第01讲 空间向量及其运算【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第01讲空间向量及其运算【人教A版2019】·模块一空间向量及其线性运算·模块二空间向量的数量积运算·模块三课后作业模块一模块一空间向量及其线性运算1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))减法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))数乘当λ>0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；当λ<0时，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a.(3)共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明三点共线.【注】：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点.4．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面平行.【考点1空间向量的线性运算】【例1.1】（2023·全国·高二专题练习）12a+2A．-52a-4c B．-5【解题思路】根据向量的线性运算求解即可.【解答过程】12故选：C.【例1.2】（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）如图，在ABCD中，点M,N分别是棱AD,CD的中点，则12BD+A．CA B．AC C．NM D．MN【解题思路】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【解答过程】如图所示，连接BM,BN，因为M,N分别是棱AD,CD的中点，所以12故选：C.【变式1.1】（2023·全国·高二专题练习）若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（

）A．ABB．2C．ABD．AB【解题思路】根据空间向量的线性运算逐一分析各个选项即可得出答案.【解答过程】对于A，AB+2对于B，2AB对于C，AB+对于D，AB-故选：A.【变式1.2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为O，点M在A．-12AB+76ADC．-12AB+56AD【解题思路】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.【解答过程】因为平行六面体ABCD-A'B'C'故可得OM=OB+BM=1212AB-AD+2故选：D.【考点2由空间向量的线性运算求参数】【例2.1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知在长方体ABCD-A1B1C1DA．3 B．2 C．1 D．-2【解题思路】利用空间向量的运算法则即可求解.【解答过程】依题知，∵AD∴x=-1,y=z=1，∴x+y+z=1．故选：C.【例2.2】（2022秋·山东烟台·高二校考阶段练习）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点MA．12 B．1 C．-12【解题思路】根据空间向量加法，数乘运算求解即可.【解答过程】解：因为点M为棱DD1中点，所以BM=所以x故选：A.【变式2.1】（2023秋·山东泰安·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点A．x=-12,y=C．x=-12,y=-【解题思路】根据空间向量的线性运算即可求解.【解答过程】根据题意，得；BE==又∵∴x=-故选：A.【变式2.2】（2023春·高二课时练习）设a1=2m-j+k，a2=m+3j-2k，a3=-2m+j-3k，aA．1，-2，-3B．-2，1，-3C．-2，1，3D．-1，2，3【解题思路】根据条件可得(2λ+μ-2υ)m+(-λ+3μ+υ)【解答过程】a4即(2λ+μ-2υ)m所以2λ+μ-2υ=3-λ+3μ+υ=2λ-2μ-3υ=故选：B.【考点3向量共线的判定及应用】【例3.1】（2023秋·高二课时练习）AB与CD共线是直线AB∥CD的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据向量共线的定义，结合充分条件和必要条件的概念判断即可.【解答过程】根据向量共线的定义，可知若AB与CD共线，则它们所在的直线可能平行，也可能重合；若AB∥CD，则AB与CD共线；根据充分条件和必要条件的概念，可知AB与CD共线是直线AB∥CD的必要不充分条件，故选B.【例3.2】（2023·江苏·高二专题练习）满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是()A．AB+BC=C．AB=BC D【解题思路】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.【解答过程】对于空间中的任意向量，都有AB+BC=若AB-BC=AC，则AC+BC=AB，而AB=BC，则A、B、C三点共线，选项AB=BC，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项故选C.【变式3.1】（2022·高二课时练习）已知非零向量a=3m-2n-4p，b=(x+1)m+8n+2yp，且A．-13B．-5C．8D．13【解题思路】先由向量平行，得到b=λa，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y【解答过程】∵a//b且a≠0，∴又m、n、p不共面，∴x+1=3λ8=-2λ2y=-4λ，解得x=-13，y=8，故选：B.【变式3.2】（2022·全国·高一专题练习）若a=-i+2j-k，b=-3i+6j-3A．可组成锐角三角形 B．可组成直角三角形C．可组成钝角三角形 D．不构成三角形【解题思路】由共线定理判断是否共线可知.【解答过程】由题知，b所以a→所以a､b､c不构成三角形.故选：D.【考点4向量共面的判定及应用】【例4.1】（2023秋·高一单元测试）下列条件能使点M与点A,B,C一定共面的是（

）A．OMB．OMC．OMD．OM【解题思路】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【解答过程】设OM=xOA+yOB+z对于A，OM=OA-OB-对于B，OM=OA+OB+对于C,OM=-OA-OB+对于D，OM=-OA-OB+3OC，由于-1-1+3=1故选：D.【例4.2】（2023·全国·高二课堂例题）已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，且OP=mOA+2OB+A．-1 B．-2 C．-3 D．1【解题思路】由题知，存在x,y∈R，使得AP=xAB+y【解答过程】解：因为A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，所以，根据共面向量基本定理，存在x,y∈R，使得AP因为AP=OP-OA，所以OP-OA=x因为OP=m所以，1-x-y=mx=2y=1故选：B.【变式4.1】（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知A,B,C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由OP=15OA+13OB+λA．-23 B．23 C．7【解题思路】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.【解答过程】由P与A,B,C三点共面以及OP=可得，15+1故选：C.【变式4.2】（2023春·高二课时练习）已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足A．点O是唯一的，且一定与A、B．点O不唯一，但一定与A、C．点O是唯一的，但不一定与A、D．点O不唯一，也不一定与A、【解题思路】由OA+2OB+3OC=0，可得OA=-2OB【解答过程】由空间向量的知识可知a,b,c共面的充要条件为存在实数因为OA+2所以OA=-2所以OA,所以O,A,B,C四点共面，因为OA+2OB+3所以点O唯一.故选：A.模块二模块二空间向量的数量积运算1．空间向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)范围：0≤〈a，b〉≤π.特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a⊥b⇔a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2运算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空间向量夹角的计算求两个向量的夹角：利用公式＝求，进而确定．4．空间向量数量积的计算求空间向量数量积的步骤：(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入求解．【考点5空间向量数量积的计算】【例5.1】（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）如图，在四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=45°，AD=2，AB=AC=3.则BC⋅BD

A．32 B．52 C．92【解题思路】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解.【解答过程】BC===3×=9故选：C.【例5.2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1DA．1 B．0 C．-1 D．-2【解题思路】利用空间向量的运算法则即可求解.【解答过程】由正方体的性质可得，AB⊥AD,AB⊥故选：B.【变式5.1】（2023秋·河南新乡·高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,M,N分别是A1C1,BB

A．4 B．5 C．6 D．8【解题思路】连接AN,AM，将待求表达式转化进行运算简化.【解答过程】连接AN,AM，由棱柱性质，侧棱AA1⊥平面A1B1C故AM=AA1AG⋅故选：C.【变式5.2】（2023秋·重庆·高二校联考期末）已知EF是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在正方体的棱上运动，则ME⋅MF的最小值为（A．-48 B．-32 C．-16 D．0【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得ME⋅MF的表达式|OM|【解答过程】如图，EF是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线，由正方体的特征可得其外接球半径为82设外接球球心为O，则ME⋅=|MO由于点M在正方体的棱上运动,故|OM|2即为正方体面对角线的一半，为82所以ME⋅MF的最小值为故选：C.【考点6空间向量的夹角及其应用】【例6.1】（2023春·广西柳州·高二校考阶段练习）已知a、b都是空间向量，且a,b=2π3A．π3 B．π6 C．2π3【解题思路】利用空间向量的数量积运算即可得到答案【解答过程】解：∵∴a⋅b∴cos2a,-3b∵2a,-3b故选：A.【例6.2】（2023·全国·高三对口高考）在三棱锥V-ABC中，VA⊥BC,VB⊥AC，则VC与AB的夹角为（

）A．60° B．90° C．30° D．不确定【解题思路】根据题意得VA⋅BC=【解答过程】∵VA⊥BC,VB⊥AC，∴VA⋅∴VA⋅BC=∴VB⋅VC-VA∴VC⋅AB=0，则VC与AB的夹角为90°．故选：B．【变式6.1】（2023春·高二课时练习）若非零向量a，b满足a=b，(2a-b)⋅b=0A．30° B．60° C．120° D．150°【解题思路】设a与b的夹角为θ，则由(2a-b)⋅b=0，a=【解答过程】设a与b的夹角为θ，因为(2a-b所以2a因为非零向量a，b满足a=所以cosθ=因为θ∈[0,π]，所以θ=π3，即故选：B.【变式6.2】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AAA．30° B．45° C．60° D．90°【解题思路】根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.【解答过程】∵AC1==1+1+1+2×1×1×-12+2×1×1×-1故选：C.【考点7利用空间向量的数量积求模】【例7.1】（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知单位向量a，b，c中，a⊥b，a,c=A．5 B．5 C．6 D．6【解题思路】根据题意，由空间向量的模长公式，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为a⊥b，a,c=b,则a=1+1+4-0+4×1×1×故选：D.【例7.2】（2023春·福建莆田·高二统考期末）如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，其中AB=2，AD=4，

A．9 B．29 C．47 D．4【解题思路】由AC1=【解答过程】由ACAC因为底面ABCD是矩形，AB=2，AD=4，AA所以AC2=AC因为∠A所以AB所以2ACA故选：C.【变式7.1】（2023春·高二课时练习）平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD-A1B1C1D1所有棱长都为A．3-1 B．2-1 C．3-2【解题思路】由BD1=【解答过程】如图：由B∴==1+1+1-2×1×1×=3-2∴|B故选：C.【变式7.2】（2023春·甘肃天水·高二统考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=

A．AC1=a+b+C．AC1=a+b+【解题思路】用向量的线性运算可直接求得AC1【解答过程】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，∵AC∴A=1+1+1+0+2×1×1×1∴AC故选:C．【考点8空间向量数量积的应用】【例8.1】（2023秋·高二课时练习）已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m=2e1+3eA．-6 B．6 C．3 D．-3【解题思路】由m⊥n，可得m⋅n=0，再将m=2【解答过程】因为a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线所以e1⊥e因为m⊥n，所以m⋅所以2ke12-8e故选：B.【例8.2】（2023春·江苏镇江·高二校考期末）如图，二面角A-EF-C的大小为45∘，四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则B、D两点间的距离是（

A．2 B．3 C．3-2 D．【解题思路】利用二面角的定义可得出∠AED=45∘，由空间向量的线性运算可得出DB=EA【解答过程】因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形，则AE⊥EF，DE⊥EF，又因为二面角A-EF-C的大小为45∘，即∠AED=45∘因为DB=DE+EA+所以，DB=1+1+1-2×1×1×故选：C.【变式8.1】（2023春·福建宁德·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AC⋅AD=0，AB⋅AD=0，点M为A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能【解题思路】根据题意，结合向量的线性运算与数量积，可得AM⊥AD，进而可知△AMD为直角三角形.【解答过程】∵点M为BC的中点，∴AM=∴AM⋅∴AM⊥AD，∴△AMD为直角三角形.故选：C.【变式8.2】（2022秋·北京西城·高二校考阶段练习）已知四边形ABCD满足：AB⋅BC=0，BC⋅CD=0，A．以下答案都不对 B．不确定C．空间四边形 D．矩形【解题思路】利用反证法证明A,B,C,D共面，再根据向量数量积为0，则向量垂直，即可判断四边形形状.【解答过程】若A,B,C,D共面，因为AB⋅BC=0，BC⋅CD所以AB⊥BC，BC⊥CD，若A,B,C,D不共面，在平面ABC内过A作AD'//BC，且A则四边形ABCD'为平行四边形，由AB⋅所以四边形ABCD'为矩形，所以BC⊥CD'，由又因为CD∩CD'=C，CD,C所以BC⊥平面DCD'，因为所以AD'⊥平面CDD'，因为CD⊂平面CD∴CD⊥DA，因为AD∩AD'=A，AD,A∴CD⊥平面ADD'，又因为DA⋅AB=0AD∩AD'=A，AD,AD'⊂平面所以CD//AB，所以A,B,C,D四点共面，这与假设矛盾，故A,B,C,D共面，综上：该四边形为矩形.故选：D.模块三模块三课后作业1．（2023春·江苏南京·高二校考期中）已知正方体ABCD-A'B'C'D'，点E是A'C'A．13AAC．13AA【解题思路】根据空间向量的分解，线性表示方法可求解.【解答过程】因为AE==A所以AF=故选:D.2．（2023秋·广西防城港·高二统考期末）如图，设O为平行四边形ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若OE=12OD+xA．-2 B．0 C．-1 D．3【解题思路】根据向量的线性运算的几何表示，得出OE=1【解答过程】∵E为OC的中点，∴OE∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∴OE∵OE∴x=12，∴x+y=0，故选：B.3．（2023春·福建莆田·高二统考期末）若点P∈平面ABC，且对空间内任意一点O满足OP=14OA+λA．-58 B．-38 C．【解题思路】根据条件得出P，A，B，C四点共面，再根据OP=14【解答过程】∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四点共面，又OP=∴14+1故选：D．4．（2023·江苏·高二专题练习）已知空间向量a，b，a=1，b=2，且a-b与a垂直，则aA．60∘ B．30∘ C．135∘【解题思路】根据已知可得a-b⋅a【解答过程】因为a-b与a垂直，所以即a2所以cosa又0∘≤a故选：D.5．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）设向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据A，C，D三点共线，可得AC//CD，则存在唯一实数μ，使得AC【解答过程】由AB=e1得AC=因为A，C，D三点共线，所以AC//则存在唯一实数μ，使得AC=μ则2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得故选：C.6．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量e1，e2不共线，AB=e1+eA．AB与AC共线 B．AB与CD共线C．A，B，C，D四点不共面 D．A，B，C，D四点共面【解题思路】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A，∵12≠18，∴不存在实数λ，使得AB=λAC成立，∴对于B，∵AC=2e1+8e2，又11≠1-13，∴不存在实数λ，使得AB=λCD成立，∴对于C、D，若A，B，C，D四点共面，则有AD=x∴x+2y=3x+8y=-5，即x=17故A，B，C，D四点共面，C错误，D正确.故选：D.7．（2023·江苏·高二专题练习）在三棱锥O-ABC中，∠AOB=∠AOC=∠BOC=60∘,OB=OC=2OA=2,E为OC的中点，则AEA．-1 B．0 C．1 D．3【解题思路】由题意可得AE=1【解答过程】因为∠AOB=∠AOC=∠BOC=60所以OC⋅OA⋅OA⋅因为AE=AE=1故选：C.

8．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的各棱长均为1，

A．3 B．2+2 C．2 D．【解题思路】分析得出AC1=AB【解答过程】由已知可得AB⋅AB⋅AD=0所以AC所以AC故选：D．9．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在三维空间中，三个非零向量OA,OB,OC满足OA⊥A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或锐角三角形【解题思路】根据已知条件推出AB⋅AC>0，得∠CAB为锐角．同理可得【解答过程】因为OA⊥所以OA⋅AB=OB所以cos∠CAB=即知∠CAB为锐角．同理可知∠ABC,∠BCA也为锐角．故△ABC是锐角三角形．故选：A．10．（2023春·上海浦东新·高二校考阶段练习）空间有一四面体A-BCD，满足AD⊥AB，AD⊥AC，则所有正确的选项为（

）①DB⋅②若∠BAC是直角，则∠BDC是锐角；③若∠BAC是钝角，则∠BDC是钝角；④若AB<DA且AC<DAA．② B．①③ C．②④ D．②③④【解题思路】由题意知AD⋅AB=0，AD⋅AC=0，DB⋅DC=DA+AB⋅DA+AC=DA2+AB⋅AC可判断①；若∠【解答过程】对于①，因为AD⊥AB，AD⊥AC，所以AD⋅AB=0则DB⋅DC=对于②，若∠BAC是直角，则AB⋅DB所以∠BDC是锐角，故②正确；对于③，若∠BAC是钝角，设∠BAC=120°，AB=AD=AC=1，在△ABC中，由余弦定理可得：BC而DB=DC=2，所以在△DBC中，cos所以∠BDC为锐角，所以③不正确；对于④，DB⋅若AB<DA且AC<因为∠BAC∈0,DB→⋅DC→>0，所以故选：C.11．（2023春·高二课时练习）如图，在空间四边形ABCD中，已知G为△BCD的重心，E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点，化简下列各式：(1)AG→(2)12(3)13【解题思路】（1）根据向量共线，加法与减法运算求解即可；（2）根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则求解即可；（3）根据13AB【解答过程】（1）解：因为G为△BCD的重心，E,F为边CD,AD的中点，所以AG=AB→+所以AG（2）解：因为E,F,H分别为边CD,AD和BC的中点，