2023届高考数学二轮复习 3 不等式 二级结论讲练 学案

专题3不等式

二级结论1：均值不等式链

2//T-a+b/∖a1^b1

【结论阐述】『VYabV丁≤H~（a>O,b>O,当且仅当折〃时取等号）

ah

【应用场景】以“和”（平方和、调和）为本质特征的“平均数”与以“积”为本质特征的“平

均数”相互转化.主要用于求函数最值、证明不等式，但要注意三个条件：①“一正”，即

项项为正；②“二定”，即两项之积“或和为定值”；③“三相等”，即项项相等时才能使“=”

号成立.

【典例指引1】

1.若x，y为正数，贝+（2y+£|一的最小值是（）

A.B.7C.16D.

【答案】C

【分析】将完全平方式展开，重组，利用基本不等式即可得出结论.

【详解】∙.20,y>0,

=4+4+8=16,

当且仅当4/=1，4）2=1，把=匕，即χ=y=立时，取等号，

XyyX2

此时+（2y+，）取最小值，最小值为16.

故选：C.

【典例指引21

2.设4>0,b>O,o2+y=1,则4ji+）的最大值是.

【答案】迷

4

【分析】已知〃2+4=1,故应用基本不等式变.√Γ不为可以用/+£•表示的形式，观察知除个正

就可以了

【详解】解：/+。=1=/+

222

____2b2+l

Λ^√I+⅛2=√2∙a∙J^^-≤√2---------2_=亚W=迈，

V2244

当且仅当a=、忙/,即α=立力=立时等号成立.

V222

故答案为：—.

4

【针对训练】

一、单选题

（2023・天津.南开中学模拟预测）

41

3.已知正实数满足--+—=1,则。+处的最小值为（）

a+h⅛+l

A.6B.8C.10D.12

【答案】B

41

【分析】令α+"α+f+一，用α+f+l分别乘小+异τ=l两边再用均值不等式求解即可.

41

【详解】因为力+时=1，且助为正实数

771/77八/4lCI+h4(/?+1)

所rr以κla+〃+〃+l=(a+b+〃+l)(------+-------)λ=4λ+-------÷-------+1

a+bZ?+lb+∖a+b

a+b4(⅛+l)=9'当且仅当需=鬻即α="2时等号成立.

≥5+2,

h+∖a+b

所以4+2b+l≥9,a+2b≥8.

故选：B.

（2023•辽宁鞍山•一模）

4.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下:

当且仅当台5时等号成立.根据权方和不等式，函数

设。，b,χfy>0,则幺+(〃+「)

Xyx+y

291

/⑴=LK（℃<5）的最小值为（)

A.16B.25C.36D.49

【答案】B

【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.

【详解】因α,b,X,y>0,则L幺，当且仅当@=2时等号成立,

Xyx+yxy

又O<x<LEP1—2x>O,

2

2232(2+3)223即X=I时取“=”,

于是得/(无)=丁+~k≥,I=25,当且仅当S=

2xlr-2x2x÷c(l-2;x)、2x1-2X

291

所以函数/&)=一+「「(°<工<7)的最小值为25•

XI-ZX2

故选：B

（2023•上海市嘉定区第二中学模拟预测）

41

5.⅛a>0,b>O,且一+丁=1,则“6的最小值为（）.

ab

A.16B.4C.—D.一

164

【答案】A

【分析】根据基本不等式计算求解.

【详解】因为。>0、⅛>O,所以t+L≥2∖l±χL=4/上,βpi≥4—,所以≥4,即αb≥16,

ab∖abVabVab

4I

当仅当二=；,即α=8,万=2时，等号成立.

故选：A.

（2023・广东茂名•二模）

6.己知/=3/-23，⅛∈R）,贝∣J∣3”一切的最小值为（）

A.0B.1C.2D.√2

【答案】C

r.r.μ=∖∣3a+b

【分析】由/>2=3/-2可得(6"+6)(6。-与=2,令〈r,表示出“力,再由

V=y∣3a-b

(3a-b)2=9α2-6<zfe+⅛2=(l-ɪ-)√+(l+ɪ-)v2+χ∕v,结合不等式知识，即可求得答案.

【详解】由^=3/-2可得：3/一^=2,故（α+与（石。一切=2

6

μ=∖∕3a+ba=-(μ+v)

令,则

V=>∕3a-b⅛=∣(A^V)

因为(3α-b)2=9a2-6ab+b2=(I一+(1++μv

≥2J(l一等)(1÷ɪ)//v+μv=2μv=4，

所以∣3T∣≥2,即∣3a-b∣的最小值为2,

故选：C.

(2023•浙江湖州•模拟预测)

7.已知。>0力>0,定义”(α,b)=max[n+22R,,+2"},则”(。向的最小值是()

A.5B.6C.8D.1

【答案】A

H(a,b)≥a+2i-b

【分析】利用定义得到,9,,两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果.

H(a,b)≥-+2fb

a

2b

f91[H(a,b)≥a+2-

【详解】由定义，(9)=max"22，,一+2〃，得，97，，

IaJH(a,b)≥-+2h

、a

所以2H(a,6)24+22f+?+2"=α+2+22"+2"22j"∙2+2√Ξr7^=6+4=10,

aaVa

a=—[a=2>

当且仅当a,即时，取等号.

Q2-b_2*[0=1

所以H(a,A)≥5,即H(α,%)的最小值为.

故选：A

二、多选题

(2023•河北保定•一模)

8.下面描述正确的是()

A.己知α>0,⅛>0,且α+b=l,则log?α+1%：≤-2

B.函数/(x)=∣lgΛ∣,若0<α<6,且/(α)=∕(b),则α+2Z>的最小值是2&

I2

C.C知一~j~+°-，=l(x>O,y>0),贝∣J3x+y的最小值为2+2√i

人I1Nr人I-V

7

D.已知f+9一工一丁一孙+2=()(χ>0,y>0),则孙的最小值为W

【答案】AC

【分析】对于选项A,利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用

对勾函数的单调性求解判断；C,用“1”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D,将

χ2÷∕-χ-γ-^÷2=0,转化为(工+»_(1+#=3切-2,利用二次函数的性质求解判断.

【详解】对于选项A,丁。>0,b>O1a+b=l,*∙∖=a+b≥2y[abJ.ab<∖,当且仅当α=b=:

42

时取等号，Iog2a+Iog2b=Iog2cιb<Iog2i=-2,ΛA正确；

2

对于选项B：因为必=1,所以。+2匕=。+—,又OVaV1,所以由对勾函数的单调性可知函数

a

9

Ma)=〃+,在(0,1)上单调递减，所以∕z(α)∈(3,+∞),即。+»>3,故B不正确；

对于选项C,根据题意,已知3x+y=(x+l)+(2x+y)T,则

[(x+l)+(2x+y)]岛+募I=3+智+半W≥3+2√5,当且仅当2±4芈⑴，即

x÷l2x+yx+12x+y

x=*,y=l时，等号成立，所以3x+y≥2+20,故C正确；

对于选项D,f+y2-χ-y一孙+2=0=(χ+y)2-(X+y)=3肛一2,⅛X+j=Z>0,所以产一^之一^,

1

χ+y=—,

2

所以3孙一2≥-*≥1此时.γ无解，所以选项D不正确,

xy=­

12

故选：AC.

(2023•广东肇庆•二模)

9.已知χ2+y2=ι,χ∈R,y∈R,且Λy≠O,则()

A.∖x+y∖≤y∕2

b∙∖χy∖>^

C.Iog2∣x∣+Iog2Iyl≤-l

d∙⅛+r2

【答案】AC

【分析】根据基本不等式逐个分析判断

【详解】∙.∙i=x2+y2≥2xy,2≥x2+y2+2xy≥0,

∣x+y∣2=产+y2+2xy∣≤2,

Λμ+y∣≤√2,当且仅当X=y=等或x=y=-*时取等号，故A正确；

222

V1=√+y=∣λ∣+∣y∣≥2∣ΛJ>∣,Λ∣Λ>∙∣<∣,当且仅当X=产也或χ=y=一立时取等号，故B错误;

222

Vlog,∣x]+log,Iʃl=Iog2∣xy∣≤log2^=-l,当且仅当X=y=也或x=y=-立时取等号•，故C正确；

222

由选项B的解析可知®I≤g,所以国≤等，所以卡广忆所以百+#2)斤2应，当且

仅当x=y=e或x=y=-立时取等号，故D错误.

22

故选：AC

（2023・江苏・盐城中学模拟预测）

10.已知”为均为正数且α+6='+g,下列不等式正确的有（）

ab

A.a∖∣a+2by[b≥3B.∖[a+∖∕b≥2C.a+2∖[b≥3D.γ+-≥3

ba

【答案】BCD

【分析】由已知条件可得而=1,然后逐个分析判断即可

【详解】由a+/〉='+。，得a+6=畔，

abab

所以ab（a+匕）一（a+匕）=0,（α+0）（αb-l）=0

因为。力均为正数，所以必=1,

rτ

对于A,β√^+2Z>√⅛=√Σ+√4⅛>2√√^∖^=2≠⅛F=2√2-

当且仅当J/=质，即α=次力=击时取等号，所以A错误，

对于B,6+42属后=2√^=2,当且仅当G=",即α=b=l时取等号，所以B正确,

对于C,因为必=1,所以。=1,所以α+2折J+2妍=淌/+血+√^≥3∖-∙∖fb∙∖[b=3,

当且仅当两τ=∙,即α=b=l时取等号，所以C正确，

对于D,因为而=1,所以3+2=《±吆=/+〃+/>23疗了工=3,当且仅当∕=b,即q=∕,=ι时

baab

取等号，所以D正确，

故选：BCD

（2023•江苏・南京市第一中学模拟预测）

11.已知。，6为正实数，且而=3√^花—4拉，则2a+b的取值可以为（）

A.1B.4C.9D.32

【答案】BD

【分析】根据基本不等式可得3√^Ξ花-4及≤g詈，进而求得2α+8≥32或?<2α+648,再结

合选项判断即可

【详解】因为。，6为正实数，√^=3√2^T⅛-4√2,所以3月法-40=而=

√22√2

当且仅当Za=O时等号成立，即3√^与-4√Σ≤=等，所以(勿+6)-6国勿+6+16≥0,所以

∙a+b≥4插或y∣2a+bK2母,因为〃"为正实数，向=3j2α+b-4√Σ,所以3j2α+b-40>0,

故选：BD.

(2023•江苏・阜宁县东沟中学模拟预测)

12.设0,6为两个正数，定义α,。的算术平均数为A®6)=等，几何平均数为G(a,。)=奴.上

个世纪五十年代，美国数学家DHLehmer提出了“Lehmer均值”，即45,％)=奈葛?，其中P为

有理数.下列结论正确的是()

A.Zυ5(^,⅛)≤∆1(^,⅛)B.Zυ(α,0)<G(α,力)

C.L2(a,b)≤A(a9b)D.Ln+l[a,b)<Ln(a9b)

【答案】AB

【分析】根据基本不等式比较大小可判断四个选项.

,∖∕«+λ∕⅛,

【详解】对于A,、5(。为)=」_+，=友≤k(a,b)=皆,当且仅当α=b时，等号成立，故A

∖[a4b

正确；

.2_2ab2b

对于B,'9')=「I=R4—而=Gab),当且仅当a=b时，等号成立，故B正确;

a2+⅛2a2^b2+a2^-b2^a2+b2+2ab(tz+⅛)2a+b

对于CL(a,b)=---------=--------------------->------------------=-----------=-------=A(a,b),当且仅当。=6

22(a+b)2(〃+。)2(〃+力)2

时，等号成立，故C不正确；

对于D,当〃=1时，由C可知，L2(a,b)≥^-^(a,b),故D不正确.

故选：AB

二级结论2：两个经典超越不等式

【结论阐述】(D对数形式：x>l+lιu(x>O),当且仅当x=l时，等号成立.

(2)指数形式：e∙x+l(XeR),当且仅当X=O时，等号成立.

进一步可得到一组不等式链：ex>x+l>x>[+↑nx(x>0且XWl)

上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：er=l+x+-++—+—^——xn+1,

一_2!

丫23—+I

n+lA

ln(l+Λ>x--+--+(-l)-+θ(x^),截取片段：e>x+l(xeR),ln(l+x)<x(x>-l),当且

23〃+1v7

仅当X=O时，等号成立；进而：InxMx-I(QO),当且仅当户1时，等号成立.

【应用场景】对于这两个不等式的得到都是源于高等数学中的泰勒展开，他们的变形式

还有：ln(-+l]≤-,lnx≥l-■-,ɪnɪ≤ɪ-1,—~!∙≤lnx≤x-l等，这些都高考命题的题点.

∖XJXXXXX

【典例指引1]

(2022•江苏苏州•高三期末)

13.已知α>8+l>l则下列不等式一定成立的是()

A.I力-α∣>bB.α4—>bτ—

11ah

Cb+1e"C1...

C.------<------D.a+∖nb<b+∖na

a-∖Ina

【答案】C

【分析】错误的三个选项ABD可以借助特殊值法进行排除，C可以利用求导得出证明.

【详解】取"=10/=8,则归4<〃，故A选项错误；

取α=3,b=—,aH—=h+-,则B选项错误；

Sab

取α=3,b=∖,则α+lnh=3,⅛+lnα=l+ln3<l+lne∙2=3,BPa+∖nb>b+∖na,

故D选项错误；

关于C选项，先证明一个不等式：e*≥x+l,令y=e'-x-l,y'=e'-1,

于是χ>o时y'>o,y递增；x<o时y'<o,y递减；

所以X=O时，y有极小值，也是最小值e0-0-l=0,

于是y=e'-x-l≥O,当且仅当x=0取得等号，

由e*≥x+l,当x>-l时，同时取对数可得，x≥ln(x+l),

再用XT替换X,得到x-l≥lnx,当且仅当x=l取得等号，

由于α>6+l>l,得到e">b+l,∖na<a-l,\*>1>绊，即2±l<fL,

Inaeβ-lIna

C选项正确.

故选：C.

【典例指引2]

(2022・安徽•高三月考)

14.已知函数/(%)="-αv-l(α∈R).

(1)若对Dx>0,都有/(力>0,求实数4的取值范围；

⑵若“、b>0,5-a+b=∖,求证：对任意XNO,都有：e'≥(l+or)(l+法).

【答案】(l))≤l

(2)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导数,然后根据。的取值分类讨论,结合导数求函数的最小值,即可确定实数4的

取值范围；

⑵利用⑴的结论,构造不等式e"21+αr>0,*≥l+bx>O,两式相乘结合条件即可证明

ex≥(l+0r)(l+⅛x).

(1)

由x>O时：/(x)=eA-l-αr>0

又：f∖x)=ex-a,

①若α≤1时，由X>O,故e*>1,

所以对任意x>O,都有：r(x)=e'-4>O

此时函数g(x)在(0,+向上单调递增，故对任意x>O,都有：〃力=，-1-依>〃0)=0满足条件

②若α>l时，由x>O,故：/'(x)=e*-4=0=x=ln4

故可得：

X(-ŋo,lnɑ)InQ(Inez,-HX))

.f(ɪ)-0+

/(ʌ-)、极小值

故函数/(x)在(O,Ina)上单调递减，在(Ina,物)上单调递增，

故：“1114)<〃0)=0不满足条件以>0,都有/(x)>0,

综上，实数〃的取值范围为α≤l.

(2)

由(1)可知，当α=l时，对任意x≥0,都有：/(x)=e'-l-x>O,

故对任意x≥0,都有：e*≥l+x,

又〃、b>0,故对任意XN0,都有：eav≥l+αr>O,eb'≥l+bx>O

又α+b=l,故：eax∙ehx=eax+hx=^a+b]x=ex≥(∖+ax)(∖+hx)

故对任意x20,都有：ex≥(∣+αr)(l+for).

【点睛】本题考查了根据函数值恒大于零求参数的范围以及用导数证明函数不等式的问题，解答时要

注意分类讨论的思想方法，根据导数的正负确定函数的单调性以及最值，解答的关键是证明函数不等

式时，能灵活地借用第一问的结论.

【针对训练】

(2022•广东韶关•一模)

15.已知"=e""i∕=sinl,C=Cosl,则()

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【分析】构造函数〃x)=e'-X-1,利用导数证明e*-x-l≥O,进而比较“力大小，再根据正余弦函

数性质比较b>c大小即可得答案.

【详解】解：当XJf,孚,siɪu>cosx,又l∈jf,当，所以SinI>cosl,故6>c

144；(44J

记f(x)=e'-x-l,所以尸(X)=e'-l,

令T(x)<O,得x<0,令附x)>0,得x>0,

所以/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+⑹单调递增.

所以/(x)≥"0)=0,即e*-x-l≥O,当X=O时取等号.

所以α=e疝I>(sinl-l)+l=sinl=⅛,

所以c<∕><..

故选：C.

(2022・山西运城联考)

uf

16.已知命题。：3x>0,lnx>x-li命题夕：VxeR,e21则下列命题中为真命题的是()

A.FMB.PAqC.PLqD.TPVq)

【答案】A

【分析】利用导数比较lnx,x-l在(0,+8)上的大小关系，判断命题P真假，由指数函数的性质判断命

题q真假，进而判断各复合命题的真假即可.

【详解】令y=lnx-x+l且定义域为(0,+∞),则y=∙L-i,

X

所以(0,1)上y'>0,y递增；(1,钟)上y'<0,y递减；

所以y≤yl,τ=0,即InX≤x-l,又VXeR,恒成立，

所以命题P为假命题，命题q为真命题，则为真命题，F为假命题，

故一^Aq为真,p^4∖p^F∖-I(PV<7)为假.

故选：A.

(2022•广东肇庆•)

17.下列不等式中，不恒成立的是()

A.ej,+2≥x+3(xe∕?)B.(x+l)2>ln(x+l)(x>-l)

C.In(X+2)≤x+l(x>-2)D.e`≥sinx+，(XeR)

8

【答案】D

【分析】对于A：由于e*..x+l,即可判断A是否正确；对于B：由于f>lnx,即可判断B是否正

确；对于C：由于lnχ,x-l,即可判断C是否正确；对于D：取X=-乃，,τ=—<—=sin(-Λ,)+—,

eπ88

即可判断D是否正确.

【详解】对于A：令，(X)=e"—(x+l),

f'M=ex-∖,

所以当X>O时，T(X)>0,/(x)单调递增，

当x<0时，∕,(x)<0,“X)单调递减，

所以/(x)∙J(0)=0,

所以6、..X+1,

所以/2..X+3,故A正确;

对于B：令/(x)=/-InX,

一1.2√-l

f(ɪ)-2x—，

XX

所以在(o,Y2)上，rax。，/(X)单调递减，

2

在(亚，+8)上，∕V)>0,"X)单调递增，

2

所以/(x)..∕(-^-)=(-^-)2-ln(ɔ^-)=ɪ-ln~=Inʌ/e-In>0,

所以一＞ɪnʃ,

所以(x+l)2>ln(x+l),(x>-l),故B正确;

对于C：令/(x)=InX-(X-1),

当x>ι时，∕,ω<o,/(x)单调递减，

当O<x<l时，∕,(x)>O,/'(X)单调递增，

所以/(X)，，/(1)=0,

所以InX-(X-I)„0,

所以In%,X-I,

所以In(X+2Kx+l,故C正确；

对于D：取X=-I,得Jrcj=Sin(Tr)+：,故D错误，

e,88

故选：D

(2022•安徽•东至县第二中学)

18.下列不等式正确的个数有()个.

①e*2x+l;②X-INlnX；③XX+∣>(x+l)*,(x>e)

A.OB.1C.2D.3

【答案】D

【分析】对于①，构造函数f(x)=e*-x-l,再讨论其最小值即可；对于②，利用①的结论即可判断;

InY

对于③，构造函数〃(x)=-(x>e),讨论其单调性即可.

X

【详解】对于①，令/(x)=e'-x-l,fXx)=ex-↑,则“外在(一*0)上递减,在(0,+∞)上递增,

=F(O)=O,

Vx≡R,ex-X-I≥0,即e*≥x+l,①正确：

由e'≥x+l知，ei≥x(x>O)恒成立,则有IneT≥lnx,即x-l≥lnx成立,②正确；

对于③，令∕7(x)=g(x>e),I(X)=上坐<0,即〃(X)在(e,+∞)上单调递减，

X厂

FIrhJnXln(x+l)..…

Tfijx+l>x><?,则--->-------<≠>(x+l1)l1nx>xln1(zx+l)ιx<=>I1nxx+i>l1nz(x+l),

Xx+1

所以有XAl>Q+l)Fx>e),③正确.

故选：D

19.下列四个命题中的假命题为()

A.Vx∈R,ex≥x+lB.Vx∈R,e~x≥-x+l

1

1-1

C.HXo>0,Inx0>x0-1D.HrO>0,In—>⅞1

⅞

【答案】C

【分析】结合导数判断AB选项的真假性，利用特殊值判断D选项的真假性，利用导数判断C选项

的真假性.

【详解】构造函数F(X)=d—x—1,f(x)=ex-l,所以/(x)在区间(τ,0)上/(x)<0,/(x)递减,

在区间(0,丘)上/(x)>0,/(x)递增，所以/(x)在X=O处取得极小值也即是最小值/⑼=0,所

以/(x)≥0,即/≥χ+l在R上恒成立，将X改为T,则有e-,≥-x+1在R上恒成立.所以AB选项为

真命题.

当A0=L时，ln'=l,X0-KO,此时In'>x0-l,所以D选项为真命题.

exo⅞

11_r

构造函数g(x)=lnx-x+l(x>0),g'(x)=--l=^^,所以/(x)在区间(0,1)上/(x)>0,g(x)

递增，在区间在a)上/(x)<0,/(x)递减,所以g(x)在X=I处取得极大值也即是最大值g(l)=O,

所以g(x)≤O,即InX≤x-1在(O,+向上恒成立.所以C选项为假命题.

故选：C

【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查全称量词命题和存在量词命题真假性的判断，属

于中档题.

20.下列不等式中正确的是

①SinX<x,x∈(0,+∞);②e*≥x+l,x∈R;(3)lnx<x,x∈(0,+∞).

A.①③B.①②③C.②D.①②

【答案】B

【分析】利用导数研究函数的单调性，求得函数的最值，依次对各个命题进行判断即可.

【详解】对于①：令y=sinx-x,x∈(0,+8),则y=cosx-l≤。恒成立，

则y=sinx-x,xe(O,+8)是减函数，所以有y<0恒成立，

所以SinXCX,x∈(0,+∞)成立，所以①正确；

对于②：ex≥x+l,xeR,令y=e*-x-l,y'=e"-l,

当x<0时，>'<0,当x>0时，y'>0,

所以函数y=∕-χ-l在(-8,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数,

所以在X=O处取得最小值，所以y≥e°-0-l=0,

所以e'≥x+l,xeR成立，所以②正确；

I1-X

对于③，InXCX,Xe(O,+∞),令y=lnx-x,有>'=一一1=------,

XX

所以有当o<χ<ι时，y'>0,当X>1时，y'<o,

所以函数y=Inx-X在X=I时取得最大值，即y=lnx-x≤0-l<0,

所以InX<x,Xe(O,+∞)恒成立，所以③正确；

所以正确命题的序号是①②③，

故选B.

【点睛】该题考查的是有关判断不等式能否恒成立的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单

调性，确定函数的最值，属于简单题目.

(2022•浙江•高三月考)

21.证明以下不等式：

(l)e*≥x+l；

(2)In%≤x-1；

(3)e*τ>ln(x+l).

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析.

【分析】(1)令/(x)=e'-(x+l),利用导数求得函数/S)的单调性，得到/(x)≥/(0)=0,即可证

得e*≥X+1;

(2)⅛g(x)=∣nx-(x-l),