5．3 诱导公式（六大题型）（原卷版）

5．3诱导公式【题型归纳目录】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题题型二：利用诱导公式求解给值求值问题题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用题型五：诱导公式的综合应用题型六：利用互余互补关系求值【知识点梳理】知识点一：诱导公式诱导公式一：，，，其中诱导公式二：，，，其中诱导公式三：，，，其中诱导公式四：，．，，其中知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；（2）记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；（3）必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；（4）；．知识点二：诱导公式的记忆诱导公式一～三可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名，“符号”是指等号右边是正号还是负号，“看象限”是指把看成锐角时原三角函数值的符号．诱导公式四可用口诀“函数名改变，符号看象限”记忆，“函数名改变”是指正弦变余弦，余弦变正弦，为了记忆方便，我们称之为函数名变为原函数的余名三角函数．“符号看象限”同上．因为任意一个角都可以表示为的形式，所以这六组诱导公式也可以统一用“口诀”：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角（为常整数）的三角函数值：当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号．用诱导公式进行化简时的注意点：（1）化简后项数尽可能的少；（2）函数的种类尽可能的少；（3）分母不含三角函数的符号；（4）能求值的一定要求值；（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等．知识点三：利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向是：①化负角的三角函数为正角的三角函数；②化为内的三角函数；③化为锐角的三角函数．可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）．【典型例题】题型一：利用诱导公式求解给角求值问题例1．（23·24上·山西·阶段练习）（

）A． B． C． D．例2．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）（

）．A． B． C． D．例3．（22·23上·周口·期末）的值为（

）A． B． C． D．变式1．（22·23下·温州·期中）等于（

）A． B． C． D．变式2．（22·23下·塔城·阶段练习）的值为（

）A． B． C． D．变式3．（22·23上·塔城·期末）的值是（

）A． B． C． D．变式4．（22·23下·自贡·期中）（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤（1）“负化正”：用公式一或三来转化．（2）“大化小”：用公式一将角化为到间的角．（3）“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角．（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．题型二：利用诱导公式求解给值求值问题例4．（21·22下·南充·阶段练习）已知，则（）A． B．C． D．例5．（23·24上·哈尔滨·阶段练习）已知的终边上有一点，则的值为（

）A． B． C． D．例6．（22·23下·萍乡·期中）已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．变式5．（22·23下·佛山·阶段练习）已知函数，且，则的值为（

）A． B．1 C．3 D．变式6．（22·23上·金华·阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．变式7．（23·24上·全国·课时练习）已知，则的值为（

）A． B．C． D．变式8．（23·24上·保定·阶段练习）已知函数，，且，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6变式9．（22·23上·泰安·期末）若，则等于（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】解决条件求值问题的方法（1）解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．（2）可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型三：诱导公式在三角函数式化简中的应用例7．（19·20上·广安·期末）已知.(1)化简；(2)若是第三象限角，且，求的值.例8．（23·24上·苏州·阶段练习）已知.(1)若，求的值；(2)若，求的值.例9．（22·23下·佛山·阶段练习）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．变式10．（22·23下·齐齐哈尔·开学考试）已知，，(1)化简；(2)若为第三象限角，且，求的值.变式11．（22·23下·全国·课时练习）设，化简：变式12．（22·23下·长春·阶段练习）已知函数.(1)化简函数的解析式；(2)若，，求的值.变式13．（22·23下·南充·期中）已知.(1)化简；(2)若为第四象限角，且，求的值.变式14．（22·23下·枣庄·阶段练习）已知．(1)化简；(2)若，．【方法技巧与总结】三角函数式化简的常用方法（1）合理转化：①将角化成，，的形式．②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角的三角函数．（2）切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．（3）注意“1”的应用：．（4）用诱导公式进行化简时，若遇到的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．题型四：诱导公式在三角函数证明中的应用例10．（20·21·全国·课时练习）求证：当或3时，.例11．（21·22上·全国·课时练习）（1）求证：；（2）设，求证.例12．（20·21·全国·专题练习）求证：变式15．（20·21·全国·专题练习）求证：．变式16．（20·21·全国·课时练习）证明：，．变式17．（21·22·全国·课时练习）求证：=.【方法技巧与总结】三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．题型五：诱导公式的综合应用例13．（22·23·全国·专题练习）已知，且为第三象限角．(1)求的值；(2)求的值．例14．（22·23上·盐城·期末）已知函数且(1)若，求的值；(2)若函数满足，求的值．例15．（21·22上·全国·课时练习）（1）已知是方程的根，求的值；（2）已知，，且，，求和的值.变式18．（23·24上·宿迁·期末）在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角．(1)求；(2)求的值．变式19．（22·23下·湖南·期中）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．(1)求，的值；(2)求的值．变式20．（20·21上·荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为．(1)若，求点的坐标；(2)若，求的值．变式21．（22·23上·成都·期末）（1）已知，化简并求值.（2）已知关于的方程的两根为和，.求实数以及的值.【方法技巧与总结】解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用时导致的混乱．题型六：利用互余互补关系求值例16．（23·24·遵义·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．例17．（23·24上·绵阳·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．例18．（22·23下·驻马店·期中）已知，则（

）A． B． C． D．变式22．（22·23下·达州·阶段练习）已知则=（

）A． B． C． D．变式23．（21·22下·茂名·期中）若，则（

）A． B． C． D．变式24．（23·24上·常州·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】巧用相关角的关系会简化解题过程．观察所求角与已知角是否具有互余、互补等特殊关系．在转化过程中可以由已知到未知，也可以由未知索已知．常见的互余关系有，；，；，等．常见的互补关系有，；，等．【过关测试】一、单选题1．已知角终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．2．如图，点A为单位圆上一点，，已知点A沿单位圆按逆时针方向旋转到点，则的值为（

）

A． B． C． D．3．（

）A． B． C． D．4．已知是第四象限角，且，则（

）A． B． C． D．5．已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．6．已知，且为第二象限角,，则的值为（

）A．－ B．－C． D．－7．若的内角A，B，C满足，则A与B的关系为（

）A． B． C． D．8．若，且，则（

）A． B． C． D．9．已知，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题10．在中，下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．11．质点A和B在以坐标原点O为圆心、半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发．A的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；B的角速度大小为1rad/s，起点为射线与的交点．当A与B重合时，点A的坐标可以是（

）A． B．C． D．12．已知，，则可能等于（

）A． B． C． D．13．已知，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题14．化简：.15．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则16．已知，则等于．17．已知，则的值为．四、解答题18．求下列三角函数值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(