中考热点新定义问题训练-中考数学复习题练习（教师版）

专题31中考热点新定义问题专项训练（解析版）

专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类

讨论思想，方程思想，函数思想于一体。常以压轴题身份出现。本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载

使用。

一.选择题

1.（2021•河北模拟）对于实数X,y,我们定义符号机0r{x,y}的意义：当x2y时，max{x,y}=x,当XV

l

y时，max{x,y}=y∙¼J⅛max{-1,-2}=-1,max{3fπ}=π,则关于X的函数y=〃?ax{3x,JI+2}的

图象为（）

思路引领:令3x=x+2,解得X=1,画出直线y=3x和直线y=尤+2的图象即可判断.

解：令3x=%+2,解得尤=1,

直线y=3x和直线y=x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1,3）,由图象可知，XVl时，x+2>3x;

当x>l时，3x>x+2,

故关于X的函数y=3u∙{3x,/2}的图象是选项C中的图象.

故选：C.

总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键.

二.填空题

2.(2021•深圳模拟)用“•”“口”定义新运算：对于数4,b,都有“∙6=α和α口6=4例如3∙2=3,

3□2=2,贝IJ(2020□2021)•(2021□2020)=.

思路引领：根据的运算法则进行计算即可得解.

解：'：a∙b=a,a□b=b,

Λ(2020□2021)•(2021□2020)

=2021∙2020

=2021.

故答案为：2021.

总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键.

3.(2021•碑林区校级模拟)(正多边形的每个内角都相等)如图，在正八边形ABCE>EFGH中，对角线8p

的延长线与边OE的延长线交于点则的大小为.

思路引领：根据正求出多边形的内角和公式NOEF,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出N

BFE,计算即可.

解：：八边形A8CDEFGH是正八边形，

"DEF=(8-2)×180o÷8=135°,

ΛZFEM-45°,

.∙.NDEF=NEFG,

「BF平分/EFG,

1

：.NEFB=NBFG=*EPG=67.5°,

,：NBFE=NFEM-M,

：.∕M=∕BFE-NFEM,

ΛZΛ7=22.5o.

故答案为：22.5°.

总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键.

4.(2019•福田区三模)对于m,我们定义运算(n-1)(n-2)(M-3)•••(«-Cm-1)),

A73=7X6X5=2iO,请你计算A42=.

思路引领：将"=4,巾=2代入公式求解可得.

解：A42=4×(4-1)=12,

故答案为：12.

总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则.

5.(2022春•塔城地区期末)在实数范围内定义一种新运算“㊉”，其运算规则为：a®b=2a+3b.如：1㊉5

=2×1+3×5=I7.则不等式X㊉4>0的解集为.

思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得.

解：不等式X㊉4>0化为：

2x+12>0,

2x>-12,

x>-6,

故答案为：x>-6.

总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于X的不等式及解不等式

的步骤.

11

6.(2022秋•魏县期中)若X是不等于1的实数，我们把L称为X的差倒数，如2的差倒数是一；=-1,

I-X1-2

-1的差倒数为3现已知Xi=黑Λ2是Xl的差倒数，X3是X2的差倒数，X4是X3的差倒数，…，

1-(-1)23

依此类推，则X2022的值为—.

思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得X2022=X3=-2.

解：Vx1=ɪ,

x3,

∙.x2=玲=矛=γq=-2,Λ4=τz^2)=3,……

・•・每3次运算结果循环出现•次，

V2022÷3=674,

/.X2022=X3=-2,

.∙.JC2022的值为-2,

故答案为：-2.

总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键.

≡.解答题

7.(2021秋•汉阳区期中)对任意一个四位数”，如果千位与十位上的数字之和为9,百位与个位上的数字

之和也为9,则称〃为“极数

(1)请任意写出两个“极数”,；

(2)猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

(3)如果一个正整数。是另一个正整数6的平方，则称正整数“是完全平方数.若四位数，〃为“极数”，

记O(相)=聂,则满足力(m)是完全平方数的所有机的值是.

思路引领：(1)根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；

(2)由“极数”的定义可得出〃=99(10a+⅛+l),进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；

(3)由(2)可得出OCm)=3(10x+y+l),由。(m)为完全平方数，可得出IOX+y+l=12,10x+y+l

=27,10x+y+l=48,10x+y+l=75,解之可得出x,y的值，进而可得出，〃的值，即可得出结论.

解：(1)由“极数”的定义得，1287,2376,

故答案为1287,2376；

(2)任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：

设任意一个"极数”为砺—α)(9—b)(l≤α≤9,0≤⅛≤9,且。、人为整数)，

则αb(9-α)(9-b)=IooOa+100b+10(9-a)+(9-⅛)=990α+99⅛+99=99(10α+⅛+l),

Vl≤a≤9,0W6W9,且。、6为整数，

Λ10α+fe+l是整数，

•••任意一个“极数”都是99的倍数.

(3)设四位数"1为xy(9—x)(9—y)(IWXW9,OwyW9,且x、y为整数)，

：四位数加为“极数”，D(M=蚩

；.D(m)=99吗尸D=3(∣0χ+y+l).

VD(m)是完全平方数，1WXW9,0≤y≤9,且入、y为整数,

.∙.10x+y+l=3X4=12,10X+>H-1=3×9=27,1Ox+y+1=3×16=48,IOX+y+l=3X25=75,

・,,俨=1或俨=2或俨=45=7

(y=l^x(y=6仅Iy=7^[y=4,

.∙.S可以为1188或2673或4752或7425.

总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：(1)根据“极数”的定义，任意写出两个

“极数”；(2)根据“极数”的定义，找出"=99(10α+6+l);(3)根据O(胆)是完全平方数，找出10x+y+I

的值.

8.(2022秋•胶州市期末)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征.在

数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、

偶数、质数、合数等.现在我们来研究另一种特殊的自然数一一“纯数”.

定义：对于自然数〃，在计算”+(n+∣)+(n+2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数〃为“纯

数”.

例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25

时，个位产生了进位.

(1)判断2022是否是“纯数”?请说明理由；

(2)请直接写出2023到2050之间的“纯数”；

(3)不大于100的“纯数”的个数为.

思路引领：(1)根据“纯数”的定义判断；

(2)根据“纯数”的定义求解；

(3)根据“纯数”的定义写出数，再查个数.

解：(1)Y计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，

.∙.2022是“纯数”;

(2)2023到2050之间的“纯数”有：2030,2031,2032,：

(3)不大于100的“纯数”有：0,1,2,10,11,12,20,21,22,30,30,32,100共13个,

故答案为：13.

总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键.

9.(2021•任城区二模)如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半

高三角形”.这条高称为“半高”.如图1,对于4ABC,BC边上的高A。等于BC的一半，就是

“半高三角形”.此时，称AABC是“BC边半高三角形”，A。是“BC边半高”；如图2,对于aEFG,

EF边上的高G”等于EF的一半，AEFG就是半高三角形，此时，称aEFG是EF边半高三角形，GH

是“E尸边半高”.

(1)在RtZ∖ABC中，NACB=90°,AB=∖0cm,若ABC是“BC边半高三角形"，则AC=cmi

(2)若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm,则该等腰三角形底边长的所

有可能值为.

(3)如图3,平面直角坐标系内，直线y=x+2与抛物线y=，交于R,S两点，点P是抛物线y=/上

的一个动点，点。是坐标系内一点，且使得ARSQ为“RS边半高三角形当点P介于点R与点S之间，

且PQ取得最小值时，求点P的坐标.

思路引领：(1)设AC=Zn则BC=2AC=2/?,由勾股定理即可求解；

(2)分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；

(3)当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P'时，P。取得最小值，叩

可求解.

解：(1)设AC=/?,则3C=2AC=2∕j,

由勾股定理得：∣Γ+(2Λ)2=1()2,解得：∕Z=2√5,

故答案为2小

(2)①当“半高”是底边上的高时,

如图1,AD是“半高”，AB.AC为等腰三角形的腰,

图1

由题意得：AD=2,BC=4:

②当“半高”是腰上的高时,

如下图，底边为8C、“半高”CO为腰上的高,

如图2,当AABC为锐角三角形时，CD=2,AB=AC=4,

在RtAADC中，A。=√ΛC2-CD2=2√3,

在RtΔβCD中，BC=>JBD2+CD2=J(4-2√3)2+22=2√6-2√2;

如图3,当AABC为钝角三角形时，CD=2,AB=AC=A,

同理可得：BC=2√6+2√2;

故答案为：4或2乃+2夜或2Λ吊-2√Σ;

(3)将抛物线的表达式y=/与直线方程y=x+2联立并解得：x=-1或2,

即：点RS的坐标分别为(-1,1)、(2,4),则RS=3√Σ,

则RS边上的高为：I×3√2ɪɪ,

则点。在于RS平行的上下两条直线上，如下图，

设直线RS与y轴交于点N,故点N作N。，TQ于点

则N。=挈则8=磊=3,

点T(0,5),则点M(0,5),点M于点7重合，

则点Q的直线方程为：y=x+5,

当该直线在直线RS的下方时，＞-=x-1,

故点Q所在的直线方程为：y=x+5或y=x-1；

如图4,当点P介于点R与点S之间时，

设与RS平行且与抛物线只有一个交点P的直线方程为：y=x+d,

将该方程与抛物线方程联立并整理得：/-X-d=0,

Δ=l+4J=0,解得：d—-ɪ,

此时，X2-x+ξ=0,解得：X=

11

点户'(--),此时，P(P)。取得最小值.

24

总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，

此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解.

10.(2022春•梁平区期末)在平面直角坐标系中，对于任意两点ACa,b),B(c,d),若点T(x,y)满

足X=竽，y=竽那么称点7是点A,8的融合点.

例如：A=C-l,8),B=(4,-2),当点T(x,y)满足1,γ=8+∙ξ~¾=2⅛,则点7(1,

2)是点4,B的融合点.

(1)已知点A(-1,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.

(2)如图，点。(3,0),点EG,2f+3)是直线/：y=2r+3上任意一点，点T(x,y)是点。，E的

融合点.

①试确定y与X的关系式.

②若直线ET交X轴于点H,当NTDH为直角时，求直线ET的解析式.

思路引领：(1)根据点7是点4,B的融合点的定义判断即可；

(2)①根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；

②图中，当NTDH=90°时，点八。横坐标相同，再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标,

再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可.

解：(1)VA(-1,5),B(7,7),C(2,4),

Λx=ɪ×(-1+7)=2,y=J×(5+7)=4,

ɔɔ

...点C是点A、8的融合点；

(2)①；点T(x,y)是点O,E的融合点,

.'.X=⅛(3+r),V=⅛(0+2r+3).

33

∙∙y=2x-1；

②如图，当NTDH=90°时，

.∙.yτ=2χ-1=2X3-1=5,即T(3,5),

；点E(f,2/+3),点7(3,5),点力(3,0),且点T(x,y)是点E的融合点.

Λ3=∣(3+r),

.∙.点E(6,15),

设直线ET的解析式为：y^kx+b,

把E(6,15),T(3,5).代入得：

(6k+b=15

l3fc+h=5'

"_10

解得：k=l",

Ib=-5

直线ET的解析式为：y=⅛-5.

ɔ

总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质

等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.

11.（2019∙浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在X轴，y轴的

正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-（X

-In）2+.+2的顶点.

（1）当，〃=0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数.

（2）当机=3时，求该抛物线上的好点坐标.

（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求的取值范围.

思路引领：（1）如图1中，当机=O时，二次函数的表达式），=-/+2,画出函数图象，利用图象法解决

问题即可.

（2）如图2中，当m=3时，二次函数解析式为y=-（%-3）2+5,如图2,结合图象即可解决问题.

（3）如图3中，：抛物线的顶点P（机，M+2）,推出抛物线的顶点P在直线y=x+2上，由点尸在正方

形内部，则0＜加＜2,如图3中，E（2,1）,F（2,2）,观察图象可知，当点P在正方形。4BC内部，

该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点尸除外），求出抛物线经

过点E或点尸时〃?的值，即可判断.

解：（1）如图1中，当加=O时，二次函数的表达式y=-Λ∙2+2,函数图象如图1所示.

抛物线经过点（0,2）和（1,1）,

观察图象可知：好点有：（O,O）,（0,1）,（0,2）,（1,0）,（1,1）,共5个.

(2)如图2中，当加=3时，二次函数解析式为y=-(X-3)2+5.如图2.

当X=I时，，y=l,当x=2时，y=4,当x=4时，y—4,

抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4),

根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4).

(3)由于0VmV2,取W=I开始，发现抛物线内有IO个好点，不符合意思,所以抛物线向下并向左

移动，可得如图3中,

;抛物线的顶点/("3"7+2),

抛物线的顶点P在直线y=x+2上,

:点P在正方形内部，则0<m<2,

如图3中，E(2,1),F(2,2),观察图象可知，当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边

界)恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点(点F除外)，

当抛物线经过点E时，-(2-M2+w7+2=l,

解得m=殳道或二园(舍弃)，

乙2

当抛物线经过点F时，-（22+.+2=2,

解得m-∖或4（舍弃），

当一^―≤∕n<l时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点.

总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解

题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考

压轴题.

12.（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为

邻余线.

（I）如图1,在AABC中，AB=AC,4。是AABC的角平分线，E,F分别是80,AO上的点.

求证：四边形ABEF是邻余四边形.

（2）如图2,在5X4的方格纸中，A,B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形A8EF,使A8

是邻余线，E,尸在格点上.

（3）如图3,在（1）的条件下，取E尸中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点M若

N为AC的中点，DE=4BE,QB=G,求邻余线AB的长.

图1图2图3

思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一''性质可得ADLBC,则可得NOAB与NoBA互余，即/码B

与NEBA互余,从而可得答案；

（2）画出图形即可.

（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得8力=8、DM=ME,再判定AOBQS^ECN,从而列出

比例式，将已知线段的长代入即可得解.

解：（1）∙：AB=AC,Ao是AABC的角平分线,

.∖AD1BC,

：.ZADB=90°,

.∖ZDAB+ZDBA=90o,

：.ZFAB与NEBA互余，

.,.四边形ABEF是邻余四边形;

（2）如图所示（答案不唯一）,

四边形AFEB为所求；

（3）VAB=AC,A。是aABC的角平分线,

：.BD=CD,

,

∖DE=ABEf

：・BD=CD=5BE,

：・CE=CD+DE=9BE,

TNED/=90°,点M是E尸的中点,

：.DM=ME1

：・NMDE=NMED,

9：AB=AC.

JNB=NC

:∙∕∖DBQs∕∖ECN,

βQBBD5

"/VC~CE~9

•：QB=6,

"C=考54，

*：AN=CN9

.∙.AC=2CN=粤

.∙.A8=AC=嘤

总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判

定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键.

13.(2021∙南丰县模拟)如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个

是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称

为理想四边形.

(1)如图1,在RtZvWC中，NACB=90°,N8=30°,CDVAB,E为BC中点，连接DE.求证：

四边形A。EC为理想四边形；

(2)如图2,4ABQ是等边三角形，若8。为理想对角线，为使四边形A8C。为理想四边形，小明同学

给出了他的设计图(见设计后的图)，其中圆心角/2。。=120°；请你解释他这样设计的合理性.

(3)在(2)的条件下，

①若aBCO为直角三角形，BC=3,求力C的长度；

②如图3,若CD=X,8C=y,AC=z,请直接写出x,y,Z之间的数量关系.

设计后的图

思路引领：(1)证明^ACBS∕∖AOC,推出/AOC=/ACB=90°,再证明ACOE是等边三角形即可.

(2)如设计后的图中，BD是等边三角形，当点C在玩力上时，ZDCB=^ZDOB=60o,满足条件.

(3)①分两种情形：如图3中，当NCE>B=90°时，如图4中，当∕CBO=90°时，分别利用勾股定理

求解即可.

②以CO为边作等边AECQ,连接8E,作EFLBC交BC的延长线于F.利用全等三角形的性质以及勾

股定理可得结论.

解：(1)如图1,VZACB=90°,NB=30°,

.∙.∕A=60°,

'：CDLAB,

：.ZBDC=90°,

.'.ZBCD=°-NB=90°-30°=60°,

为8C中点，

.".DE=CE,

...△CDE是等边三角形，

/.四边形ADEC为理想四边形；

(2)如设计后的图中，Z∖A8O是等边三角形，OD=OB，ZBOD=120°,

当点C在E而上时，ZDCB=DOB=60°,故四边形ABCD为理想四边形.

(3)①当NCD8=90°时，如图3中，

:NCDB=90°,ZBCD=60o,BC=3,

.∙.8r>=BC∙sin60=芋，NCBo=30°,

•••△A3。是等边三角形，

：.AB=BD=^-,NAB£>=60。，

二NABC=90°,

.,.AC=y∕AB2+BC2=j(ɪ)2+32=挈:

22

当NC80=90°时，如图4中，同法可得AC=7AD2+CD2=(3√3)+6=3√7i

综上所述，AC的值为？或3位.

②如图5中，结论：Λ2+Λ>j+y2=z2.

理由如下：以CQ为边作等边AECQ,连接8E,作EFj。交3C的延长线于F.

VZEDC=ZADB=60o,

"EDB=NCDA,

YED=CD,BD=AD,

:./XEDB丝ACDA(SAS),

JAC=BE=Z,

•：/ECD=NDCB=60°,CD=CE=X9

工NECF=60°,NCEF=30°,

.,.CF=^EC=ɪɪ.EF=WCF=%.

在RtAEFB中，-.∙B£2=EF2+BF2,

22

H=(τχ)÷(y+iχ).

图4

图1

总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对

角线”，学会用分类讨论的思想思考问题.

14.(2020•朝阳区一模)在平面直角坐标系XOy中，点4(60),B(f+2,0),C(n,1),若射线Oe上

存在点P,使得aABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线。C的等腰点.

斗

1-

Illl____I___i]].

O(A)1BX

(1)如图，f=0,

①若〃=0,则线段4B关于射线。C的等腰点的坐标是；

②若〃<0,且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1,求〃的取值范围；

(2)若〃=空，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线。C的等腰点，贝h的取值范围是.

思路引领：(1)①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP=AB=2,由此即可解决问题.

②如图2中，当OP=AB时，作PH_Lr轴于H∙求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题.

(2)如图3-1中，作CHLy轴于H.分别以A,8为圆心，AB为半径作。A,QB.首先证明/COH

=30°,由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线。C与0A,OB只有一

个交点，求出几种特殊位置,的值，利用数形结合的思想解决问题即可.

解：(1)①如图1中，由题意A(0,0),B(2,0),C(0,1),

图1

；点P是线段AB关于射线OC的等腰点,

ΛOP=AB^2,

：.P(0,2).

故答案为(0,2).

.∙.OH=∖∕OP2-PH2=√22-I2=√3,

观察图象可知：若〃<0,且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，〃V-√5.

(3)如图3-1中，作CHLy轴于H.分别以A,3为圆心，AB为半径作。A,QB.

图3-1

*√3

由题意C(三^,1),

：.CH=辛OH=

•*/MUCH√3

•∙tanZ-COH==-ɜ-t

.,.ZCOH=30c,,

当08经过原点时，5(-2,0),此时f=-4,

；射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点,

二射线OC与OA,只有一个交点，观察图象可知当-4<f≤-2时，满足条件,

如图3-2中，当点A在原点时，：/尸。8=60°,此时两圆的交点尸在射线OC上，满足条件，此时r

=0,

如图3-3中，当OB与OC相切于P时，连接8尸.

.,•。<7是。8的切线,

.,.OPLBP,

：.NOPB=90°,

♦；BP=2,∕PO8=60°，

•-PB_4乃4√3ɔ

--n0βB~COS60°~~,止L时‘一丁一~

如图3-4中，当OA与OC相切时，同法可得OA=竽，止匕时U竽，此时符合题意.

图37

如图3-5中，当。A经过原点时，A(2,0),此时/=2,

图3-5

4√3

观察图形可知，满足条件的，的值为:--2<r≤2,

3

综上所述，满足条件t的值为-4<f≤-2或f=0或竽-2<∕≤2或f=峥

3ɔ

故答案为：-4<W-2或f=0或色色一2<W2或/=挚.

总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB关于射线OC的等腰点的

定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属

于中考压轴题.

15.(2022•房山区模拟)对于平面直角坐标系xθy中的图形Wl和图形的，给出如下定义：在图形Wl上存

在两点A,8(点4B可以重合)，在图形W2上存在两点M,N(点M,N可以重合)使得AM=2BN,

则称图形Wl和图形W2满足限距关系.

(1)如图1,点C(√3,0),D(0,-1),E(0,1),点P在线段CE上运动(点P可以与点C,E重

合)，连接。P,DP.

①线段OP的最小值为—，最大值为—；线段OP的取值范围是一；

②在点。，点。中，点与线段。E满足限距关系；

(2)在(1)的条件下，如图2,G)O的半径为1,线段尸G与X轴、y轴正半轴分别交于点凡G,且

FG//EC,若线段FG与。。满足限距关系，求点F横坐标的取值范围;

(3)。0的半径为r(r>0),点H,K是C)O上的两个点，分别以H,K为圆心，2为半径作圆得到

思路引领：(1)①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，OP的最大值，最小值即可解决问题;

②根据限距关系的定义判断即可;

(2)根据两直线平行&相等计算设尸G的解析式为：)，=一冬什儿得G(O,b),F(√3⅛,0),分三种

情形：①线段FG在。。内部，②线段FG与。。有交点，③线段FG与。。没有交点，分别构建不等

式求解即可；

(3)如图3-1中，不妨设OK,0H的圆心在X轴上位于y轴的两侧，根据。〃和0K都满足限距关系，

构建不等式求解即可.

.∙.OE=1,OC=√3,

.".EC=2,NEeo=30°,

当OP_L£C时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是6,

RtAOPC中，OP=∣OC=ɪ,即OP的最小值是日；

RtZXQEP中，NoEC=60°,

.∖ZEDP=30o,

VD£=2,

Λcos30o=嚣，

.DP√3

•∙=*

22

：.DP=√3,

当尸与E重合时，Z)P的值最大，Z)P的最大值是2,

线段。尸的取值范围是：√3≤DP≤2;

/ɜ

故答案为：—.√3,√3≤DP≤2;

2

②根据限距关系的定义可知，线段OE上存在两点M,M满足OM=20M如图3,

根据限距关系的定义可知，线段OE上存在两点例，N,满足。例=2ON,如图3,

故答案为：。和Q；

(2)*.•点C(√3,O),E(O,1),

.∙.设直线CE的解析式为：y^kx+m,

(,√3

+m=°,解得:fe=^T.

Tn=I

直线CE的解析式为：尸-字.计1,

'CFG//EC,

设FG的解析式为：y=-^∙x+b,

：.G(0,h),F(√3⅛,0),

ΛOG=b,OF=Wb,

当0<6∕><l时，如图5,线段FG在。。内部，与。。无公共点,

此时OO上的点到线段FG的最小距离为1一b,最大距离为1+66

∙.∙线段尸G与。。满足限距关系，

Λl+√3⅛≥2(l-√3ft),

解得百后

〃的取值范围为］≤√3⅛<h

当1≤√56W6时，线段FG与。。有公共点，线段FG与。。满足限距关系,

当百3>6时，如图6,线段尸G在OO的外部，与OO没有公共点，

此时O。上的点到线段FG的最小距离为百人-I,最大距离为6加1,

：线段FG与。。满足限距关系，

Λ√3fo+1›2(√3⅛-1),

而百6+122(√3⅛-1)总成立，

Λ√3⅛>6W，线段FG与Oo满足限距关系，

综上所述，点尸横坐标的取值范围是：√3⅛≥|；

(3)如图3-1中，不妨设OK,OH的圆心在X轴上位于y轴的两侧,

两圆的距离的最小值为2r-4,最大值为2什4,

∙.∙OH和OK都满足限距关系，

Λ2r+4≥2(2r-4),

解得rW6,

故r的取值范围为0<r≤6.

总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的

定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型.

16.(2022•西城区校级模拟)点P(XI,yι),Q(x2,”)是平面直角坐标系中不同的两个点，且XlrX2.若

存在一个正数4,使点P,。的坐标满足M-”1=版1-X2∣,则称P,。为一对“限斜点”，女叫做点P,

。的“限斜系数”，记作％(P,。).由定义可知，k(P,Q)=k(Q,P).

1111

例：若尸(1,O),Q(3,-),有IO-WI=m1-31，所以点P,Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为丁

已知点A(1,0),B(2,0),C(2,-2),D(2,ɪ).

2

(1)在点A,B,C,。中，找出一对“限斜点”：,它们的“限斜系数”为；

(2)若存在点E,使得点E,A是一对“限斜点”，点E,8也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”

均为1.求点E的坐标；

(3)。。半径为3,点M为。。上一点，满足MT=I的所有点T,都与点C是一对“限斜点”，且都满

足k(T,C)21,直接写出点M的横坐标XM的取值范围.

2

D

瓦［B_

-3-2-10123x

-1

JC

-3

思路引领：(1)根据定义通过计算求解即可；

(2)设E(X,)，)，由题意可得Iyl=Ix-1|,Iyl=IX-2],求解方程即可求点E的坐标;

(3)由题意可知C点在直线y=-X上，T点在以例为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半

径的圆上，则T点在以。为圆心2为半径的圆上或以。为圆心4为半径的圆上，当7点在直线y=-X

上时，k=l,再由左(T,C)可知T点在直线y=-X的上方，T点在直线y=-X的上方，直线y

=X-4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部.

解：(I)A(1,0),C(2,-2),有∣0+2∣=2∣l-2|,

；.A、C为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；

1.11

A(1,O),D(2,-),有IO-守=扣-2|,

2ZZ

.'.A,。为一对“限斜点”，且“限斜系数”为士

1

故答案为：A、C或4D,2或亍

(2)设ECx9y),

.∙.∣yl=∣χ-H,Iyl=IX-2∣,

Λ∣χ-l∣=∣χ-2∣,

解得X=∣,

1

Λy=÷-∙,

J2

3131

∙∖E(一,一)或(一，一亍)；

2222

(3)VC(2,-2),

・・・C点在直线y=-X上，

VMΓ=1,

・・・7点在以M为圆心I为半径的圆上，

TM点在以O为圆心3为半径的圆上，

・・.7的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，

当7点在直线y=-X上时，设7(m,-m)f

Λ∣-m+2∖=k∖m-2\,

.∖k=]f

Vk(T,C)≥l,

JT点在直线y=-工的上方，直线y=χ-4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如

图所示，

•**—£V∑≤ΛΛ∕≤4.

总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结

合解题是关键∙

17.(2020∙密云区一模)对于平面直角坐标系x。)，中的任意一点P,给出如下定义：经过点P且平行于两

坐标轴夹角平分线的直线，叫做点尸的“特征线”.

例如：点M(1,3)的特征线是y=x+2和y=-x+4；

(1)若点。的其中一条特征线是y=x+l,则在Qi(2,2)、D2(-1,0)、D3(-3,4)三个点中，可

能是点D的点有必；

(2)己知点P(-l,2)的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与X轴相交于点A,直线y=h+b

(ZWO)经过点P,且与X轴交于点B.若使ABBA的面积不小于6,求Z的取值范围；

(3)已知点C(2,0),T(n0),且OT的半径为1.当OT与点C的特征线存在交点时，直接写出r

的取值范围.

5-

4-

3-

2-

1-

Illll___________11111»

-5-4-3-2-1O12345x

-1-

-2-

-3-

-4^

思路引领：(1)画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可.

(2)过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为)，=-χ+b,求出△/¾B的面积为6时点B

的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题.

(3)如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=χ-2或y=-χ+2,设当OT与直线y=-x+2相切

于点M时，当与直线y=χ-2相切于点N时，分别求出OT,OT'结合图象即可解决问题.

解：(1)如图1中，观察图象可知，点Z>2的特征线是y=x+l∙

图1

故答案为£>2.

(2)如图2中,

设过点尸平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+b,

Λl+⅛=2,

Λ⅛=l,

・•・过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y=-x+∖t

/.A(1,0),

1

当aBRl的面积=6时，-∙A3∙2=6,

2

.∙.A5=6,

：・B(-5,0)或(7,0),

当y=kx+b,经过P(-I,2),8(-5,0)时，

｛二建;蓝解得G

当直线y=H+∕√经过户(-1,2),B(7,0)时,

｛言忆;,解得T

观察图形可知满足条件的k的值为一J4A≤JFlAW0.

zrL

(3)如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y=χ-2或y=-χ+2,

图3

当。7与直线y=-χ+2相切于点M时，连接TM,

在RtZ∖TCM中，VZ7MC=90o,ZMCT=45°,

.,.MT=MC=I,

：.TC=√277W=√2,

ΛOT=2-√2,此时f=2-√Σ

当。7'与直线y=x-2相切于点N时，同理可得OT'=2+√2,此时f=2+√Σ,

结合图象可知满足条件的t的值为：2-√I≤r≤2+√2.

总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的

“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于

中考压轴题.

18.(2022秋•西城区校级期中)已知函数)，=∕+bx+c(X22)的图象过点A(2,1),B(5,4).

(1)直接写出y=∕+fec+C(Λ>2)的解析式；

(2)如图，请补全分段函数丁=(一：2+2*+1"<2)的图象(不要求列表).

U2+bx+c(x≥2)

并回答以下问题：

①写出此分段函数的一条性质：:

②若此分段函数的图象与直线y=m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；

(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记(2)中函数的图象与直线y=4x-I围成的封闭区域(不

含边界)为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标.

(2)①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出〃?的取值范围;

(3)根据图象求整点坐标即可.

解：(I)把A(2,I),B(5,4)代入解析式得：二1〃

125÷5Z?+c=4

∙∖y=x1+bx+c(x≥2)的解析式为y=x2-6支+9；

①性质：抛物线关于点(2,1)成中心对称，

故答案为：抛物线关于点(2,1)成中心对称;

②由图象可得：实数，”的取值范围为0V，/<2；

(3)如图:

由函数图象可得："W区域”内所有整点的坐标为(0,0),(1,1).

总结提升：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用.

19.(2021春•丰台区校级月考)在