2023年贵州省贵阳市高考文科数学一模试卷及答案解析

2023年贵州省贵阳市高考文科数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1∙（5分）在复平面内，复数」上对应的点为例，复数（2+i）2对应的点为M则向量疝的

l+4ι

模为（）

A.2√17B.√TθC.2√13D.√26

2.（5分）若集合A={x∈N仇W6},B={2,0,22},则AUB中的元素个数为（）

A.2B.4C.7D.8

3.（5分）设p：a＞2,q：函数F（X）=Λ2-ox+j-3没有零点，则P是q的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）已知入＞0,平面向量Z=（-2,A）,b=（6,Λ-2）,若（3之+2小1之，则实数入

的值为（）

64

A.2B.—C.一D.4

55

5.（5分）函数/"（;＜）=¥¥在区间［-π,π］上的图象可能是（）

9+1

6.（5分）已知数列{即}是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105,第2项、第4

项、第8项成等比数列，则它的通项公式为（）

、7储

A.即=7〃或许=21B.an=-2-

n_7n（n+l）

ɛ.Un——inD.cιn-2-----

7.（5分）由函数y=sin2r的图象经过图象变换得到函数y=sin（x+力的图象，则这个变

换过程为（）

Tl

A.向左平移百个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

Tl

B.向左平移一个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

4

1n

C.把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移T个单位长度

24

1Tl

D.把所有点的横坐标缩小为原来的一（纵坐标不变），向左平移一个单位长度

28

8.（5分）如图给出的程序框图中，输出的结果是（）

/输电A/

结束

252132521

A.—B.—C.-----D.—

332246244

9.（5分）已知三棱锥P-ABC中，PA=3,PB=PC=5,AB=BC=AC=4,则它的外接球

的表面积为（）

9191

A.一πB.一πC.84πD.21π

123

10.（5分）2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人

逐渐高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲

一起制作了简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A，B,C,

。.小明每次投掷都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A，B,C,D区的

概率分别为0.01,0.1,0.3,0.59,小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰

壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或。区的概率为（）

A.1B.0.2139C.0.4278D.0.1958

11.（5分）已知f（x）=∕n（x+2）+√T不I一鬲，则曲线y=f（x）在点（3,7（3））处的

切线方程为（）

A.2χ-1O>H-1O∕∕25-1=0B.2x+10γ+10∕∕ι5-1=0

C.x-12>÷12∕n5-15=0D.x+12y+l2ln5-15=0

12.（5分）已知双曲线C：WT=I（α>0,b>0）的左、右焦点分别为Q,F2,一条渐

JT

近线方程为y=过双曲线C的右焦点尸2作倾斜角为孑的直线/交双曲线的右支于A,

8两点，若aAFiB的周长为36,则双曲线C的标准方程为（）

X2y2X2y2

A.---=1B.—――=1

2442

C.X2—=1D.——y2=1

22J

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

f4x-1,%<1

13.（5分）已知函数f（x）=",若lV√（α）W2,则实数。的取值范围为________.

｛log2Xfx>l

5βn,

14.（5分）设数列｛斯｝的前〃项和为S”，已知%=α2=[αn+2=J"为奇数’、则

Z（即+1，C为偶数

S2”等于.

1

15.（5分）在三棱柱ABC-ABiCi中，底面ABC,AB=BC=CA=讶A4ll,点P是棱

AAl上的点，ΛP=2∕¾ι,若截面BPeI分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比

为•

16.（5分）已知抛物线「：/=8》的焦点为凡四边形ABCD的顶点都在抛物线上，三点、F,

D,B共线，AC垂直平分线段DB,若AB与CB垂直，则直线DB的方程为,

四边形ABCO的面积为.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17,21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22,23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共

60分

17.（12分）某校组织学生观看“太空授课”，激发了学生的学习热情.学校组织IOOO名学

生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.如图中未知的数据”,b,C成等差数列，

成绩落在区间[60,70）内的人数为400.

（1）求出直方图中α,b,C的值：

(2)估计中位数(精确到0.1)和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(3)若从得分在区间［50,60)内的学生中抽取2人编号为A,B,从得分在区间［90,100］

内的学生中抽取6人编号为1,2,3,4,5,6,组成帮助小组，从1,2,3,4,5,6

中选3个人帮助A,余下的3个人帮助B,求事件“1,2帮助A”的概率.

18.(12分)在AABC中，----=-----.

2b-ac

(1)求角C的大小.

(2)若α=3,Z∖A8C的面积为6旧，。为A8的中点，求CO的长.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，DAlAB,PDlPC,PBlPC,AB=AD=PD^

4

PB=I,COSZDCB=

(1)求证：BOJ_平面PAC；

(2)求四棱锥P-ABe0的体积.

%y

20.(12分)已知坐标原点为O,直角三角形AoB的顶点A在椭圆一+—=1上运动，顶

168

点B在直线y=4上运动.

(1)求证：坐标原点O到斜边A8所在直线的距离是常数.

(2)求斜边AB的最小值.

pXOf

21.(12分)已知函数/(X)=彩—tlnx,g(X)=―,F(X)—f(x)-g(X).

(1)当f=l时，求证：F(x)>0对于任意正实数X恒成立.

(2)若函数F(X)在(0,2)上有且仅有两个极值点，求实数f的取值范围.

［选修4—4；坐标系与参数方程I

(x=1+t

22.(10分)在平面直角坐标系XOy中，曲线CI的参数方程为=4+”'为参数).以坐

标原点为极点，以%轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p(sinθ-

2cosθ)-2=0.

(I)求曲线Cl的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.

(2)若CI与C2交于A，B两点，求aAOB的面积.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=∣χ-2α∣+∣χ-02-2∣.

(1)求证：/(x)21.

(2)若/(2)>2,求实数4的取值范围.

2023年贵州省贵阳市高考文科数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

17fr→

1.(5分)在复平面内，复数——:对应的点为复数(2+1)2对应的点为N,则向量MN的

l+4ι

模为()

A.2√17B.√TθC.2√13D.√26

【解答】解：复数」ʌ=N*',一4)=4+i对应的点为则M(4,1),

l+4ι(l+4ι)(l-4ι)

复数(2+1)2=3+4i对应的点为N,则N(3,4),

所以向量加=(3-4,4-1)=(-1,3),

所以I加I=√(-l)2+32=√10,

故选：B.

2.(5分)若集合A={xEN∣xW6},B={2,0,22},则AUB中的元素个数为()

A.2B.4C.7D.8

【解答】解：；集合A={x∈N∣x这6}={0,1,2,3,4,5,6)；

.∙.AU8={0,1,2,3,4,5,6,22}；

.∙.AU8中元素的个数为8.

故选：D.

3.(5分)设p：a>2,q：函数/(x)=x2-Or+/-3没有零点，则P是q的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：函数/(x)=∕-0r+42-3没有零点，

.∙.Δ=/-4(/-3)=-3Λ2+12<0,

.∙.4>2或“<-2.

.,./?：α>2推出g,但q推不出p,

∙∙∙p是4的充分而不必要条件.

故选：A.

4.(5分)已知入>0,平面向量Z=(-2,Λ),b=(6,λ-2),若(32+2])_L2，则实数入

的值为()

64

A.2B.-C.-D.4

55

【解答］解：Vλ>O,平面向量)=(一2,1),b=(6,λ-2),(3α+2h)lα,

(3α+2h)∙α=3α2+2α∙h=3(4+λ2)+2(-12+λ2-2λ)=0,

即5λ2-4λ-12=0,

求得实数入=2或入=—I(舍去),

故选：A.

3x∙cosx

5.(5分)函数/(%)在区间［-π,π］上的图象可能是()

9x+l

【解答】解：•••函数/(X)=%等定义域为：LmE关于原点对称，

・"(-X)=三黑言=［箸=∕(x),故为偶函数，图像关于y轴对称，排除CZZ

当尸0时，/(0)=亲等另，/(π)=辛詈E=离;VO,排除8,

故选：A.

6.(5分)已知数列｛〃”｝是单调递增的等差数列，若它的前5项的和为105,第2项、第4

项、第8项成等比数列，则它的通项公式为()

A.斯=7〃或斯=21B.即=竽

C∙Cln~~7flD.…普由

【解答】解：数列｛0,,｝是单调递增的等差数列，设公差为d(d>O),

若它的前5项的和为105,则5αι+10d=105,即α∣+2d=21,①

12

又第2项、第4项、第8项成等比数列，可得a4=a2m,即（m+3d）=（aι+d）（m+7d）,

即有d-a∖,②

由①②可得"1=<1=7,

则”,ι=7+7（n-ɪ）=In.

故选：C.

7.（5分）由函数y=sin2x的图象经过图象变换得到函数y=sin（x+多的图象，则这个变

换过程为（）

Tr

A.向左平移R个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

Tr

B.向左平移一个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

4

C.把所有点的横坐标缩小为原来的:（纵坐标不变），向左平移E个单位长度

D.把所有点的横坐标缩小为原来的］（纵坐标不变），向左平移E个单位长度

【解答】解：由函数y=sin2x的图象经过图象变换得到函数y=s讥（x+今）的图象，

Tl

这个变换过程为：向左平移三个单位长度，

再把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），

故选：A.

8.（5分）如图给出的程序框图中，输出的结果是（）

252132521

A.一B.一C.—D.—

332246244

【解答】解：当k=1时，A=1当k=2时,A=1ɪɔ+ɑɪ4,

IXSlʌɔZXzi,

+2^4+'-∙+∕<×（fc+2）=2（1-3+2^4+'∙∙+fc→^fc+T+fc^EF2ɔ

Illl

=2（1+2-FPT-fc+2^

当Q20时，^=∣（f-⅛-⅛=Hf-

由程序框图可知当k=20时循环结束，

故选：C.

9.（5分）已知三棱锥P-ABC中，PA=2>,PB=PC=5,A8=BC=AC=4,则它的外接球

的表面积为（）

9191

A.—TrB.—TiC.84πD.21π

123

【解答】解：根据题意，设三棱锥尸-ABC的外接球的半径为此

△ABC中,AB=BC=AC=4,则AABC为等边三角形,其外接圆半径后∣x乎x4=竽，

又由孙=3,PB=PC=5,AB=AC=4,∣JI∣JPALAB,PAlAC,故B4_L面ABC,

→-2dA、216,991

则hlll有Ro2-='+（3）=至+4=Ir

故外接球的表面积S=W=~

故选：B.

10.（5分）2022年2月冬奥会在北京召开，“三亿人参与冰雪运动”的愿景，正在亿万国人

逐渐高涨的运动热情中走向现实.小明爱上了冰壶运动，在自己家附近的冰面上和父亲

一起制作了简易冰壶场地，得分区是四个半径不等的同心圆，由内而外称为A,B,C,

。.小明每次投掷都能使得冰壶进入得分区，若每次投掷后冰壶进入A,B,C,D区的

概率分别为0∙01,01，0.3,0.59,小明投掷两个冰壶，两次投掷互不影响，则有一个冰

壶进入A或C区，另一个冰壶进入B或。区的概率为（）

A.1B.0.2139C.0.4278D.0.1958

【解答】解：投掷一个冰壶进入A或C区域的概率为0.01+0.3=0.31,

投掷一个冰壶进去B或。区域的概率为0.1+0.59=0.69,

小明投掷两个冰壶,则有一个冰壶进入A或C区,另一个进入B或。区的概率为P=6X

0.31X0.69=0.4278,

故选：C.

11.(5分)已知/(x)=∕n(x+2)+√7TT-晶，则曲线y=∕(x)在点(3,f(3))处的

切线方程为()

A.2x-10>>+10∕n5-1=0B.2x+10y+10∕n5-1=0

C.Λ-12y+12∕n5-15=0D.x+∖2y+∖2ln5-15=0

【解答】解：因为f(%)="(x+2)+√Frl-晶,

所以尸(X)=杀+1_3(x+3)-3x(x+3)'_J_+_______9

2√x+l(x+3)2—x+22√x+l(χ+3)2

所以1(3)

因为/⑶=^+InS,

11

所以曲线y=fG)在点(3,/(3))处的切线方程为y-(-÷Zn5)=⅛(X-3),

2ɔ

即2χ-10尹10/〃5-1=0.

故选：A.

12.(5分)已知双曲线C：4-⅛=l(α>0,b>0)的左、右焦点分别为Q,F2,一条渐

ab

一ττ

近线方程为y=√∑c,过双曲线C的右焦点上作倾斜角为］的直线/交双曲线的右支于A,

B两点，若aAQB的周长为36,则双曲线C的标准方程为()

X2y2X2y2

A.---=1B.---=1

2442

,V2χ22

C.X2-⅛=1D.--y=l

22J

【解答】解：因为双曲线的一条渐近线方程为y=四久，

所以6=V∑α,c=√3α,

Tr

因为直线/的倾斜角为3

所以直线/的方程为)，=√3(x-√3a),

设4(xi，yι),B(X2，”)，

f≡!-j±=ι

联立(次2a2可得——6√5αx+IlM=o,

Iy=√3(x-√3α)

则Xl+X2=6√5α,XIX2=11/,

22

所以∣A3∣=2λ∕(%ι+&)2-4%IX2=2√108α-44α=16«,

因为HFl∣÷∣BFι1=lΛF2∣+∣BF2∣+4β=HBl+4。=20。,

由周长为36可得20g+16〃=36,即。=1,

所以双曲线方程为/一。=1.

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

ΛX_IV≤11

一’一，若lV∕（α）W2,则实数。的取值范围为—⅛一

｛2

Iog2Xrx>l

log43]U(2,4]

【解答】解：已知函数/（x）=[*—i'*≤ι

Uog2%，x>l

若lV∕（α）≤2,

ɑ≤1Ta>l

则,1<4α-1≤2或

,1<log2a≤2

a≤1

解得

I<α≤log43

'∆2<a≤4

1

即为3Va<bg43或2V〃W4.

故答案为：（alog4引U（2,4].

14.（5分）设数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，已知的=g=α∏+2=1""''为"'数'，则

Un+1>C为偶数

S2〃等于_1一£+ɪ一•

【解答】解：由QI=热an+2=^an（〃为奇数），

可得数列｛如｝的奇数项构成以之为首项，以之为公比的等比数列;

由。2=乎即+2=。〃+1（〃为偶数），

可得数列｛斯｝的偶数项构成以[为首项，以1为公差的等差数列.

∙*∙S2n=(αi+α3+∙∙∙+02〃-1)+(。2+〃4+・一+。2〃)

_W),1一一n(n-1)x111,n2

=不"22=]_/+，

故答案为：I-■十+导.

15.(5分)在三棱柱ABC-AlBICl中，AAl，底面ABC,AB=BC=CA=,点P是棱

4

44上的点，AP=2PAi,若截面BPCl分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为

∏V-

—4—'

【解答】解：取4B∣中点。，连接CiD,

由题意知：AABC为等边三角形，则BICl为等边三角形，.∙.CιCAιBι,

•.•44|，平面4?(?,平面ABC〃平面AlBlC1，平面A向。，

又。。U平面AlBlC1，.'.AAiJLC↑D,

VAAbAlBlU平面ABBIA1，CiO-L平面A8B∣4,

设AAl=4,则AB=BC=A出=BIG=2,ΛC1D=√3,A1P=

∙*∙SAABC=2*2x2Xg=vɜ,S梯形BBlAlP=)X(w+4)x2=可，

1116

取,

:∙KlBC-A遇ICl=SMBCT"I=4Vc1-BB1A1P=^^BB1A1P'CID=ɜ×ɪ×ʌ/ɜ=

16√3

~9~9

16很

._______PCLBBIAIP_________"V-_4

Vv5，

ABC-A1B1C1^C1-BB1A1P

9

45

即这两部分的体积比为二或：

54

、.45

故答案为：;或：

54

16.(5分)已知抛物线Γ：√=8x的焦点为F,四边形ABa)的顶点都在抛物线上，三点F,

D,8共线，AC垂直平分线段DB,若AB与CB垂直，则直线DB的方程为y=x-2

或y=-x+2,四边形ABCD的面积为128√3.

【解答】解：由题意得尸(2,O),AC,8。的斜率存在，

设Bo所在的直线方程为X=OIy+2,B(x∣,yi),DCx2,”)，BO的中点尸，

联立Q二黑+2可得y2-8∕wγ-16=0,

所以)'l+y2=8m,y∖yi~~16,x∖+x2-m(y1+y2)+4=8m2+4,

所以P(2+4m2,4m),

所以∣B3∣=√(1+m2)((8τn)2-4×(-16)=8+8∕n2,

因为AC垂直平分8。，

设AC所在直线方程为X=-^y+4m2+6,

设A(X3，”)，C(X4,丫4)，

2

联立直线AC的方程与抛物线方程可得y2+^-y-32τn-48=0,

0-1O

所以y3+y4=一帚丁3)4=-32∕n2-48,x3+x4=一而。3+丫4)+ɛ^ɪ2+12=+Sm2+12,

4ɔ4

Q(--+4m-+6,-----),

τn2机

所以IPQI=J*+春)2+扁+4m)2,

因为AC垂直平分线段且AB与CB垂直，

所以A,B,C,。四点共圆且是以AC为直径，。为圆心的圆，

ɪ1

所以一∣BO∣2+∣PQ∣2=;MCI2,

44

222

(8+8m)4,2/4,,212λ2l+2m

4m2m4vym2

解得m=∖或机=-I,

所以BD所在的直线方程为y=x-2或y=-x+2,

11

所以∣B0=16,μq=16√3,四边形的面积S=那DllAG=WXI6X16√^=128√5.

故答案为：y=χ-2或y=-x+2；128√3.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17,21题为必考题，

每个试题考生都必须作答，第22,23题为选做题，考生根据要求作答.（一）必考题：共

60分

17.（12分）某校组织学生观看“太空授课”，激发了学生的学习热情.学校组织Io（X）名学

生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：［50,60）,［60,70）,［70,80）,［80,90）,

190,IOOJ,得到如图所示的频率分布直方图.如图中未知的数据4,b,C成等差数列，

成绩落在区间［60,70）内的人数为400.

（1）求出直方图中α,b,C的值；

（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；

（3）若从得分在区间［50,60）内的学生中抽取2人编号为A,B,从得分在区间［90,IOOJ

内的学生中抽取6人编号为1,2,3,4,5,6,组成帮助小组，从1,2,3,4,5,6

中选3个人帮助A,余下的3个人帮助3,求事件”1,2帮助A”的概率.

u5060708090100成绩

【解答】解：(1)根据题意，图中未知的数据4,6,c成等差数列，成绩落在区间[60,

70)内的人数为400,

则IOaXIOoo=400,则a=0.04,

又α+c=2∕?,(0.005+a+⅛+c+0.005)×10=l,得c=0.02,b=0.03,

(2)因为(0.005+0.04)×10=0.45,设中位数为x,则x∈[70,80),

所以(0.005+0.04)×10+(%-70)×0.03=0.5,得X=71.7,即中位数为71.7,

平均数为(55X0.005+65×0.04+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=73,

(3)从1,2,3,4,5,6中选3个人帮助A,余下的3人帮助B,

所以可能结果为(只列出帮助A的学生)(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),

(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),

(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),(3,4,6),

(3,5,6),(4,5,6)共20个基本事件，

其中满足1,2帮助A的有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6)共4个,

41

故满足“1,2帮助A”的概率一=二

205

八一CosAcosC

18.(12分)在aABC中1，----=-----.

2b-ac

(1)求角C的大小.

(2)若α=3,Z∖A2C的面积为6g,。为A3的中点，求Co的长.

cosAcosC

【解答】(1)解：因为一;---=-----，所以CCOS4=(2。-〃)CoSe

2b-ac

由正弦定理可得SinCCoSA=(2SinB-SinA)cosC,

即sinCcosΛ+sinAcosC=2sin∕JcosC,

即sin(C+A)=2SinBCOsC,

即Sin(π-B)=2SinBCOSG

即SinB=2sin8cosC,

又在三角形中SinB>0,所以COSC=ɪ,

因为C∈(0,π),所以C=*

(2)解：因为SC=WabSinC=6Λ∕3,即一×3b×—=ðʌ/ɜ,所以b=8,

又。为AB的中点，所以CB=T(21+C⅛,

222

所以必=i(c½+CB)=1(CA+CB+2CA-CB),

BP∣CD∣2=i(∣Ol∣2+∣C⅛∣2+2∖CA∖■∖CB∖cosC)=ɪ(82+32+2×3×8×ɪ)=

所以ICBl=毋，

√97

即CD的长为---.

2

19.(12分)如图，四棱锥P-ABCO中，DALABfPD±PCfPBl.PC,AB=AD=PD=

4

PB=I,CoSNoC8=*

(1)求证：平面PAC；

(2)求四棱锥P-ABe。的体积.

【解答】（1）证明：∖∙PDJ∙PC,PBLPC,PB=PD,ΛRt∆PDC≡Rt∆PBC,.∖BC^DC,

又PBCPD=P,.∙.PCJ-平面PBD,；8。U平面PBO,：.PClBD,

"：AB=AD,BC=CD,易知ACLLB。，

又YACCPC=C,.∙.BO_L平面Λ4C;

（2）解：如图，设AC交8。于0,则。是8。的中点，连接OP.

_A

由（1）知，BC=CD,又BD=VLcos∆DCB=ɪ,

在ABCD中，由余弦定理得：BD1=BC2+DC1-2BC∙DC∙cosZDCB,

BP2=2BC2-2BC2∙∣,解得BC=5,

:.oc=y∕βc2-OB2=J5_、=5,OA=号,OP=√PB2-OB2=Jι-∖=孝,

PC=y∕BC2-PB2=√Γz7T=2,

VPC15F≡PBD,OPU平面尸80,

：.PCLOP,.∙.SΔPCO=∣∙0P∙PC=∣×^×2=^,

上SAP40OA„γ√2√2

由SNC0_OCδpao~ɪ2^6,

•Q_Q,Q_>∕2l42_2∕Σ

•∙APAC—d∆PCO十d∆PΛO一区十^δ^~~~3~f

1孥4

2

XXX√2一

-2一-

39

*∙^P-ABCD=2Vβ-p4c

4

.∙.四棱锥P-ABs的体积为g∙

P

χz∙yz∙

20.⑴分)已知坐标原点为。，直角三角形AoB的顶点A在椭圆森+至=1上运动，顶

点B在直线y—4上运动.

(1)求证：坐标原点O到斜边AB所在直线的距离是常数.

(2)求斜边AB的最小值.

【解答】(1)证明：设4(xo,)，o),当直线OA的斜率为0时，即A(±4,0),贝∣]B(0,

4),

则坐标原点。到斜边AB所在直线的距离为d=但弟般==2√2.

4√2

当直线04的斜率不存在时，不存在满足条件的B点.

所以直线OA的斜率存在，当直线OA的斜率不为O时，设∕QA:y=kx,

1

则IOB：y——%x，则B(-4匕4),

(y=kx2(入)2

即,

由今+若=1，可得口+丁=LT=Γ⅛

Vioo

16

⅞2=

222

1+2216∕C16(fc+l)

所以,2，则|。坪=16(⅛+l),IoAF=XO2+),()2=16

16kl+2fc22^^l+2fc2，

7o2=l+2fc

l+2fc2

ɔ?9

IABI2=∣OA∣2+∣Oβ∣2=16(fe+ŋ+16(⅛2+l)=文、+?

l+2√l+2√

7

I。*2χ∣OB∣2_16(∕∕+l)χl^U

所以/==8,即d=2√∑,

MBl232(∕C2+1)

1+2∕C2

所以坐标原点O到斜边AB所在直线的距离是常数2√Σ

(2)解：由(1)可得当直线04的斜率为0时，∣AB∣=4√2,

当直线。4的斜率不为O时，IABI2=32(/+,2,

1+25

设，=1+2必>0,则F=与i,所以∣AB∣2=32(χ+l)=8(d+jt+l),

即∣AB∣2=8(什"+2),当Al时，y=f+*单调递增，所以什空2,

故∣A8∣2=8(r+∣+2)>32,即∣48∣>4√L

综上所述，IAB|24近，故HBl的最小值为4√Σ

px9/-

21.(12分)已知函数/(X)=彩—tlnx,g(X)=—>F(x)=f(X)-g(x).

(1)当/=1时，求证：F(X)>0对于任意正实数X恒成立.

(2)若函数/(x)在(0,2)上有且仅有两个极值点，求实数f的取值范围.

p