新教材苏教版高中数学必修第一册第8章函数应用-学案讲义(知识点考点汇总及配套习题)

第八章函数应用TOC\o"1-5"\h\z\u8.1二分法与求方程近似解 18.1.1函数的零点 18.1.2用二分法求方程的近似解 108.2函数与数学模型 178.2.1几个函数模型的比较 178.2.2函数的实际应用 23章末复习 338.1二分法与求方程近似解8.1.1函数的零点学习任务核心素养1．理解函数的零点的概念以及函数的零点与方程根的关系．(重点)2．会求函数的零点．(重点、难点)3．掌握函数零点的存在定理并会判断函数零点的个数．(难点)1．通过零点的求法，培养数学运算和逻辑推理的素养．2．借助函数的零点与方程根的关系，培养直观想象的数学素养.解方程的历史方程解法时间图·东方方程解法时间图·西方知识点1函数的零点的定义一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．1.函数的零点是点吗？[提示]不是，函数的零点是实数．知识点2方程、函数、图象之间的关系(1)函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解．(2)函数y＝f(x)的零点就是它的图象与x轴交点的横坐标．2.函数的零点是函数与x轴的交点吗？[提示]不是，函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标．1.函数f(x)＝2x－4的零点是________．2[由2x－4＝0得x＝2，所以2是函数f(x)的零点．]知识点3零点存在定理若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何函数都有零点．()(2)任意两个零点之间函数值保持同号．()(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.()[提示](1)可举反例f(x)＝x2＋1无零点．(2)两个零点间的函数值可能会保持同号，也可以异号，如f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)有三个零点，即x＝1,2,3，在(1,2)上f(x)为正，在(2,3)上f(x)为负，故在零点1和3之间函数值有正有负或零．(3)举例f(x)＝x2－1，选择区间(－2,2)，显然f(x)在(－2,2)上有零点1和－1，但是f(2)·f(－2)>0.[答案](1)×(2)×(3)×类型1求函数的零点【例1】求下列函数的零点．(1)f(x)＝x3－x；(2)f(x)＝2x－8；(3)f(x)＝1－log4x；(4)f(x)＝(ax－1)(x－2)(a∈R)．[解](1)∵f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝x(x－1)(x＋1)，令f(x)＝0，得x＝0,1，－1，故f(x)的零点为x＝－1，0,1.(2)令f(x)＝2x－8＝0，∴x＝3，故f(x)的零点为x＝3.(3)令f(x)＝1－log4x＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.故f(x)的零点为x＝4.(4)当a＝0时，函数为f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，得x＝2.∴f(x)的零点为2.当a＝eq\f(1,2)时，f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1))(x－2)＝eq\f(1,2)(x－2)2，令f(x)＝0，得x1＝x2＝2.∴f(x)有零点2.当a≠0且a≠eq\f(1,2)时，令f(x)＝0，得x1＝eq\f(1,a)，x2＝2.∴f(x)的零点为eq\f(1,a)，2.综上，当a＝0时，f(x)的零点为2；当a＝eq\f(1,2)时，函数的零点为2；当a≠0且a≠eq\f(1,2)时，f(x)的零点为eq\f(1,a)，2.怎样求函数的零点？[提示]求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[跟进训练]1．(1)求函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点；(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．[解](1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2.所以函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点为－3和e2.(2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－eq\f(1,3).所以函数g(x)的零点为0和－eq\f(1,3).类型2函数零点的证明【例2】证明函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)在(1,2)上存在零点．[证明]因为f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，且函数f(x)在区间(1,2)上的图象是不间断的，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－eq\f(2,x)在(1,2)上存在零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．[跟进训练]2．证明f(x)＝x3＋3x－1在区间(0,1)上有零点．[证明]因为f(0)＝03＋3×0－1＝－1<0，f(1)＝13＋3－1＝3>0，且函数f(x)在区间(0,1)上的图象是不间断的，所以函数f(x)＝x3＋3x－1在(0,1)上有零点．类型3判断零点所在的区间【例3】(1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是()A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)(1)A(2)C[(1)易知f(x)＝ax2＋bx＋c的图象是一条连续不断的曲线，又f(－3)f(－1)＝6×(－4)＝－24<0，所以f(x)在(－3，－1)内有零点，即方程ax2＋bx＋c＝0在(－3，－1)内有根，同理方程ax2＋bx＋c＝0在(2,4)内有根．故选A.(2)法一：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，∴f(x)在(0,1)内有零点．法二：ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区间．如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在的区间为(0,1)．]确定函数f(x)零点所在区间的常用方法解方程法当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上零点存在定理首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点数形结合法通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断[跟进训练]3．根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋3)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________．(填序号)x－10123ex0.3712.727.4020.12x＋323456①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．③[设f(x)＝ex－(x＋3)，由上表可知，f(－1)＝0.37－2<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2.72－4<0，f(2)＝7.40－5>0，f(3)＝20.12－6>0，∴f(1)·f(2)<0，因此方程ex－(x＋3)＝0的根在(1,2)内．]类型4函数零点(方程不等实根)个数的判断【例4】(1)函数f(x)＝ex－3的零点个数为________．(2)函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点个数是________．(3)已知关于x的一元二次方程(x－1)(3－x)＝a－x(a∈R)，试讨论方程实数根的个数．(1)1(2)2[(1)令f(x)＝0，∴ex－3＝0，∴x＝ln3，故f(x)只有1个零点．(2)在同一坐标系中画出y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)的图象，如图所示，函数y＝lnx与y＝eq\f(1,x－1)的图象有两个交点，所以函数f(x)＝lnx－eq\f(1,x－1)的零点个数为2.](3)[解]法一：原方程化为－x2＋5x－3＝a.令f(x)＝－x2＋5x－3，g(x)＝a.作函数f(x)＝－x2＋5x－3的图象，抛物线的开口向下，顶点的纵坐标为eq\f(12－25,4×－1)＝eq\f(13,4)，画出如图所示的简图：由图象可以看出：①当a＞eq\f(13,4)时，方程没有实数根；②当a＝eq\f(13,4)时，方程有两个相等的实数根；③当a＜eq\f(13,4)时，方程有两个不相等的实数根．法二：原方程化为x2－5x＋3＋a＝0.Δ＝25－4(3＋a)＝－4a①当Δ＜0，即a＞eq\f(13,4)时，方程没有实数根；②当Δ＝0，即a＝eq\f(13,4)时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＞0，即a＜eq\f(13,4)时，方程有两个不相等的实数根．把本例(1)函数改为“y＝2x|logax|－1(0<a<1)”再判断其零点个数．[解]由2x|logax|－1＝0得|logax|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x及y＝|logax|(0<a<1)的图象如图所示，由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数y＝2x|logax|－1有两个零点．判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．[跟进训练]4．函数f(x)＝lgx－sinx的零点有i(i∈N*)个，记为xi，xi∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，\f(k＋1π,2)))，k∈N*，则k构成的集合为____________．{1,4,5}[由f(x)＝lgx－sinx得lgx＝sinx，在同一坐标系中作出y＝lgx和y＝sinx的图象，如下图，由图象知，函数f(x)＝lgx－sinx有三个零点x1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π，\f(5π,2)))，x3∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)，3π))，因为xi∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，\f(k＋1π,2)))，k∈N*，所以k＝1,4,5，所以k构成的集合为{1,4,5}．]课堂达标练习1．(多选题)下列图象表示的函数中有零点的是()BCD[B、C、D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．]2．函数f(x)＝2x－3的零点所在的区间是()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)B[∵f(1)＝2－3＝－1<0，f(2)＝22－3＝1>0，∴f(1)·f(2)<0，即函数f(x)的零点所在的区间为(1,2)．]3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4C[因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3.分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x＜0时函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3.应选C.]4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)136.13615.552－3.9210.88－52.488－232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有________个．4[∵f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＜0，f(4)·f(5)＜0，f(6)·f(7)＜0，∴共有4个区间．]5．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，实数a的取值范围为________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))[由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．你认为函数零点存在定理中要注意哪些问题？[提示](1)函数是连续的．(2)定理不可逆．(3)至少存在一个零点．2．f(a)·f(b)<0是连续函数在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)·f(b)>0时在区间上一定没有零点吗？[提示]充分不必要条件．不一定，f(a)·f(b)>0时函数在区间(a，b)上可能有零点．8.1.2用二分法求方程的近似解学习任务核心素养1．通过实例理解二分法的概念．(难点)2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．3．能够借助计算器用二分法求方程的近似解．(重点)借助二分法的操作步骤与思想，培养逻辑推理数学建模、数学抽象的数学核心素养.通过上一节的学习，利用函数的零点存在定理可以确定函数的零点所在的区间，请利用计算器尝试探求函数f(x)＝lnx＋2x－6零点的近似值(精确到0.1)．知识点1二分法的定义对于在区间[a，b]上的图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值，即f(x)＝0的近似解的方法叫做二分法．1.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()ABCD[答案]A知识点2用二分法求一元方程f(x)＝0近似解的步骤(1)确定区间：一元方程f(x)＝0的根所在的区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0.(2)求区间(a，b)的中点：x1＝eq\f(a＋b,2).(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则x1就是一元方程f(x)＝0的近似解；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1，此时零点x0∈(a，x1)；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1，此时零点x0∈(x1，b)．(4)判断是否达到题目要求，即若达到，则得到一元方程f(x)＝0近似解，否则重复步骤(2)～(4)．用“二分法”求方程的近似解时，应通过移项问题转化为求函数的零点近似值．如求f(x)＝g(x)的近似解时可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，将问题转化为求h(x)的零点近似值的问题．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二分法所求出的方程的解都是近似解．()(2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内．()(4)用“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到．()[提示]四句话都是错的．(1)中，二分法求出的解也有精确解，如f(x)＝x－1在(0,2)上用二分法求解时，中点为x＝1，而f(1)＝0.(2)中，f(x)＝|x|≥0，不能用二分法．(3)中，二分法求零点时，零点可以在等分区间后的右侧，也可以在左侧．(4)中f(x)在[a，b]内的近似解可能有多个，而二分法求解时，只须达到一定的精确度即可，故可能会漏掉一些，另外在等分区间后，中点的函数值与某一端点函数值同号时内部也未必没有零点，故采用“二分法”不一定求出函数的所有零点的近似解．[答案](1)×(2)×(3)×(4)×类型1“二分法”的概念【例1】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近以值的是()ABCDD[根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A、B、C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选D.]判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．[跟进训练]1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3D[图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.]2．关于“二分法”求方程的近似解，下列说法正确的是()A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解D[如果函数在某区间满足二分法，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，∴A错误；二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，∴B错误；C只要限定了近似解的范围就可以得到方程的近似解，∴C错误；“二分法”求方程的近似解，甚至有可能得到函数的精确零点，∴D正确．]类型2用“二分法”求方程的近似解【例2】用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度0.1)．[解]令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1由于|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．1．(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05[解]在本例的基础上，取区间(0.6875,0.75)的中点x＝0.71875，因为f(0.71875)<0，f(0.75)>0且|0.71875－0.75|＝0.03125<0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．2．(变条件)若本例中的方程“2x3＋3x－3＝0”换为“x2－2x＝1[解]设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0.∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴2<x0<2.5；再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)＝－0.4375<0，∴2.25<x0<2.5；如此继续下去，有f(2.375)<0，f(2.5)>0⇒x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)<0，f(2.4375)>0⇒x0∈(2.375,2.4375)．∵|2.375－2.4375|＝0.0625<0.1，∴方程x2＝2x＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.用二分法求方程的近似解应明确两点(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．[跟进训练]3．求eq\r(3,2)的近似值．(精确到0.1)[解]eq\r(3,2)是x3＝2的根，因此可构造f(x)＝x3－2，问题转化为“求f(x)的零点的近似解”．用二分法求其零点．由f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0.故可取区间[1,2]为计算的初始区间．用二分法逐次计算，如下：f(1)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1,1.5)，f(1.25)<0，f(1.5)>0⇒x1∈(1.25,1.5)，f(1.25)<0，f(1.375)>0⇒x1∈(1.25,1.375)，f(1.25)<0，f(1.3125)>0⇒x1∈(1.25,1.3125)，至此可见，区间[1.25,1.3125]上所有值精确到0.1均为1.3，所以1.3是eq\r(3,2)精确到0.1的近似值．课堂达标练习1．用“二分法”可求一元方程的近似解，对于精确到ε的说法正确的是()A．ε越大，近似解的精确度越高B．ε越大，近似解的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关B[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，近似解的精确度越低．]2．在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4] B．[－2,1]C．[－2,2.5] D．[－0.5,1]D[因第一次所取的区间是[－2,4]，所以第二次所取的区间可能是[－2,1]，[1,4]；第三次所取的区间可能为[－2，－0.5]，[－0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，只有D在其中，故答案为D.]3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．x3[因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．]4．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，精确到0.1，取区间(2,4)的中点x1＝eq\f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________.(填区间)(2,3)[由f(2)·f(3)<0可知，x0∈(2,3)．]5．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．6[第1次取中点把焊点数减半为eq\f(64,2)＝32，第2次取中点把焊点数减半为eq\f(32,2)＝16，第3次取中点把焊点数减半为eq\f(16,2)＝8，第4次取中点把焊点数减半为eq\f(8,2)＝4，第5次取中点把焊点数减半为eq\f(4,2)＝2，第6次取中点把焊点数减半为eq\f(2,2)＝1，所以至多需要检测的次数是6.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？[提示](1)f(x)在区间(a，b)上的图象连续不断．(2)在区间(a，b)端点的函数值f(a)·f(b)<0.2．使用二分法求方程近似解的理论依据是什么？[提示]零点存在定理．8.2函数与数学模型8.2.1几个函数模型的比较学习任务核心素养1．理解指数爆炸、直线上升、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、一次函数以及对数函数增长速度的差异．(易混点)3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)借助三个函数模型的增长特征，培养数学运算、数学建模的核心素养.我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．知识点三种函数模型的性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行保持固定增长速度增长速度①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢；在描述现实问题的变化规律时，常用“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”来表示指数函数、一次函数、对数函数的增长方式．②当x足够大时，总有ax>kx>logax思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．()(2)对任意的x>0，kx>logax.()(3)对任意的x>0，ax>logax.()(4)函数y＝log2x增长的速度越来越慢．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√类型1几类函数模型的增长差异【例1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2019x B．y＝2019C．y＝log2019x D．y＝2019x(2)下面对函数f(x)＝eqlog\s\do5(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C[(1)指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f(x)＝eqlog\s\do5(\f(1,2))x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型一次函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．[跟进训练]1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3325.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．y2[以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]类型2指数函数、对数函数与一次函数模型的比较【例2】函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))与geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f(2020)与g(2020)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)，从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))；当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2020)＞g(2020)．由图象判断指数函数、一次函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、一次函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数．[跟进训练]2．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．类型3函数模型的选择【例3】某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)．观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．几类不同增长函数模型选择的方法(1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型．(2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型．(3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型．[跟进训练]3．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7[解]在坐标轴上标出t(年)与h(米)之间的关系如图所示．由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理．不妨将(2,1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题．当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．课堂达标练习1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是()A．y减少1个单位 B．y增加1个单位C．y减少2个单位 D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中，随x的增大而增大且速度最快的是()A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝2x D．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]3．“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A．指数函数y＝2t B．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3 D．二次函数y＝2t2A[根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.]4．某人投资x元，获利y元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1000元，1500元时，应分别选择________方案．乙、甲、丙[将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较y值的大小即可求出．]5．某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为________．[答案]y＝－eq\f(1,4)x＋50(0<x<200)回顾本节知识，自我完成以下问题．1．比较函数增长情况有哪些方法？[提示](1)解析法．直接看解析式是一次函数、指数型函数还是对数函数．(2)表格法．通过分析表格中的数据得出函数增长速度差异．(3)图象法．在同一坐标系中画出函数的图象，观察图象并借助计算器．2．三类不同增长的函数有哪些特点？[提示]当自变量很大时，(1)y＝kx＋b直线上升；(2)y＝ax(a>1)指数爆炸；(3)y＝logax(a>1)对数增长．8.2.2函数的实际应用学习任务核心素养1．了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想．(难点)2．了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单应用．(重点)通过学习本节内容，提升数学建模和数学运算的核心素养.函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具，利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题．某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000m2，该中心每块球场的建设面积为1000m2，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关．当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用函数f(x)＝400eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(x－5,20)))来刻画．为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场？生活中经常会遇到这种成本最低、利润最高等问题，如何处理这些问题呢？知识点函数的实际应用1．常见的函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)；(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；(4)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；(5)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．(7)分段函数模型；(8)对勾函数模型：f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a为正常数)．“对勾”函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的性质①该函数在(－∞，－eq\r(a)]和[eq\r(a)，＋∞)上单调递增，在[－eq\r(a)，0)和(0，eq\r(a)]上单调递减．②当x>0时，x＝eq\r(a)时取最小值2eq\r(a)；当x<0时，x＝－eq\r(a)时取最大值－2eq\r(a).2．解决实际问题的一般流程eq\x(实际问题)→eq\x(建立数学模型)→eq\x(求解数学模型)→eq\x(解决实际问题)其中建立数学模型是关键．3．用函数模型解决实际问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)(1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质．()(2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性．()(3)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．()[答案](1)√(2)√(3)×2.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示．时间/天1234利润/千元23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2 D．y＝2xB[逐个检验可得答案为B.]类型1利用已知函数模型解实际问题【例1】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，有以下公式：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－0.1x2＋2.6x＋43，0<x≤10，,59，10<x≤16，,－3x＋107，16<x≤30.))(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一道数学难题，需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题？[解](1)当0<x≤10时，f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；当16<x≤30时，f(x)单调递减，f(x)<－3×16＋107＝59.因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6min.(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝53.5，f(20)＝－3×20＋107＝47<53.5＝f(5)．因此，开讲后5min学生的接受能力比开讲后20min强一些．(3)当0<x≤10时，令f(x)＝55，则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.所以x＝20或x＝6，但0<x≤10，故x＝6.当16<x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.所以x＝17eq\f(1,3).因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为17eq\f(1,3)－6＝11eq\f(1,3)<13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值．[跟进训练]1．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,h))，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡，放在24℃的房间中，如果咖啡降温到40℃需要20min，那么降温到32℃时，需要多长时间？[解]先设定半衰期h，由题意知40－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(20,h))，即eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(20,h))，解之，得h＝10，故原式可化简为T－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,10))，当T＝32时，代入上式，得32－24＝(88－24)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,10))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up7(\f(t,10))＝eq\f(8,64)＝eq\f(1,8)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，∴t＝30.因此，需要30min，可降温到32℃类型2自建确定性函数模型解决实际问题【例2】牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值．[思路点拨]eq\x(畜养率)→eq\x(空闲率)→eq\x(\a\al(y与x之间,的函数关系))eq\o(→,\s\up7(单调性))eq\x(求最值)[解](1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，由此可得y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m)))(0<x<m)．(2)对原二次函数配方，得y＝－eq\f(k,m)(x2－mx)＝－eq\f(k,m)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(m,2)))2＋eq\f(km,4)，即当x＝eq\f(m,2)时，y取得最大值eq\f(km,4).1．(变条件)若将本例“与空闲率的乘积成正比”改为“与空闲率的乘积成反比”又如何表示出y关于x的函数解析式？[解]根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为eq\f(x,m)，故空闲率为1－eq\f(x,m)，因为羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成反比，由此可得y＝eq\f(k,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,m))))(0<x<m)．2．(变结论)若本例条件不变，求当羊群的年增长量达到最大值时，k的取值范围．[解]由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m.因为当x＝eq\f(m,2)时，ymax＝eq\f(km,4)，所以0<eq\f(m,2)＋eq\f(km,4)<m，解得－2<k<2.又因为k>0，所以0<k<2.自建模型时主要抓住四个关键：“求什么，设什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解决什么问题，完成什么任务．设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素，谁是核心因素，通常设核心因素为自变量．列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来，可以是方程、函数、不等式等．限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件，在实际问题中，除了要使函数式有意义外，还要考虑变量的实际含义，如人不能是半个等．[跟进训练]2．某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系为p(t)＝p0e－kt(式中的e为自然对数的底数，p0为污染物的初始含量)．过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了eq\f(1,5).(1)求函数关系式p(t)；(2)要使污染物的含量不超过初始值的eq\f(1,1000)，至少还需过滤几个小时？(参考数据：lg2≈0.3)[解](1)根据题意，得eq\f(4,5)p0＝p0e－k，∴e－k＝eq\f(4,5)，∴p(t)＝p0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))t.(2)由p(t)＝p0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))t≤eq\f(1,1000)p0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))t≤10－3，两边取对数并整理得t(1－3lg2)≥3，∴t≥30.因此，至少还需过滤30个小时．类型3拟合数据构建函数模型解决实际问题【例3】某企业常年生产一种出口产品，自2017年以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2017年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)画出2017～2020年该企业年产量的散点图；(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型，并求出函数解析式；(3)2021年(即x＝5)因受到某国对我国该产品反倾销的影响，年产量减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量为多少？[解](1)画出散点图，如图所示．(2)由散点图知，可选用一次函数模型．设f(x)＝ax＋b(a≠0)．由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝4，,3a＋b＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1.5，,b＝2.5，))∴f(x)＝1.5x＋2.5.检验：f(2)＝5.5，且|5.58－5.5|＝0.08<0.1，f(4)＝8.5，且|8.44－8.5|＝0.06<0.1.∴一次函数模型f(x)＝1.5x＋2.5能基本反映年产量的变化．(3)根据所建的函数模型，预计2021年的年产量为f(5)＝1.5×5＋2.5＝10万件，又年产量减少30%，即10×70%＝7万件，即2021年的年产量为7万件．函数拟合与预测的一般步骤(1)根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．[跟进训练]3．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式；(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否正常？[解](1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图．根据点的分布特征，可考虑以y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型．取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.9＝a·b70，,47.25＝a·b160，))用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x＝175代入y＝2×1.02x得y＝2×1.02175，由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22>1.2，所以，这个男生偏胖．课堂达标练习1．已知：x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A．y＝a＋eq\f(b,x) B．y＝a＋bxC．y＝a＋logbx D．y＝a·bxD[由表知x可以取“0”对于B：当x＝0时，y＝a＝1，∴a＝1，当x＝1时，y＝a＋b＝2.02，b可以取1，当x＝2时，y＝1＋2＝3；当x＝3时，y＝1＋3＝4与表中各数据相差较大，可知只有D正确．]2．根据日常生活A、B、C、D四个实际问题，现各收集到的五组数据在平面直角坐标系中画出的散点图(如图所示)，能够构建对数函数模型解决实际问题且拟合度较高的是()ABCD[答案]B3．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是()A．y＝0.9576eq\s\up8(\f(x,100))B．y＝(0.9576)100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))xD．y＝1－0.0424eq\s\up8(\f(x,100))A[由题意可知y＝(95.76%)eq\s\up8(\f(x,100))，即y＝0.9576eq\s\up8(\f(x,100)).]4．某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.1.0211[设1月份利润为x，则12月份的利润y＝x(1＋2%)11＝kx，∴k＝1.0211.]5．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．860[依题意，可设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由x＝800，y＝1000及x＝700，y＝2000，可得k＝－10，b＝9000，即y＝－10x＋9000，将y＝400代入得x＝860(元)．]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．什么是数据拟合？[提示]数据拟合是研究变量之间的关系，并给出一种近似数学表达式的一种方法．2．用数据拟合法如何建立函数模型？[提示]一般是先作出散点图，近而根据散点趋势选择相关模型予以拟合．3．函数模型的应用举例主要包括哪些方面？[提示](1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．章末复习类型1函数的零点与方程的根的关系及应用根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，函数的零点、方程的根、函数的图象与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．从高考题型上看，这类题目，既有选择题，也可以出现解答题，解题时应注意通过数与形的相互结合，将三者进行相互转化．【例1】(1)函数f(x)＝log3[log2(4－2x)]的零点为________．(2)函数g(x)＝lgx与f(x)＝x2－6x＋9的图象的交点个数为________，设最右侧交点的横坐标x0，则存在n0∈N*，使x0∈(n0，n0＋1)，则n0＝________.[思路点拨](1)可通过解方程来求零点．(2)通过图象和零点存在定理来解．(1)1(2)23[(1)f(x)＝0时，log3[log2(4－2x)]＝0，则log2(4－2x)＝1，∴4－2x＝2，∴2x＝2，∴x＝1.(2)在同一个坐标系中做出f(x)和g(x)的图象，如图，易知交点个数有2个，设h(x)＝g(x)－f(x)，∵h(2)＝lg2－1<0，h(3)＝lg3>0，h(4)＝lg4－1<0，x0为最右侧交点，故x0∈(3,4)，∴n0＝3.][跟进训练]1．已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．(1)求m的取值范围；(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．[解](1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点．当m＋6≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－eq\f(5,9).∴当m≤－eq\f(5,9)且m≠－6时，二次函数有零点．综上所述，m≤－eq\f(5,9).(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－eq\f(2m－1,m＋6)，x1x2＝eq\f(m＋1,m＋6).∵eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝－4，即eq\f(x1＋x2,x1x2)＝－4，∴－eq\f(2m－1,m＋1)＝－4，解得m＝－3.且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m的值为－3.类型2函数的零点的应用函数的零点的应用很广泛，特别是在求参数的取值范围，函数在指定区间上的零点、方程的根的