

21、答案：(I)V=M

(2)以AB为直径的圆经过X轴上的两个定点(-1,0),(3,0)

解析：(1)由题意可设抛物线方程为)2=2px(p>0),A(Ly)、尸(5,O

由E4∙Q4=4.可得(1一?y)(l,y)=4,即l∕+2p=4.解得p=2

抛物线方程为：y2=4x.

(2\(2\

⑵设直线/：y=Mx-l)(ZW0),M"，N,

)【4,

y2-4%

由卜\联立得，由2-4y-4左=0.则y∣%=-4.

y=κ(x-lj

4