第02讲：一元二次函数、方程和不等式 原卷版

第02讲：一元二次函数、方程和不等式【考点梳理】考点一：不等式的性质应用 考点二：基本不等式求积的最大值考点三：基本不等式求和的最小值 考点四：二次或者二次商式的最值问题考点五：基本不等式“1”的妙用 考点六：条件等式求最值考点七：基本不等式的恒成立求参数问题 考点八：含参数的一元二次不等式的解法考点九：由一元二次不等式来确定参数的范围 考点十：一元二次不等式在实数上恒成立问题考点十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题 考点十二：一元二次不等式在某区间有解立问题考点十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题【知识梳理】知识点一等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正知识点三．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．知识点四：．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.知识点五：．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)知识点六一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点七二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【题型归纳】题型一：不等式的性质应用1．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）设，则下列不等式中正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·全国·高一期末）已知，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，则3．（2023上·浙江杭州·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则题型二：基本不等式求积的最大值4．（2024上·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，为正实数，，则的最大值为（

）A． B． C． D．5．（2023上·西藏林芝·高一校考期中）下列命题中正确的是（

）A．若，且，则B．若，则C．若，则D．对任意，均成立.6．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型三：基本不等式求和的最小值7．（2024上·云南昆明·高一统考期末）下列说法正确的是（

）A．若，则的最小值为2 B．若，则的最小值为2C．若正实数满足，则的最小值为2 D．若，则的最小值为48．（2024上·湖北孝感·高一校考期末）下列结论正确的是（

）A．当时，B．当时，的最小值是2C．当时，的最小值是5D．设，，且，则的最小值是9．（2023上·重庆·高一西南大学附中校考期中）已知，且，则的最小值是（

）A．2 B．4 C． D．题型四：二次或者二次商式的最值问题10．（2021下·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）函数（）的最小值为（

）A． B． C． D．11．（2022上·辽宁大连·高一育明高中校考期末）“”是“关于的不等式（）有解”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．（2022上·江西南昌·高一统考期末）当时，函数的最小值为．题型五：基本不等式“1”的妙用13．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知，且，则的最小值为.14．（2023上·河北保定·高一保定一中校联考期中）已知，且，则的最小值是.15．（2023上·辽宁丹东·高一统考期中）已知正实数满足，则的最小值为.题型六：条件等式求最值16．（2023上·江苏南京·高一期末）已知实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．17．（2023上·黑龙江·高一校联考期中）已知，，，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．418．（2023上·辽宁·高一校联考期中）若，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型七：基本不等式的恒成立求参数问题19．（2023上·安徽六安·高一校考期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．20．（2023上·四川内江·高一威远中学校校考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．或C． D．或21．（2023上·河南信阳·高一信阳高中校考期末）若关于x的不等式对于一切实数x都成立，则实数a的范围是（

）A．； B．； C．； D．．题型八：含参数的一元二次不等式的解法22．（2023上·河南南阳·高一社旗县第一高级中学校联考期中）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．23．（2023上·安徽阜阳·高一安徽省临泉第一中学校联考期中）已知不等式的解集为且，则不等式的解集为（

）A． B．或C． D．或24．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知函数.(1)若关于的不等式解集为，求实数的取值范围；(2)解关于的不等式.题型九：由一元二次不等式来确定参数的范围25．（2024上·云南大理·高一统考期末）不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（2023上·云南曲靖·高一校考期中）已知一元二次不等式的解集为，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．427．（2023上·山东临沂·高一统考期中）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．题型十：一元二次不等式在实数上恒成立问题28．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（

）A． B．C． D．29．（2023上·辽宁鞍山·高一期中）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．30．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数m的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或题型十一：一元二次不等式在某区间恒成立问题31．（2023上·全国·高一期末）已知，，，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．32．（2023上·四川凉山·高一校联考期中）若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．33．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型十二：一元二次不等式在某区间有解立问题34．（2023上·福建·高一福建省罗源第一中学校联考期中）若至少存在一个，使得关于的不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．35．（2023上·浙江·高一校联考期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．36．（2023上·福建·高一校联考期中）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．题型十三：一元二次不等式恒成立和分类讨论综合问题37．（2024上·河北张家口·高一统考期末）已知函数.(1)，，求a的取值范围；(2)若，，，求a的取值范围.38．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数.(1)若对一切实数都成立，求实数的取值范围；(2)当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.39．（2023上·河北石家庄·高一校考期中）设．(1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式．【强化精练】一、单选题40．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件41．（2023上·四川成都·高一石室中学校考期中）下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则42．（2024上·河南·高一南阳中学校联考期末）“”是“不等式对任意的恒成立”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要43．（2023上·江西新余·高一校考期中）不等式的解集是，则的解集是（

）A． B． C． D．44．（2024上·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）已知实数，则的（

）A．最小值为1 B．最大值为1 C．最小值为 D．最大值为45．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）已知，且，则的最小值为（

）A．1 B． C．9 D．46．（2024上·上海青浦·高一统考期末）已知.且，则下列结论正确的是（

）①；②的最小值为；③的最小值为；④的最小值为.A．①②④ B．①②③ C．①② D．②③④二、多选题47．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）对于实数，，，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，48．（2023上·广东深圳·高一校考期中）下列说法正确的是（

）A．命题“，都有”的否定是“，使得”B．当时，的最小值为C．若不等式的解集为，则D．“”是“”的充分不必要条件49．（2023上·陕西咸阳·高一统考期中）下列结论正确的是（

）A．若方程没有根，则不等式的解集为B．若不等式的解集是，则C．若关于的不等式的解集为，则D．不等式的解集为50．（2023上·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知，则下列正确的是（

）A．的最大值为 B．的最小值为C．最大值为8 D．的最大值为6三、填空题51．（2023上·全国·高一期末）已知，，则的取值范围是.52．（2024上·上海·高一上海市向明中学校考期末）若关于的不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是53．（2023上·上海奉贤·高一统考期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为.54．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）已知正实数满足，则的最小值是.55．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期末）已知，且，则的最