2023-2024学年人教A版必修第一册 弧度制 学案

5.1.2弧度制

学习目标

1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.

2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.

3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.

核心素养

1.借助单位圆建立弧度制的概念，体会引入弧度制的必要性，重点提升学生的数学抽象素

2.应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决相关问题，重点提升数学运算素养.

®必备知识•探新知®

....................

知识点1角度制与弧度制

1.度量角的两种制度

定义用_度_作为单位来度量角的单位制

角度制

1度的角等于周角的S

1度的角

360

定义以弧度作为单位来度量角的单位制

弧度制

1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角

想一想：对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？

提示：角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如。=4・360。

JI

+8（代Z）,£=2"+6。。（庄Z）等写法都是不规范的，应写为°=八36。。+3。。（住Z）,

JI、

£=20+yaGZ）.

2.弧度数的计算

提醒：（1）1弧度记作1rad（rad可省略不写）；

(2)在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系；

(3)一定大小的圆心角。的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小

无关.

练一练：

1.如果2,则a的终边所在的象限为(C)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

JI

［解析］因为一“〈一2〈一万，所以。的终边在第三象限.

2.下列命题中，假命题是(D)

A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位

B.1°的角是周角的焉，1rad的角是周角的言

C.1rad的角比1°的角要大

D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关

［解析］根据1度、1弧度的定义可知只有D为假命题，故选D.

知识点2角度制与弧度制的换算

角度化弧度弧度化角度

360°=2兀rad2兀rad=360°

180°=兀rad兀rad=180°

ji

1°=radg0.01745rad1rad=^57.30°

~180~

想一想：(1)角度制与弧度制在进制上有何区别？

(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？

提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数.

、、兀

(2)弧度数=角度数X诉；

loU

1on

角度数=弧度数X”.

JI

练一练：

1.与60°终边相同的角可表示为(D)

JI

A.A・360°+石(AGZ)

B.2A兀+60°(^ez)

C.24•360。+60°(MZ)

JI,、

D.2A兀+彳(A£Z)

JIJIJI

［解析］60。化为弧度制等于刀，与刀终边相同的角可表示为2An+?(«eZ).

OOO

7JI

2.⑴〒rad化为角度是252°

o

7JI

(2)105°的弧度数是；？_rad.

7n"兀180、

［解析］(1)7-rad=—X—°=252°；

5\bn)

Ji7兀

(2)105°=105X-TTrad=­77rad.

loU1Z

知识点3弧度制下的弧长公式与扇形面积公式

设扇形的半径为兄弧长为，，。(0＜。＜2口)为其圆心角，则

(1)弧长公式：1=aR.

(2)扇形面积公式：S==77?=.

-2—-2----

提醒：在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意。的单位是“弧度”，而不是“度”，若

已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算.

练一练：一个扇形的面积为1,周长为4,则该扇形圆心角的弧度数为上0匚

［解析］设扇形的半径为兄弧长为/,圆心角为a,

贝IJ2#+/=4.①

由扇形的面积公式S=^1R,得/〃?=1.②

由①②得仁1,1=2,a=4=2rad.

K

・••扇形的圆心角为2rad.故答案为2rad.

®关键能力--重难®

题型探究

题型一角度与弧度的换算及应用

典例1将下列角度与弧度进行互化：

7JI4

(1)20°；(2)-800°；(3)—；(4)--JI.

.JIJI

［解析］(1)20°=20X—=—；

iouy

［归纳提升］角度制与弧度制互化的原则和方法

⑴原则：牢记180°=兀rad,充分利用1°=彳而rad和1rad=匕一°进行换算.

ioU\JL/

(2)方法：设一个角的弧度数为a,角度数〃，贝!］arad=。­°;n=77•—

\JL/ioU

33TJI

对点练习❶设«i=-570°、。2=750°、£1=三、^2=--.

53

⑴将。1、。2用弧度制表示出来,并指出它们各自所在的象限；

⑵将自、鱼用角度制表示出来,并指出它们各自所在象限.

［解析］⑴•.T80°=兀rad,

570兀19兀

.,.-570°

1806

19Ji,5TI

,・『—2X2兀+工

750兀25兀

二a1在第二象限，入在第一象限.

/、3兀3

(2)=TX180°=108°,

55

JI

£2=—1=一60°,工£1在第二象限，团在第四象限.

题型二用弧度制表示给定区域角的集合

典例2用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

(1)(2)

［分析］本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.

371

［解析］(1)225。角的终边可以看作是一135。角的终边，化为弧度，即一丁，60°角的

JI

终边即可的终边，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为

|,3兀,I

|2An---<a<2kJi+y,.

(2)与⑴类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为

［.JIJi］［JiJI1

•ja12Am+—<a<24JT+~,kEZrUi12AK+n+—<a<2A“+Jt+万，AcZ)=

f.,Ji,n1

•ja+-<a<nn+5,n^l\.

［归纳提升］关于用弧度表示角

⑴弧度制下，与a终边相同的角的集合为{£|£=a+2",k《Z},注意角度和弧度不

能混用.

(2)区域角的表示：先用弧度表示出终边所在边界的角，再按照逆时针的方向，写出角的范

围.

(3)对于区域角的书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正半轴，若区间跨越x轴的正半轴,

则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x轴的正半轴，则无须

这样写.

对点练习❷用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的

角的集合(不包括边界)，如图所示.

(1)⑵

JIJTJIJ[

[解析]⑴330。和60。的终边分别对应一区和丁，所表示的区域位于一区与方之间且跨

6363

[jiji]

越X轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为y120一记”20+了，

5ji3JT5n3JI

(2)210°和135。的终边分别对应一丁和下，所表示的区域位于一二与丁之间且跨越x

6404

I5兀3兀I

轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为《，24”一一/〈。〈2«口+丁，A£Z|.

兀7JI

(3)30°=—,210°=—,所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合

66

为]刈2"兀〈9〈24兀+于，U]9|2«兀+兀〈9〈2左兀+等，=

1912A兀〈^〈2«兀+看，U]9|(2A+1)兀〈J〈(2A+1)兀+看，=

1e]〃兀〈9〈刀兀+至,7?£Z].

题型三弧长公式和扇形面积公式的应用

典例3已知扇形的周长为8cm.

(1)若该扇形的圆心角为2rad,求该扇形的面积；

(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角.

[解析]设扇形的半径为八弧长为人面积为S

⑴由题意得：2r+/=8,l=2r,

解得r=2,7=4,S=|zr=4(cn)2).

(2)由2T+/=8得i=8—2r,rG(0,4),

贝(JS=^lr=^(8—2r)r=41"'-r

=—(r—2)2+4,

当_r=2时，*ax=4,止匕时1=4,圆心角。=一=2.

r

[归纳提升]弧度制下扇形问题的解决方法

⑴三个公式：1=aR,S与*制，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，

通过解方程(组)求值;

（2）弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长（面积），利用函数知识求最

值，一般利用二次函数的最值求解.

对点练习❸（1）一个扇形的面积为15口,弧长为5口，则这个扇形的圆心角为（D）

（2）若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数

为（C）

JIJI

A-TB-T

C.小D.2

_r1I/-6

e215r

-T-±

2JI

得I

解5

［解析］（1）设扇形的圆心角为0,半径为“则＜eJI6

e5-

-兀*

r-

5JI

故扇形的圆心角为

6

⑵设圆的直径为2n则圆内接正方形的边长为娟r

:扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，

工扇子的弧长等于/T,

二圆心角。（0〈。〈n）的弧度数为率=隹.

误区警示

角度和弧度混用致错

典例4求终边在如图所示阴影部分（不包括边界）内的角的集合.

［错解一］｛a|A・360°+330°<a<k>360°+60°,k^l\.

［错解二］｛a12An—30。<+60°,k^l\.

［错因分析］错解一中，若给A赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角.错

解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制.

［.JIJI］

［正解］ja|2An—―<a<2,k^+—,AGZ卜也可写成{。|A•360°—30°<a<k•360°

+60°,A£Z}.

［方法点拨］同一个问题（或题目）中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用

弧度制单位，不能将两者混用.

◎