第01讲 4.1数列的概念（原卷版）

第01讲4.1数列的概念课程标准学习目标①了解数列的有关概念（项、项的表示）。②了解数列的表示方法（列表、图象、通项公式）。③了解数列是特殊的函数。会依据若干项求通项公式或某一项，能利用递推公式求解数列中的项或通项公式，并能借助数列的单调性求数列的最大项与最小项。知识点01：数列的概念1、数列的概念一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项,用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是,,…,,…,简记为.2、数列与函数的关系由于数列中的每一项与它的序号有下面的对应关系：所以数列是从正整数集（或它的有限子集{1，2，…，}）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为.也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值，，…，，…就是数列.另一方面，对于函数，如果（）有意义，那么，，…，，…构成了一个数列.知识点02:数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列其中递减数列常数列【即学即练1】（2023春·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）下列说法正确的是（

）A．数列与数列是相同的数列B．数列0，2，4，6，8，…，可记为，C．数列的第项为D．数列既是递增数列又是无穷数列【答案】C【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误；对于B：当时，，不符合，故B错误；对于C：数列的第项为，故C正确；对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误；故选：C.知识点03：数列的通项公式如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.知识点04：数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知识点05：数列的性质1、数列的单调性若数列满足对一切正整数，都有（或者），则称数列为递增数列（递减数列）；①求数列中最大项方法：当时，则是数列最大项；②求数列中最小项方法：当时，则是数列最小项；【即学即练2】（2023春·湖北·高二校联考期中）下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列．故选：C.2、数列的周期性一般地，若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则称数列为周期数列，叫做数列的周期.知识点06：数列的前项和1、数列前项和的概念我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即2、数列前项和与通项的关系当时，当时，用化简得：所以：【即学即练3】（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式．【答案】【详解】由题知，，则，，又，符合上式，所以.故答案为：题型01数列的概念及分类【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（

）A．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．B．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．C．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．D．若数列的前n项和为，则对任意，都有.【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二吴江中学校考阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列B．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列C．数列的第k项为D．数列0，2，4，6，可记为【典例3】（2023·全国·高二专题练习）已知函数，设，则下列说法中错误的是（

）A．是无穷数列 B．是递增数列C．不是常数列 D．中有最大项【变式1】（2023·高二课时练习）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，【变式2】（2023秋·福建漳州·高二校考阶段练习）已知，则数列是（

）A．递增数列 B．递减数列C．常数列 D．不确定【变式3】（2023春·高二校考课时练习）下列叙述不正确的是（

）A．1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列 B．1，3，1，3，…是常数列C．数列0，1，2，3，…的通项公式为 D．数列是递增数列题型02根据数列的前几项求通项公式【典例1】（2023·全国·高二随堂练习）根据下列数列的前4项，写出它的一个通项公式：(1)0，1，0，1，…；(2)7，77，777，7777，…；(3)，，，，…；(4)，，，，…．【典例2】（2023·全国·高二课堂例题）观察下面各数列，试着找出它的一个通项公式：(1)2，4，2，4，…；(2)9，99，999，9999，…：(3)，，，，…．【变式1】（2023秋·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）数列{an}：1，，，，…，的一个通项公式是（

）A． B．C． D．【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）写出下面各数列的一个通项公式：(1)，，，，……(2)，，，，……题型03数列中具体某项的求解与判断【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为，是否是该数列中的项？若是，是第几项？【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知无穷数列，，，…，，…．(1)求这个数列的第10项和第31项．(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？(3)证明：不是这个数列中的项．【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）在数列中，，，通项公式，其中p，q为常数，．(1)求的通项公式；(2)88是否是数列中的项？题型04利用递推关系求数列的项或通项【典例1】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程.九连环把玩时按照一定得程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第个圆环解下最少需要移动的次数记为，已知，按规则有，则解下第5个圆环最少需要移动的次数为（

）

A．4 B．7 C．16 D．31【典例3】（2023·高二课时练习）如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”（如图（乙）的实线部分），对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”（如图（丙）），这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”.设第n条“雪花曲线”有条边.（1）写出的值.（2）求出数列的递推公式.【变式1】（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多-斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”.已知数列为“斐波那契数列”且满足：，则（

）A．12 B．16 C．24 D．39【变式2】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）数列满足，且对，恒有，则（

）A．2021 B．2023 C．2035 D．2037【变式3】（2023春·四川眉山·高三校考开学考试）图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（

）

A．；n B．；C．；n D．；题型05数列的单调性的判断及其应用【典例1】（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知，则“”是“数列是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件【典例2】（2023·全国·高二随堂练习）已知下列数列的通项，画出数列的图象，并判断数列的增减性．(1)；(2)．

【典例3】（2023·全国·高二随堂练习）判断下列数列的单调性：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式1】（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2】（多选）（2023秋·高二课时练习）下列数列是单调递增数列的有（

）A． B．C． D．【变式3】（2023·全国·高二课堂例题）已知函数，设数列的通项公式为，其中；(1)求证：；(2)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由.题型06求数列中的最大(小)项【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，其最大项和最小项的值分别为（）A．1， B．0， C．， D．1，【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则当最小时，（

）A．9 B．10 C．11 D．12【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为，试判断数列的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项．【变式1】（2023·全国·高二随堂练习）已知，求该数列前30项中的最大项和最小项．【变式2】（2023·全国·高二随堂练习）已知数列的通项公式为，画出该数列的图象，并判断该数列是否有最大项，若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由．【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知数列的通项公式为．(1)写出这个数列的前5项．(2)这个数列有没有最小的项？如果有，是第几项？题型07与周期有关的数列问题【典例1】（2023秋·云南曲靖·高三校考阶段练习）数列满足，且，则数列的前2024项的和（

）A． B． C． D．【典例2】（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）数列满足，若，则等于（

）A． B． C． D．【典例3】（2023秋·江苏淮安·高三江苏省清浦中学校联考阶段练习）数列满足，则.【变式1】（2023秋·福建厦门·高三厦门大学附属科技中学校考阶段练习）若数列满足，，，则（

）A． B．－2 C．3 D．【变式2】（2023秋·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列的前项和为，设，，则（

）A． B． C． D．1012【变式3】（2023秋·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知数列中，，则．题型08根据数列的前项和求【典例1】（2023秋·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知数列的前项和（为正整数），则此数列的通项公式.【典例2】（2023秋·天津和平·高三天津市第二十一中学校考阶段练习）已知是数列的前n项和，且满足，则数列的通项公式.【典例3】（2023秋·上海徐汇·高二上海民办南模中学校考阶段练习）若数列的前项和为，则.【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足，则数列的通项公式为.【变式2】（2023秋·河北邢台·高二邢台市第二中学校考期末）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为.【变式3】（2023春·新疆喀什·高二校考阶段练习）已知数列的前n项和，则数列的通项公式为．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）数列-4，7，-10，13，…的一个通项公式为（

）A． B．C． D．2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）已知数列满足，若，则（

）A．2 B． C． D．3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）记为数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．4．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）设数列满足，则（

）A．7 B． C． D．5．（2023·河南·校联考模拟预测）《几何原本》是一部不朽的数学巨著，在这本书的第10卷中给出了“穷竭法”的基本命题.所谓“穷竭”指的是一个变量，它可以小于任意给定的量.根据穷竭法的基本命题，设数列满足，，，…，，…，若，则m可能取到的最大值为（

）.A．5 B．6 C．7 D．86．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）在数列，，，，…，，…中，是它的（

）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项7．（2023春·福建福州·高二校联考期中）如下图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中且．记，如记为，记为，记为，以此类推；设数列的前项和为，则（

）

A．1 B．0 C．—1 D．28．（2023秋·高二课时练习）已知数列满足，若为递增数列，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（）A． B．C． D．10．（2023·全国·高二专题练习）已知数列满足：（），且数列是递增数列，则实数a的可能取值是（

）A．2 B． C． D．3三、填空题11．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，则此数列最大项的值是.12．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍