第08讲 排列组合（十五大题型）（解析版）

第08讲排列组合【题型归纳目录】【知识点梳理】知识点一、排列的概念1、排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．知识点诠释：（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．知识点二：排列数1、排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示．知识点诠释：“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；2、排列数公式，其中n，m∈N+，且m≤n．知识点诠释：公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．知识点三：阶乘表示式1、阶乘的概念：把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即．规定：．2、排列数公式的阶乘式：所以．知识点四：排列的常见类型与处理方法1、相邻元素捆绑法2、相离问题插空法3、元素分析法4、位置分析法知识点五：组合1、定义：一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．知识点诠释：（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或未被取到．知识点六：组合数及其公式1、组合数的定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．知识点诠释：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．2、组合数公式：（1）（、，且）（2）（、，且）知识点诠释：上面第一个公式一般用于计算，但当数值、较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．知识点七：组合数的性质性质1：（、，且）性质2：（、，且）知识点诠释：规定：．知识点八、组合问题常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．（3）分堆问题①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为．（4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．（5）相同元素分组问题用“隔板法”：【典型例题】题型一：与排列数有关的运算【例1】（2024·福建·高二校联考期末）可表示为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故选：B.【变式1-1】（2024·北京大兴·高二统考期末）若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由排列数计算公式可得，解得或.由于且，故.故选：C.【变式1-2】（2024·高二课时练习）已知，则（

）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】因为，则，整理可得，解得，经检验，满足题意．故选：C.题型二：组合概念及组合数公式【例2】（2024·黑龙江双鸭山·高二双鸭山一中校考阶段练习）（

）A．110 B．98 C．124 D．148【答案】A【解析】.故选：A.【变式2-1】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）已知，则可能取值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因为，则或，解得或.故选：D.【变式2-2】（2024·高二课时练习）使不等式（n为正整数）成立的的取值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，为正整数，，在中，为正整数，，因为，则有，即，解得，因此有，为正整数，所以的取值可以是或或．故选：D．题型三：排列的定义及其理解【例3】（2024·高二课时练习）下列问题是排列问题的是（

）A．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？【答案】B【解析】选项A：从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，选出的2人并未排序，因而不是排列问题，不合题意；选项B：10个人互相通信一次，选出2人要分出寄信人和收信人，是排列问题，适合题意；选项C：平面上有5个点，任意三点不共线，从中任选2个点即可确定1条直线，这2个点不分顺序.因而不是排列问题，不合题意；选项D：从1，2，3，4四个数字中，任选两个数字相加即得1个结果，这2个数字不分顺序，因而不是排列问题，不合题意.故选：B．【变式3-1】（多选题）（2024·江西新余·高二校考阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（

）A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点【答案】ACD【解析】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确；对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误；对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确；对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确.故选：ACD.【变式3-2】（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）下列问题属于排列问题的是（

）A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳B．从10人中选2人去游泳C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数【答案】AD【解析】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．故选：AD题型四：组合的定义及其理解【例4】（多选题）（2024·高二单元测试）下列是组合问题的是（

）A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？【答案】ABC【解析】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．故选:ABC．【变式4-1】（2024·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）下列四个问题属于组合问题的是（

）A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长【答案】C【解析】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.故选：C.【变式4-2】（2024·山西晋中·高二校考期末）下列问题中不是组合问题的是（

）A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线C．集合的含有三个元素的子集有多少个D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法【答案】D【解析】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题；因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题；因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题；因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题，故选：D题型五：位置分析法【例5】（2024·北京西城·高二期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（

）A．720 B．960 C．1120 D．1440【答案】B【解析】把甲乙捆绑成一个元素，则题设中的7个元素变为6个元素，先排除去丙的5个元素，共有种排法，再在中间的4个空隙中，插入丙，共有种插法，所以甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有种.故选：B.【变式5-1】（2024·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）4个人排成一排，则甲不站两边的站法有（）A．8 B．10C．12 D．24【答案】C【解析】甲不站两边的有种方法，故选：C【变式5-2】（2024·广东汕头·高二校考阶段练习）小李和小张等5名同学相约去旅游，在某景点排成一排合影留念，则小李不在两端，且小张不在正中间位置的排法数是（

）A．84 B．60 C．48 D．36【答案】B【解析】若小李在正中间，则排法数为；若小李不在正中间，也不在两端有种，然后小张有种排法，剩下的三人全排列有种.所以，所求排法数为.故选：B题型六：相邻问题捆绑法【例6】（2024·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）现有7本不同的书，2本文学类，2本理科类，3本语言类，把它们排成一排，同一类的书相邻的排法有种.【答案】144【解析】采用捆绑法，将同一类的书放在一起后排列可得.故答案为：144.【变式6-1】（2024·上海松江·高二上海市松江二中校考阶段练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，则“礼”与“乐”不能相邻，“射”和“御”要相邻的排法种数是.【答案】144【解析】由题意“乐”与“书”不能相邻，“射”和“御”要相邻，可将“射”和“御”进行捆绑看成一个整体，共有种，然后与“礼”､“数”进行排序，共有种，最后将“乐”与“书”插入4个空即可，共有种，由于是分步进行，所以共有种.故答案为：144.【变式6-2】（2024·高二课时练习）五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有种．【答案】24【解析】把甲在乙的左边进行捆绑相当于一人，与剩下的三人全排列，不同的站法共有，故答案为：24题型七：不相邻问题插空法【例7】（2024·贵州毕节·高二校考阶段练习）甲、乙、丙、丁四人去电影院看电影，有4张连排的座位，要求甲、乙两人不相邻而坐，则不同安排方法的种数为．【答案】12【解析】4张连排的座位，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的2人进行全排列，有种排法，再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法.故答案为：12【变式7-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考阶段练习）8人排成一排照相，A、B、C三人互不相邻，D、E也不相邻，不同的排法共有种．【答案】11520【解析】A、B、C三人互不相邻的排法共有种，其中D、E相邻的排法有种，所以符合条件的排法共有种．故答案为：11520【变式7-2】（2024·高二课时练习）显示屏上的七个小孔排成一排，每个小孔可以显示红、黄、蓝三种颜色，或不显示．若每次由其中三个小孔显示一组红、黄、蓝三色信号，但相邻的两个小孔不同时显示，则该显示屏能够显示的不同信号数为．【答案】60【解析】先将不显示信号的排成一列，排好后有5个空位，在5个空位中任取3个，有种取法，即7个小孔中，每次有不相邻的3个小孔显示的情况有10种，又因3个小孔显示的颜色不相同，则3个小孔共有种情况；则共有种不同的结果；故答案为：60．题型八：定序问题【例8】（2024·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校考阶段练习）由0到9这10个自然数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“267”）顺序排列的数的个数是.【答案】【解析】先不考虑0的情况，则从这9个数字中按题中条件选出3个数字，共种情形，再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，综上各位数字按严格递增（如“267”）顺序排列的数的个数是个.故答案为：.【变式8-1】（2024·北京·高二东直门中学校考期末）2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，则有种不同的排法．【答案】360【解析】2名女生和4名男生排成一列，男生甲和乙的顺序一定，∴共有种不同排法，故答案为：360.【变式8-2】（2024·高二课时练习）用数字0，1，2，3，4，5可组成个没有重复数字的四位数，在这些四位数中，按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数为．【答案】3002301【解析】法一(直接法)：(个)．法二(间接法)：(个)．1在首位的数的个数为；2在首位且0在第二位的数的个数为；2在首位且1在第二位的数的个数为；以上四位数共有84个，故第85个数是2301.故答案为：300，2301.【变式8-3】（2024·高二课时练习）已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有种．【答案】480【解析】甲乙丙的三个人顺序种，其中甲乙两人均在丙的同侧有4种，在丙的两侧有2种，故甲乙两人均在丙领导人的同侧占总数的，则甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法共有种．故答案为：480题型九：分组分配问题【例9】（2024·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）某校安排高一年级（1）～（5）班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高（1）班被安排到A基地的排法总数为种．【答案】60【解析】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一（1）班被安排到A基地，那么总的排法是种，如果是还有一个班和高一（1）班一起被安排到A基地，那么总的排法是种，所以高一（1）班被安排到A基地的排法总数为种．故答案为：60.【变式9-1】（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项．甲、乙、丙、丁、戊、己6位记者为亚运会的3个项目写新闻稿，每个项目至少有1人写，且每个人只写1份稿件，甲、乙两位记者不能写一样的项目，则共有种分配方法．【答案】390【解析】法一：①6人分成的形式．若甲、乙两人均单人成组，则剩下四人组成一组，只有1种分组方法；若甲、乙两人中有一人与余下四人中的三人组成一组，余下一人单独成组，则有（种）分组方法，所以该种分组形式共有（种）分组方法．②6人分成的形式．若甲、乙两人均有搭档，共有（种）分组方法；若甲、乙中有一人无搭档，共有（种）分组方法，所以该种分组形式共有（种）分组方法．③6人分成的形式，共有（种）分组方法．所以共有（种）分组方法，共有（种）分配方法．法二：①6人分成的形式，则共有（种）分组方式，若甲乙同组，则还需选择两人成组，共有（种）选法，故共有（种）分组方式．②6人分成的形式，则共有（种）分组方式，其中甲乙同组，剩下四人还可以分为的形式，共有（种）分法，或者分为的形式，共有（种）分法，故共有（种）分组方式．③6人分成的形式，共有（种）分组方式，其中甲乙同组，剩下四人还可以分为的形式，所以共有（种）分组方式，故共有（种）分组方式．综上，共有（种）分组方式，共有（种）分配方法．故答案为：390.【变式9-2】（2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）2023年杭州亚运会召开后，4位同学到三个体育场馆做志愿者服务活动，每个体育场馆至少一人，每人只能去一个体育场馆，则不同的分配方法总数是．【答案】36【解析】由题意可知必有一个场馆是两名志愿者，先将四名同学分成三组，即每组各有人，再进行排列，则有种方法.故答案为：【变式9-3】（2024·北京·高二北京市第十二中学校考期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），不同分法的总数为．【答案】【解析】问题等价于：在个相同的篮球中间形成的个空位中插入两块板，所以，不同的分法种数为种.故答案为：.题型十：隔板法【例10】（2024·河北保定·高二校联考期末）现有6个三好学生名额，计划分到三个班级，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为.【答案】【解析】将6个三好学生名额分到三个班级，有3种类型：第一种是只有一个班分到名额，有3种情况；第二种是恰好有两个班分到名额，由隔板法得有种情况，第三种是三个班都分到了名额，由隔板法得有种情况，则恰有两个班分到三好学生名额的概率为．故答案为：．【变式10-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）有本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数为（用数字作答）．【答案】【解析】将本相同的画册要分给个小朋友，每个小朋友至少一本，只需在本相同的画册形成的个空位中（不包括两端的空位）插入块板即可，所以，不同的分法种数为种.故答案为：.【变式10-2】（2024·重庆·高二校联考阶段练习）若方程：，则方程的正整数解的个数为.【答案】35【解析】原问题相当于将8个相同的小球装入4个不同的盒子中，每个盒子中至少有1个小球，采用隔板法，将8个小球排成一排，在其中的7个空位上插入3个隔板即可，故共有种.故答案为：35.题型十一：先选后排【例11】（2024·江苏·泰州中学高二阶段练习）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有___________种不同的答题顺序．【答案】60【解析】将6只灯笼全排，即，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有．故答案为：60【变式11-1】（2024·江西·浮梁县第一中学高二阶段练习）标号为0到9的10瓶矿泉水．（1）从中取4瓶，恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式，作为射击的靶子，规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下），把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A、B、C三名垃圾回收入员，每个瓶子1角钱．垃圾回收入员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？【解析】试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论试题解析：（1）取4张红卡，其中有2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有种方法，然后在卡片上从左到右依次编号，取出红色卡，一种插法对应一种取数字的方法，所以共有35种．（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面．所以共有．（3）由于A、B、C所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关．所以．题型十二：分堆问题【例12】（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期末）已知有9本不同的书．(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为；（2）从9本书中，先取2本作为一堆，再从剩下的7本中取3本作为一堆，最后4本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为．【变式12-1】（2024·全国·高二专题练习）已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.【变式12-2】（2024·高二课时练习）有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？(1)甲分1本、乙分2本、丙分3本；(2)一人分4本，另两人各分1本.【解析】（1）依题意分书可分为以下三步：第一步：先从6本里面选一本给甲，有种分法；第二步：再从剩下的5本里面选两本给乙，有种分法；第三步：将剩下的三本给丙，有种分法.由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种.（2）依题意分书可分为以下两大步：第一步：先从6本里面选4本，再从3人里面选1人将刚刚选取的4本分给他，由分步乘法计数原理可知有种分法；第二步：先从剩下的两本中选一本给剩下两人中的其中一人，最终将最后一本给剩下一人,由分步乘法计数原理可知有种分法.因此由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有种.题型十三：间接法【例13】（2024·海南·三亚华侨学校高二阶段练习）从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：（1）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（2）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？【解析】解：（1）根据题意，从5名男生中选出2人，有种选法，从4名女生中选出2人，有种选法，则4人中男生和女生各选2人的选法有种；（2）先在9人中任选4人，有种选法，其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有种，则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有种；【变式13-1】（2024·江苏·连云港市赣马高级中学高二阶段练习）现有9名学生，其中女生4名，男生5名．（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种安排方法？【解析】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有种，所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有种．（2）从中选出男、女各2名的不同选法有种．

（3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有种，将这4人安排到四个不同的岗位共有种方法，故共有种安排方法．题型十四：多面手问题【例14】某出版社的11名工人中，有5人只会排版，4人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从11人中选4人排版，4人印刷，有多少种不同的选法？【解析】试题分析：根据分类加法计数原理，这个问题可按只会印刷的四人作为分类标准：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，即可．试题解析：将只会印刷的4人作为分类标准，将问题分为三类：第一类：只会印刷的4人全被选出，有种；第二类：从只会印刷的4人中选出3人，有种4；第三类：从只会印刷的4人中选出2人，有种．所以共有（种）．考点：分类加法计数原理、组合．【例15】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有多少种方法？（2）由这个数字组成没有重复数字的四位偶数由多少个？（3）某旅行社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余人既会英语，也会日语，现从中选人，其中人进行英语导游，另外人进行日语导游，则不同的选择方法有多少种？【解析】（1）把本不同的书分给位学生，每人至少一本，有和两类分配方式为时，共有：种分法分配方式为时，共有：种分法由分类加法计数原理可得，共有：种分法（2）若个位是，共有：个若个位不是，共有：个由分类加法计数原理可得，共有：个（3）若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法若只会英语的人中选了人作英语导游，共有：种选法由分类加法计数原理可得，共有：种选法题型十五：几何问题【例16】（2024·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期末）如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是.【答案】36【解析】如果一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对.如下图所示：①对于正方体的每一条棱，都有个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个；②对于正方体的每一条面对角线（如，则平面），均有一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有个.综上所述，正方体中的“正交线面对”共有个.故答案为.【变式16-1】（2024·重庆·高二统考期末）已知直线中的、、是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角．那么这样的直线的条数是．【答案】43【解析】设直线的倾斜角为θ，则．不妨设，则．（1）时，a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复（与为同一直线），故这样的直线有（条）；（2）时，则a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有（条）．从而，符合要求的直线有（条）．故答案为：43．【变式16-2】（2024·上海宝山·高二上海交大附中校考期末）正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种不同选法【答案】12【解析】从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况，所以，所有共面的情况有种，而每条棱均重复计数一次，综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有种.故答案为：12【变式16-3】（2024·江苏扬州·高二扬州中学校考期末）已知直线中的a，b，c是取自集合中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是．【答案】11【解析】设倾斜角为，，则，不妨设，则，若，a有2种取法，b有2种取法，排除1个重复(与)，故这样的直线有条；若，a有2种取法，b有2种取法，c有2种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有条，从而，符合要求的直线有条．故答案为：11．【过关测试】一、单选题1．（2024·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考）为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（

）A．12 B．45 C．60 D．90【答案】C【解析】5名志愿者参加文明监督岗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为：.故选：C.2．（2024·新疆伊犁·高二统考）为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（

）A．18种 B．36种 C．72种 D．144种【答案】C【解析】由题意可得，故选:C3．（2024·广东江门·高二校考）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数的个数为（

）A．120 B．86 C．72 D．60【答案】D【解析】依题意，组成的无重复数字的三位数的个数为.故选：D4．（2024·吉林·高二校联考期末）计算的值是（

）A．62 B．102 C．152 D．540【答案】A【解析】故选：A5．（2024·江西上饶·高二校考阶段练习）五一小长假期间，旅游公司决定从6辆旅游大巴A､B､C､D､E､F中选出4辆分别开往紫蒙湖､美林谷､黄岗梁､乌兰布统四个景区承担载客任务，要求每个景区都要有一辆大巴前往，每辆大巴只开往一个景区，且这6辆大巴中A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有（

）A．360 B．240 C．216 D．168【答案】B【解析】这6辆旅游大巴，A､B不去乌兰布统，则不同的选择方案共有种.故选：B.6．（2024·河南·高二统考）从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（

）A．24 B．48 C．72 D．120【答案】C【解析】从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，可分为以下几步：（1）先从5人中选出4人，分为两种情况：有甲参加和无甲参加．有甲参加时，选法有：种；无甲参加时，选法有：种．（2）安排科目有甲参加时，先排甲，再排其它人．排法有：种．无甲参加时，排法有种．综上，．∴不同的参赛方案种数为72．故选：C．7．（2024·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（

）A．18 B．150 C．36 D．54【答案】C【解析】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况，根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；故共有：36种分派方法，故选：．8．（2024·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（

）A．18 B．24 C．30 D．32【答案】C【解析】从到共有条最短路径，从到共有条路径，故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.故选：C二、多选题9．（2024·四川·高二校联考阶段练习）有五名志愿者参加社区服务，共服务周六､周天两天，每天从中任选两人参加服务，则（

）A．只有1人未参加服务的选择种数是30种B．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是40种C．只有1人未参加服务的选择种数是60种D．恰有1人连续参加两天服务的选择种数是60种【答案】AD【解析】由题意得只有1人未参加服务，先从5人中选1人，未参加服务，有种选法，再从余下4人中选2人参加周六服务，剩余2人参加周日服务，有种选法，故只有1人未参加服务的选择种数是种，A正确，C错误；恰有1人连续参加两天服务，先从5人中选1人，服务周六､周天两天，有种选法，再从余下4人中选1人参加周六服务，剩余3人选1人参加周日服务，有种选法，故恰有1人连续参加两天服务的选择种数是种，B错误，D正确，故选：AD10．（2024·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】A选项，，A错误；B选项，根据组合公式得到，B正确；C选项，，，故，C正确；D选项，，D错误.故选：BC11．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（

）A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法【答案】ABC【解析】对于A，有种排法，故A正确；对于B，采用捆绑法，有种排法，故B正确；对于C，采用插空法，有种排法，故C正确；对于D，有种排法，故D错误．故选：ABC12．（2024·陕西渭南·高二渭南市华州区咸林中学校考阶段练习）排列数恒等于（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】，，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D正确；故选：BD三、填空题13．（2024·辽宁葫芦岛·高二统考期末）某单位为葫芦岛市春节联欢会选送了甲、乙两个节目，节目组决定在原有节目单中6个节目的相对顺序保持不变的情况下填加甲乙两个节目，若甲、乙演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为.（用数字作答）【答案】42【解析】由已知甲乙2个节目不相邻，排好的6个节目相对顺序不变，即把2个节目插入6个节目形成的7个空中，共有种.故答案为：42.14．（2024·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）将5个数字5、3个数字3排成一列，组成八位数，共有个（用数字作答）.【答案】【解析】数字个数相当于从8位数字中选3个作为3，其余数字都是5，即共有个.故答案为：5615．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增），则称其为“古典数字”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有个【答案】6【解析】由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数，前3个数字保持递减，后3个数字保持递增，说明中间数字为1，在剩余的四个数字中任取两个数字，按照递减顺序（或递增顺序），仅有一种排列方式放置在首两位（或末两位），则剩余两位数字排列方式唯一确定，放置在最后两位（或首两位），共有：个，故答案为：6.16．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为【答案】504【解析】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，排法有种，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，①若“乐”在第二周，则射有四种选法，然后剩余四项全排列，则共有种排法②若“乐”不在第二周，则“射”与乐共有种选法，然后剩余四项全排列则共有种，由分类加法原理可得总的排法数为，故答案为：504.四、解答题17．（2024·辽宁抚顺·高二校联考期末）有7个人分成三排就座，第一排2人，第二排2人，第三排3人，且第一排､第二排只有2个座位，第三排只有3个座位.(1)如果甲不能坐第一排，共有多少种不同的坐法？(2)求甲､乙坐在同一排且相邻的概率.【解析】（1）甲先坐第二排或第三排，再与其他6个人排列，共有种不同的坐法.（2）第一类：甲､乙先坐第一排或第二排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法.第二类：先将甲､乙看成一个整体，坐在第三排，再与其他5个人排列，共有种不同的坐法.故甲､乙坐在同一排且相邻的概率为18．（2024·陕西汉中·高二西乡县第一中学校考阶段练习）电影《志愿军雄兵出