2023年新高考数学创新题型15 集合（新定义）（解析版）

2023年新高考数学创新题型微专题（数学文

化、新定义）专题15集合专题（新定义）

一、单选题

1.（2023.全国.模拟预测）已知集合A,8满足AB={1,2,3},若AN8,且/&切，伊&阁表示两个不

同的28互衬对“，则满足题意的“AB互衬对”个数为（）

A.9B.4C.27D.8

2.（2023•全国•高三专题练习）定义集合AgB=HXeA且xe8},已知集合A={-3,-2,2,3},8={-3,T,l,2},

则A®8=（）

A.{-3,2}B.{-l,l}C.{-2,3}D.{0}

3.（2023・全国•高三专题练习）定义集合A*B={z∣z=wx∈A,y∈B},设集合A={-1,0,1},B={-1,1,3）,

则A*B中元素的个数为（）

A.4B.5C.6D.7

4.（2021秋.陕西安康.高一校考阶段练习）设P,。是两个非空集合，定义P*0={（α∕）∣ɑwP,beQ},若

P={3,4,5},Q={4,5,6,7},则PXQ中元素的个数是（）

A.3B.4C.12D.16

5.（2020秋.黑龙江哈尔滨.高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为U,定义一种运算，

MN={x∣xeMc（q,N）},若全集U=R,M={x∣∣x∣≤2},N={x∣-3<xvl},则MN=（）

A.{x∣-2≤x<l}B.{x∣l<x≤2}

C.{x∣l≤x≤2}D.{x∣-2≤x≤l}

6.（2022秋•上海浦东新•高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果”、bwG,则a+b、a-b,abwG,

且6*0时，f∈G"时，我们称G是一个数域.以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（）

b

①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则2022∈G;

③集合尸={xb=2A,Z∈Z}是一个数域；④有理数集Q是一个数域.

A.1B.2C.3D.4

7.（2022秋•北京房山•高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A,B满足以下三个条件，则称（AB）

为集合U的一种真分拆，并规定（A3）与（B,A）为集合U的同一种真分拆.

①ACB=0；

@AuB=U;

③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.

则集合U={1,2,3,4,5}的真分拆的种数是（）

A.4B.8C.10D.15

8.（2023春・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个“位正整数的所有数位上数字的"次方和等

于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合B={xeZ∣-3<X<4},

则ACB真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

9.（2023秋•上海徐汇・高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（l）0∈A,1∈Λ;（2）若x,y∈A,

则x-yeA；（3）若XWA且xwθ,则则称A为“好集”.已知命题：①集合{1,0,—1}是好集；②对

任意一个“好集”4若χ,yeA,则x+y∈A.以下判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

_∖-∖,xiM

10.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M,定义函数九（X）=,“，对

[l,x∈M

于两个集合M、N,定义集合，MNV={x∣√M（X）/（X）=-1},已知A={2,4,6,8,10},B={l,2,4,8,16},用IMl

表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合Λ/,|"44|+|知她|的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

11.（2022秋.天津和平.高一天津市汇文中学校考阶段练习）若XeA且JeA就称A是伙件关系集合，集合

X

1，2,3,4）的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）

A.15B.16C.64D.128

12.（2022秋•宁夏石嘴山•高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合M={2,3,4,5},对它的非空子集A,

可将A中的每一个元素/都乘以（-1）“再求和（如A={2,3,5},可求得和为：2∙（-l）2+3∙（-l）3+5-（-1）5=-6）,

则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（）

A.18B.16C.-18D.-16

13.(2023•全国•高三专题练习)含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺

序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4,6,9)的交替和是9-6+4=7；而⑸的交替和是5,

则集合M={1,2,3,4,5,6}的所有非空子集的交替和的总和为()

A.32B.64C.80D.192

14.(2022秋.北京海淀.高一人大附中校考期中)若集合4的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，

称A为互斥集.若A={α,0,c}α{l,2,3,4,5},且4为互斥集，则4+，+1的最大值为()

abc

11°13〃7c47

A.-B.—C.-D.—

612460

15.(2022•上海•高一专题练习)设X是一个集合，T是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属

于T,。属于T；②t中任意多个元素的并集属于t；③工中有限个元素的交集属于t.则称工是集合X上的一

个拓扑.已知集合X={α,b,c},对于下面给出的四个集合τ:

Q)τ={0,{α},{a,b},{a,c}}；

②t={0,{h},{c},{h,c},{a,h,c}}；

③τ={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}；

④τ={0,{a},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的拓扑的集合T的序号是()

A.②B.①③C.②④D.②③

16.(2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试)定义集合运算A-B={x∣xdA且xwB}称为

集合A与集合B的差集；定义集合运算AS=(A-B)U(B-A)称为集合4与集合B的对称差，有以下4个

命题：

①AΔB=8ΔA(2)(AΔδ)∆C=Λ∆(βΔC)

③41(BAC)=(AlB)∆(AIC)④AU(BAC)=(AUB)A(AUC)

则4个命题中是真命题的是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二、多选题

17.(2022秋•江苏苏州•高一星海实验中学校考期中)整数集Z中，被4除所得余数为Z的所有整数组成一

个“类”，其中Ze{0,l,2,3},记为因，即冈={x∣x=4"+Z,"eZ},以下判断正确的是（）

A.2022∈[1]B.-3∈[3]

C.Z=[0][1][2][3]D.若a—be[0],则整数。，b属于同一个类

18.（2022秋•山西运城•高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有

理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无

理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集”与N,

且满足MUN=Q,MCN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M,N）为戴德金分割.

试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M={xeQ∣x<√5},N={xeQ∣x≥√^满足戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M没有最大元素，N没有最小元素

D.M有一^最大元素，N有一个最小元素

19.（2022秋•四川眉山•高一校考阶段练习）给定集合A,若对于任意α,b≡A,有α+6eA,S,a-beA,

则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（）

A.集合A={0}为闭集合；

B.集合A={Y,-2,024}为闭集合；

C.集合A={"∣"=3Z,壮Z}为闭集合；

D.若集合4、A为闭集合，则4=4为闭集合.

三、填空题

20.（2022秋•江苏常州•高一常州高级中学校考期中）设集合∕={1,2,3},A=/,若把集合MUA=/的集合M

叫做集合A的配集，贝∣JA={1,2}的配集有个.

21.（2023∙全国•高三专题练习）对于非空集合H={q,%,如q}（4,∙≥0,i=l,2,3,〃），其所有元素的几何

平均数记为E（A）,即E（A）=W,「七.七”•若非空数集8满足下列两个条件：①8A；②E（B）=E（A）,

则称8为A的一个“保均值真子集”，据此，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有一个.

22.（2020秋.上海闵行.高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合S,,={1,2,3,,〃},若XU5“，把X的

所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为

0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为S“的奇（偶）子集，则Ss的所有奇子集的容量之和为.

23.（2022秋.河北沧州.高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于Z∈4,若

k-∖iA,且4+leA,则称R是A的一个“孤立元”，集合T={1,2,3,5}中的“孤立元”是；对

给定的集合S={1,2,3,4,5.6）,由S中的4个元素构成的所有集合中，不含"孤立元''的集合有

个.

24.（2021秋•上海徐汇•高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集尸满足：对任意“∕eF,有a+b,a—b,

ObGF,且当方HO时，有feF,则称尸为一个数域，以下命题中：

b

（1）0是任何数域的元素；（2）若数域尸有非零元素，则2021eF;

（3）集合P={x∣x=3A,AwZ}为数域；（4）有理数集为数域；

真命题的个数为

25.（2022秋.北京.高一校考阶段练习）已知集合A,B满足：（I）AB=Q,ACB=0；（2）Vx1∈A,若

x?eQ且与<%，则x?eA；（3）Vyl∈B,若且%>%，则％eB.给出以下命题：

①若集合A中没有最大数，则集合B中有最小数；

②若集合A中没有最大数，则集合8中可能没有最小数；

③若集合A中有最大数，则集合B中没有最小数；

④若集合A中有最大数，则集合8中可能有最小数.

其中，所有正确结论的序号是.

26.（2022秋.江苏淮安•高三校联考期中）用CWd（A）表示非空集合A中的元素个数，定义

)

Card(A)-Card(B,Card(A)≥Card(B)若A={2,3},β={x∣(x2+"7x)(f+WU+1)=0

jCard(B)-Card(A),Card(A)<Card(B)且

A8=1,若B中元素取最少个数时机=.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合

B=.

27.（2022秋•上海浦东新∙高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合{x∣n≤x≤b},我们把6一。称为该集

合的长度，设集合A={x∣α≤x≤α+1927},B={x∣f-（26-1094）x+bS-1094）≤0},且AB都是集合

U={x∣0≤x≤2022}的子集，则集合ACB的长度的最小值是.

28∙(2023∙全国•高一专题练习)设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=∕(x)满足:

(i)7={"x)∣x∈S};(ii)对任意Λ1,weS,当为时，恒有Fa)</(受).那么称这两个集合“保

序同构现给出以下3对集合：

①A=N,B为正整数集；

②A={x∣-l≤x≤3},β=∣x∣-8≤x≤1()}；

③A={x∣O<x<l},B=R.

其中，“保序同构”的集合对的序号.(写出所有“保序同构'’的集合对的序号)

四、解答题

29.(2022秋•河北沧州•高一任丘市第一中学校考阶段练习)已知M是满足下列条件的集合:①OwΛ∕,IeM;

②若x,y∈M,贝IJX-yeΛ∕;③若χwΛ∕且XH0,则LeM.

X

(1)判断τ∈"是否正确，说明理由；

(2)证明：∣∈M;

(3)证明：若x,yeM,则x+yeΛ∕且AyeM.

30.(2022秋・北京•高一北京市第十三中学校考期中)设A是实数集的非空子集，称集合

B={w+v∣u,v∈Afiw≠v)为集合A的生成集.

(1)当A={2,3,5}时，写出集合A的生成集B；

(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值.

专题15集合专题（新定义）

一、单选题

1.（2023•全国•模拟预测）已知集合A,8满足AB={1,2,3},若A≠3,且恒&句，［B&A］表示两个不

同的“AB互衬对“，则满足题意的互衬对"个数为（）

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【分析】直接列举可得.

【详解】当A=0时，集合5可以为{123}；

当A={l}时，集合B可以为{Z3},{1,2,3};

当A={2}时，集合8可以为{1,3},{1,2,3}；

当A={3}时，集合=可以为{1,2},{1,2,3};

当A={1,2}时，集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；

当A={l,3}时，集合B可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3};

当A={2,3}时，集合B可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3};

当A={l,2,3}时，集合3可以为0,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故满足题意的“A8互衬对”个数为27.

故选：C

2.（2023•全国•高三专题练习）定义集合AoB={dx∈A且X任B},已知集合A={-3,-2,2,3},B={-3,-l,l,2},

贝|JA®8=（）

A.{-3,2}B.{-l,l}C.{-2,3}D.{0}

【答案】C

【分析】根据集合新定义即可求解.

【详解】因为集合A8B={x∣x∈4且x∕B},A={-3,-2,2,3},8={-3,-1,1,2},

所以4（8）3={-2,3}

故选：C

3.（2023•全国•高三专题练习）定义集合A*B={z∣Z=职x∈A,ywb},设集合A={T,O,1},B={T,1,3},

则A*B中元素的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】根据集合的新定义求得A*B,从而确定正确答案.

【详解】因为A={—l,O,l},β={-l,l,3},

所以A*B={-3,T,0,l,3},

故A*8中元素的个数为5.

故选：B.

4.(2021秋・陕西安康•高一校考阶段练习)设P,。是两个非空集合，定义PXQ={(α∕)∣”wP,6∈Q},若

P={3,4,5},Q={4,5,6,7},则PXQ中元素的个数是()

A.3B.4C.12D.16

【答案】C

【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.

【详解】因为定义尸义。={(凡。)|。€尸,丑。},且尸={3,4,5},Q={4,5,6,7},

所以PXQ={(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(5,4),(5,5),(5,61(5,7)},

PXQ中元素的个数是12,

故选：C.

5.(2020秋•黑龙江哈尔滨・高一哈尔滨三中校考阶段练习)设集合的全集为U,定义一种运算，

M∕V={ψeMn(⅛,N)},若全集U=R,M=HW≤2},N={x∣-3<x<l},则MN=()

A.{x∣-2≤x<l}B.{x∣l<x≤2}

C.{x∣l≤x≤2}D.{x∣-2≤x≤l}

【答案】C

【分析】解不等式求得集合M,求得根据集合运算新定义，即可求得答案.

【详解】由题意得M={M*2}={X∣-24X≤2},q,N={x∣x≤-3或X≥1},

则MN={x∣l≤x≤2},

故选：C

6.（2022秋•上海浦东新•高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果“、beG,则a+。、a-b.abeG,

且bwθ时，feG”时，我们称G是一个数域.以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（）

b

①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则2022∈G;

③集合P={x∣x=2Z,keZ}是一个数域；④有理数集Q是一个数域.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据数域定义逐一验证即可.

【详解】由定义可知，a-a≡G,即0是任何数域中的元素，①正确；

若域G中有非零元素小则q=leG,所以l+l=2eG,1+2=3∈G,l+2021=2022∈G.②正确；

a

记a=2,Z>=4,则a,beP,但f=（eP,故③错误；

b2

易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确.

故选：C

7.（2022秋・北京房山•高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A,B满足以下三个条件，则称（AI）

为集合。的一种真分拆，并规定（AB）与（B,A）为集合U的同一种真分拆.

φAnB=0;

②AuB=U;

③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素.

则集合U={1,2,3,4,5}的真分拆的种数是（）

A.4B.8C.10D.15

【答案】A

【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.

【详解】根据真分拆定义，当集合A只有一个元素时，B有四个元素，此时只能是A={4},B∣={123,5};当

集合A有两个元素时，8有三个元素，此时包括4={3,1},层={2,4,5}、A,={3,4},员={2,1,5}、

A={3,5},Z={2,1,4},因为（AB）与（8,A）为集合U的同一种真分拆，故只有四种真分拆.

故选：A

8.（2023春•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个〃位正整数的所有数位上数字的“次方和等

于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合A,集合B={xeZ卜3<x<4},

则ACB真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】C

【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.

【详解】由题中定义可知4={1,2,3,4,5,6,7,8,9},而5={xeZ∣-3<x<4},

所以A3={1,2,3},因此ACB真子集个数为237=7,

故选：C

9.（2023秋,上海徐汇•高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（I）Oe4,IeA;（2）若x,yeA,

则x-），eA；（3）若XeA且XW0,则ge4.则称A为“好集”.已知命题：①集合{1,0,—1}是好集；②对

任意一个“好集”A,若x,ye4,则x+yeA.以下判断正确的是（）

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【答案】D

【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.

【详解】对于①，因为l∈{l,0,T},Tw{L0,T},而-17=—2e{1,0,—1},

所以集合{1,0,-1}不是好集，故①错误；

对于②，因为集合A为“好集”，

所以OeA,O-y=-y∈A,

所以x-（-y）=x+yeA,故②正确，

所以①为假命题，②为真命题.

故选：D.

10.（2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M,定义函数EW（X）=IA,，对

[l,x∈Λ∕

于两个集合M、N,定义集合，MZW={x∣"（x）∙∕v（x）=T},已知A={2,4,6,8,10},B={l,2,4,8,16},用IMl

表示有限集合M中的元素个数，则对于任意集合M,∣MΔA∣+∣MΔB∣的最小值为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】先根据定义化简MΔ4,M∆fi,再根据文恩图确定∣MΔA∣+∣MΔB∣最小值取法，即得结果.

[-1,XiM

【详解】解：因为九3=「山

"，xeM

所以MV/=k"“(%)£(μ=一1}=3几(%)=1,八%)=一1}3为1小(冷=-1，加力=1}，

={无Ix∈Λ∕,XegN}<J{x∣xe瘠M,xeN}=(M「)ON)(N7”)，

所以，MΔ4=(M唠4)(AUM).MΔB=(M(β'vM),

所以，当〃C(ACB)元素个数最多且M中不含有A,8的元素之外的元素时，∣MΔA∣+∣MΔβ∣最小，

因为AB={2,4,81,

所以当M=ACB={2,4,8}时，∣Λ∕ΔA∣+∣MΔB∣最小，为|{6,10}|+|{1,16}|=2+2=4,

故选：B

11.(2022秋•天津和平・高一天津市汇文中学校考阶段练习)若XeA且LeA就称A是伙件关系集合，集合

X

μ={-1，0，；，，1，2,3,41的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为()

A.15B.16C.64D.128

【答案】A

【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1,-1,“3和1”，“2和9'四种可能，它们组成的非空子集的个

数为即为所求.

【详解】因为IwA,∣=1∈A;—1∈A,L=TeA；

1-I

2∈√4,—∈A;3∈A,—GA；

23

这样所求集合即由1,-1,“3和g”，“2和F’这“四大”元素所组成的集合的非空子集.

所以满足条件的集合的个数为24-1=15，

故选:A.

12.(2022秋•宁夏石嘴山•高一石嘴山市第一中学校考阶段练习)已知集合M={2,3,4,5},对它的非空子集A,

可将A中的每一个元素%都乘以(-1)*再求和(如A={2,3,5},可求得和为：2∙(T)2+3∙(-lY+5∙(-17=4),

则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是()

A.18B.16C.-18D.-16

【答案】D

【分析】由己知，先求解出集合”的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即叽

【详解】由已知，因为M=｛2,3,4,5｝,那么每个元素在集合M的所有非空子集分别出现23个，

则对于M的所有非空子集执行乘以(-琰再求和的操作，则这些数的总和为：

2,[2∙(-l)2+3∙(-l)3+4∙(-l)4+5∙(-l)5]=-16.

故选：D.

13.(2023・全国•高三专题练习)含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺

序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如｛4,6,9｝的交替和是9-6+4=7；而⑸的交替和是5,

则集合M=｛1,2,3,4,5,6｝的所有非空子集的交替和的总和为()

A.32B.64C.80D.192

【答案】D

【分析】依次计算集合｛1｝,｛1,2｝,｛1,2,3｝,｛1,2,3,4)的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可

得.

【详解】集合⑴的所有非空子集的交替和的总和为H=I,

集合｛1,2｝的所有非空子集的交替和的总和为52=1+2+(2-1)=4,

集合｛1,2,3｝的所有非空子集的交替和的总和为5,=1+2+3+(2-1)+(3-2)+(3-1)+(3-2+1)=12,

集合｛1,2,3,4｝的所有非空子集的交替和的总和为S4=1+2+3+4+(2-1)+(3-2)+(4-3)+(3-1)

+(4-2)+(4-1)+(3-2+1)+(4-3+2)+(4-2+1)+(4-3+1)+(4-3+2-1)=32,

由此猜测集合｛1,2,3,,〃｝的所有非空子集的交替和的总和为S"="∙2"τ,

证明如下：将集合｛1,2,3,,〃｝中所有的子集分为两类：第一类，集合中无〃，第二类，集合中有"这个元素，

每类中集合的个数为2"τ

我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：

第一类中集合A对应着第二类中集合A;｛〃｝,

此时这两个集合的交替和为〃，

故集合｛1,2,3,,〃｝的所有非空子集的交替和的总和为S"="∙2"-’,

所以4=6x25=192.

故选：D.

14.(2022秋・北京海淀•高一人大附中校考期中)若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同,

称A为互斥集.若A={α,A,c}u{l,2,3,4,5},且4为互斥集，则的最大值为（）

abc

11c13-7-47

A.—B.—C.-D.—

612460

【答案】C

【分析】由集合的新定义先确定集合A,而要想L+?+1取得最大值，则α,b,c要最小，从而确定”,"c,

abc

即可求解

【详解】因为A={α,A,c}α{l,2,3,4,5},

所以A为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}

又且A为互斥集，

所以A为{LZ4},{1,2,5},{1,3,5},{2,3,4},{2,4,5},{3,4,5},

要想!+!+!取得最大值，

abc

则α,6,c要最小，此时α,⅛,c∈{l,2,4}.

Fgʌ…C,1111117

不妨令。=1/=2,c=4,则π—I--F-=-H--F—=—,

π⅛c1244

故选：C

15.（2022∙上海•高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属

于T,。属于T；②t中任意多个元素的并集属于T；③T中有限个元素的交集属于t.则称工是集合X上的一

个拓扑.己知集合X={α,b,c},对于下面给出的四个集合t：

①τ={0,{a},{a,b},{a,c}};

②τ={0,{h},{c},{b,c},{a,b,c}}；

③τ={0,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}；

④τ={0,{a},{c},{a,b,c}}.

其中是集合X上的拓扑的集合T的序号是（）

A.②B.①③C.②④D.②③

【答案】D

【分析】利用集合X上的拓扑的3个要求，依次判断即可.

【详解】解：①中由于{α,b}U[a,c}={a,b,c}缸，故①不是集合X上的一个拓扑；

②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X上的一个拓扑；

③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X上的一个拓扑：

④中{α}U{c}={α,c}缸，故④不是集合X上的一个拓扑;

因此集合X上的拓扑的集合T的序号是②③，

故选：D.

16.(2022秋•上海浦东新•高一上海市建平中学校考开学考试)定义集合运算A-8={x∣xeA且X0B}称为

集合A与集合8的差集；定义集合运算W=(A-B)U(B-A)称为集合A与集合B的对称差，有以下4个

命题：

ΦΛΔB=BΔA(2)(ΛΔB)∆C=A∆(BΔC)

③AI(3AC)=(AIB)∆(AIC)④AU(BZC)=(AUB)A(AUC)

则4个命题中是真命题的是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的

正误.

［详解】对于①，BΔA=(B-A)(Λ-B)=(A-β),∣(β-A)=ΛΔB,①对；

对于②，4-8={x∣xwA且xe8}={x∣xeA且X拓(AC8)}=4-(4CB),

同理B-A=B-(AB),

则AAB=(A-B)(B-Λ)=(Λβ)-(Λ∣B),

所以，(AΔB)AC=(AΔB)C-(AAB)IC表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：

同理AA(BAC)=A(BAC)-A(3Ae)也表示如上图阴影部分区域所示,

故(AAB)AC=AA(BZkC),②对;

对于③，A(BΔC)=A(BC-BC)=A(BC)-A(BC)

=(AB)(AC)-(AB)(AC)=(Aβ)∆(AC),③对;

对于④，如下图所示：

4u(β∆O(XVJBMMUO

所以，AU(BΔC)≠(AUβ)∆(AUC),④错.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数

形结合思想来进行判断.

二、多选题

17.(2022秋•江苏苏州•高一星海实验中学校考期中)整数集Z中，被4除所得余数为Z的所有整数组成一

个“类”，其中壮{0,1,2,3},记为因，即因={小=4〃+匕”eZ},以下判断正确的是()

A.2022∈[1]B.-3∈[3]

C.Z=[0][1][2][3]D.若α-be[0],则整数α,b属于同一个类

【答案】CD

【分析】根据给定的定义，计算判断A,B；推理判断C,D作答.

【详解】kw{0,l,2,3},伙]={x∣x=4"+Z,"∈Z},

2022=4×505+2,即2022w⑵,而0][2]=0,因此2022e[1],A不正确;

-3=4×(-l)+l,即-3∈[1],而[1][3]=0,因此-3任[3],B不正确；

因任意一整数除以4,所得余数只能为0或1或2或3,即Zq([0]31]32]33]),

反之，集合[0]u[l]u[2]u同中任一数都是整数，即(网31]32]33])=Z,所以Z=[0][1][2][3],

C正确;

α,⅛∈Z,不妨令α=4〃[+仁,/?=4〃2+A2,“∣,n2eZ,kυk2∈{0,l,2,3),

则α-b=4("∣-%)+(K-&),因α-bw[0],于是得占-他=°，即仁=&，因此整数。，b属于同一个类，

D正确.

故选：CD

18.(2022秋.山西运城.高一山西省运城中学校期中)1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有

理数的“分割”来定义无理数(史称“戴德金分割”)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无

理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集”与N,

且满足MUN=Q,MCN=0,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为戴德金分割.

试判断下列选项中，可能成立的是()

A.知={*€(2«<垃},%=卜€(3|.X^血}满足戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M没有最大元素，N没有最小元素

D.M有一个最大元素，N有一个最小元素

【答案】ABC

【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例知=口€(2«<0},汽=卜6(2卜&0}判断8;结合人中例子可

判断C;假设M有一个最大元素N有一个最小元素〃,根据戴德金分割定义判断D.

【详解】对于A,M={xeQ∣x<血},N={xeQ∣x≥√^满足戴德金分割的定义，A正确；

对于B,取M={xeQ∣X<0},N={x∈Q∣X≥0},符合戴德金分割，

何没有最大元素，、有一个最小元素，B正确；

对于C,取M={xeQ∣x<√^},N={xeQ∣xN√^满足戴德金分割的定义，

M没有最大元素，N没有最小元素，C正确；

对于D,假设M有一个最大元素，"，N有一个最小元素”,根据戴德金分割定义，

必有则无法满足MUN=Q.D错误，

故选：ABC.

19.(2022秋•四川眉山•高一校考阶段练习)给定集合A,若对于任意。，b≡A,^a+b≡A,S.a-beA,

则称集合A为闭集合，以下结论正确的是()

A.集合A={0}为闭集合；

B.集合A={T,-2,0,2,4}为闭集合：

C.集合A={"∣"=3A,及eZ}为闭集合；

D.若集合4、4为闭集合，则Au4为闭集合.

【答案】AC

【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断α+6eA,且α-beA是否满足即可得到结论.

【详解】对于A：按照闭集合的定义，0+0=0,0-O=O,OeA故A正确；

对于B：当。=工6=-2时,4+6=(=1)+(—2)=-6任人故4={<—2,0,2,4}不是闭集合.故8错误；

对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故A={〃∣w=3Z,%eZ}是闭集合.故C正确；

对于D：假设A=HI"=3Z,%eZ},A2={川"=5Z,AeZ}.不妨取3eA，5w4,但是,3+5=8eA=A,则

A。4不是闭集合.故D错误.

故选：AC

三、填空题

20.(2022秋•江苏常州•高一常州高级中学校考期中)设集合/={123},Aq/,若把集合MUA=/的集合M

叫做集合A的配集，则A={1,2}的配集有个.

【答案】4

【分析】直接按定义求出符合条件的集合M，计算个数，得到答案.

【详解】解：由题意，M可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},共4个.

故答案为：4.

21.(2023•全国•高三专题练习)对于非空集合A={qg,%,M,,}(a,∙≥Qi=l,2,3,〃)，其所有元素的几何

平均数记为E(A),即E(A)=Vq.%.•%.若非空数集8满足下列两个条件：①B4②E(B)=E(A),

则称8为A的一个“保均值真子集”，据此，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有_个.

【答案】6

【分析】求出E(A)=4,由此利用列举法能求出集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”的个数.

【详解】因为集合A={l,2,4,8,16},则E（A）=MX2x4x8x16=4,

所以，集合{1,2,4,8,16}的“保均值真子集”有:{4}、{1,16}、{2,8}、{1,4,16}、

{2,4,8},{1,2,8,16},共6个.

故答案为：6.

22.（2020秋•上海闵行•高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合S,,={1,2,3,,〃},若Xa5“，把X的

所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为

0）.若X的容量为奇（偶）数，则称X为S”的奇（偶）子集，则臬的所有奇子集的容量之和为.

【答案】47

【分析】写出所有的奇子集，从而求出所有奇子集的容量之和.

【详解】当〃=5时，S5={1,2,3,4,5）,

含有一个元素的奇子集为{1},{3},{5},

含有两个元素的奇子集为{1,3},{1,5},{3,5},

含有三个元素的奇子集为{1,3,5},

故所有奇子集的容量之和为1+3+5+1x3+1x5+3x5+1x3x5=47.

故答案为：47.

23.（2022秋・河北沧州•高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于keA,若

k-∖^A,且上+1任A,则称％是A的一个“孤立元”，集合T={1,2,3,5}中的“孤立元”是；对

给定的集合S={1,2,3,4,5.6},由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有

个.

【答案】56

【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可：

②根据①中分析可知，不含"孤立元''是指在集合中有与A相邻的元素，依次写出满足不含"孤立元''的集合即

可.

【详解】解：①对于1,1+1=2∈T,则1不是“孤立元”；

对于2,2-∖=∖GT,且2+l=3∈T,则2不是“孤立元”；

对于3,3—1=2∈T,则3不是“孤立元”；

对于5,5-l=4gT,且5+1=6（27,则5是“孤立元”：

②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，

所以由S中的4个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合有{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2J3,4,5},

{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个,

故答案为：5；6.

24.（2021秋•上海徐汇∙∣⅛一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集尸满足:对任意4"∈F,有

abeF,且当6工0时，有1eF,则称尸为一个数域，以下命题中：

（1）0是任何数域的元素；（2）若数域尸有非零元素，贝∣]2021eF;

（3）集合P={x∣x=3A,keZ}为数域；（4）有理数集为数域；

真命题的个数为

【答案】3

【分析】根据新定义逐一判断即可求解

【详解】（1）当α=6时，α-b=O属于数域，故（1）正确，

（2）若数域F有非零元素，则I=Ie尸，

b

从而l+l=2eR2+leF,,2020+1=2021∈F,故（2）正确；

（3）由集合户的表示可知得X是3的倍数，当ɑ=6,b=3时，：=《=2史P,故（3）错误，

b3

（4）若尸是有理数集，则当。，b&F,则α+8,a-b,abwF,且当bwθ时，feF”都成立，故（4）

b

正确，

故真命题的个数是3.

故答案为：3

25.（2022秋•北京•高一校考阶段练习）已知集合A,B满足：（1）AB=Q,AcB=0;（2）‰l∈Λ,若

J⅞eQ且∙x