离散型随机变量的均值与方差-高考数学练习（北师大版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题6.3离散型随机变量的均值与方差

【基础知识梳理】...............................................................................1

【考点1：求离散型随机变量的均值】............................................................1

【考点2：均值的性质】.........................................................................7

【考点3：求离散型随机变量的方差】...........................................................11

【考点4：方差的性质】........................................................................16

【基础知识梳理】

1.离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

⑴称E(X)=MPI+MP2+∙∙∙+X"+∙∙∙+XW“为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变

量取值的平均水平.

(2)称O(X)=(Xi—E(X))20为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,

其算术平方根而百为随机变量X的标准差.

2.均值与方差的性质

(l)E(aX+b)=aE(X)+hi

(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,6为常数).

［方法技巧1

求离散型随机变量的均值与方差的步骤

⑴找出随机变量X的所有可能取值XM=I,2,3,…，")；

(2)求出各取值的概率P(X=xi)=pii

(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;

(4)利用公式求均值或方差.

【考点1：求离散型随机变量的均值】

【知识点：求离散型随机变量的均值】

1.(2023,河南平顶山•校联考模拟预测)甲、乙两人进行围棋比赛，两人共比赛两局，每局比赛甲赢的概

率为0.6,两人平局的概率为0.1,设每局的胜方得3分，负方得-1分，若该局为平局，则两人各得2分.

(1)求甲、乙各赢一局的概率；

(2)记两局结束后甲的最后得分为X,求X的数学期望.

【答案】(I)0.36

(2)3.4

【分析】(1)由题可知比赛乙赢的概率为0.3,甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙赢第•局

甲赢第二局.据此可得答案：

(2)依次写出对局情况及相应概率，后可计算期望.

【详解】(1)依题意可得每局比赛乙赢的概率为0.3,甲、乙各赢一局相当于甲赢第一局乙赢第二局或乙

赢第一局甲赢第二局，故甲、乙各赢一局的概P=2x0.6x0.3=0.36.

(2)若甲赢两局，得分6分，P(X=6)=0.62=0.36；

若甲一嬴一平，得分5分，P(X=5)=2×0.6×0.1=0.12；

若甲平两局，得分4分，P(X=4)=0.12=0.01；

若甲一赢一输，得分2分，P(X=2)=2×0.6×0.3=0.36；

若甲一平一输，得分1分，P(X=I)=2X0,3X0.1—0.06；

若甲输两局，得分一2,P(X=-2)=0.32=0.09.

故E(X)=6×0.36+5×0.12+4×0.01+2×0.36+1×0.06-2×0.09=3.4

2.(2023•四川•校联考一模)甲袋中装有大小相同的红球2个，白球2个：乙袋中装有与甲袋中相同大小

的红球3个，白球4个.先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出3个小球.

⑴求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；

⑵记从乙袋中取出的3个小球中白球个数为随机变量¢,求《的分布列和数学期望.

【答案】⑴5

(2)分布列见解析，数学期望E(f)=修.

【分析】(1)分"从甲袋中取出1红球投入乙袋"和"从甲袋中取出1白球投入乙袋”两个类型，利用组合

数和古典概型公式。求从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率；

(2)白球个数S的可能值为0,1，2,3,分别计算相应的概率，列出分布列，用公式求数学期望.

【详解】(1)记“乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球"为事件A,包含如下两个事件："从甲袋中取出1

红球投入乙袋，然后从乙袋取出的3个小球中仅1个红球从甲袋中取出1白球投入乙袋，然后从乙袋取

出的3个球中仅1个红球”，

分别记为事件A2,且必与4互斥,

则P(&)WX警=V

又P(4)∕x警=』

所以PG4)=P(41)+P(4)=^+⅛∣=∣J

则从乙袋中取出的3个小球中仅有1个红球的概率为1

56

(2)白球个数ξ的可能值为0,1,2,3.

p(<=°)=∣×i÷⅛×⅛=⅛=⅛

1、GclC?,Cic?d7839

P(ξ=I)=-Xɪɪ+一X=—=—

jQCfC；Cg224112

P"2)=Wχ胆+弦X乌G=W≤-二

LG以Xeɜ+C；XCj22456

玛Cl禺Cl287

P(ξ=3)CI×CI+CI×CI=224=56∙

则f的分布列为

ξ0123

539277

P

H21125656

所以,^(C=θ×⅛+l×⅛+2×⅛+3×^=189

112,

3.(2023•全国・深圳中学校联考模拟预测)用1、2、3、4个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用

到一次.

⑴求所有满足条件的六位数的个数；

(2)记数字1用到的次数为f,求f的分布列和数学期望.

【答案】⑴1560

(2)分布列见解析，EG)=I

【分析】(1)分两种情况讨论：①一个数字用了3次，其余三个数字都只用「1次；②两个数字用了2次,

其余两个数字用了1次.利用组合计数原理、倍缩法以及分类加法计数原来可求得满足条件的六位数的个数;

(2)分析可知，随机变量f的可能取值有1、2、3,计算出随机变量f在不同取值下的概率，可得出随机变

量f的分布列，进一步可求得E(J)的值.

【详解】(1)解：用1、2、3、4四个数字组成一个六位数，要求每个数字都至少用到一次，分成两种情况:

①一个数字用了3次，其余三个数字都只用了1次，满足条件的六位数的个数为普

=480个;

②两个数字用了2次，其余两个数字用了1次，满足条件的六位数的个数为蛉=1080.

所有满足条件的六位数的个数为480+1080=1560个.

(2)解：记数字1用到的次数为。f可能的取值为1、2、3,

C遮IC舔

21⅛-360+540_15

P&=1)=

15601560-26,

修

7272Q

^=2)=⅛⅛=⅛PG=3)=需1

13

所以，f的分布列如下表所示:

4.(2023•山东临沂•统考一模)为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛

活动，已知所有学生的成绩均位于区间［60,100］,从中随机抽取IooO名学生的竞赛成绩作为样本，绘制如

图所示的频率分布直方图.

(1)若此次活动中获奖的学生占参赛总人数30%,试估计获奖分数线；

(2)采用比例分配分层随机抽样的方法，从成绩不低于80的学生中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取2

人，记成绩在［90,100］的人数为。求f的分布列和数学期望.

【答案】⑴82

(2)分布列见解析，T

【分析】(1)根据频率分布直方图先判断出获奖的分数线所在的区间，设为X,则成绩在［x,100］的概率为

0.3,列出方程即可得解；

（2）先写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，从而可得分布列，再根据期望的计算公式计算期望

即可.

【详解】（1）根据直方图可知，成绩在［80,100］的频率为（0.025+0.010）X10=0.35,大于0.3,

成绩［9（Mo0］的频率为0.1,小于0.2,

因此获奖的分数线应该介于［80,90）之间，

设分数线为X∈［80,90）,使得成绩在区IO0］的概率为0.3,

即（90-X）X0.025+0.010×10=0.3,

可得X=82,

所以获奖分数线划定为82；

(2)成绩在［80,90)的人数有7Xθθɑɪɪɑ=5人,

成绩在［90,100］的人数为7—5=2人,

贝此的可能取值为0,1，2,

%=0)=婴=理

S7C；21

P(f=1)=婴=U,

S)G21

P(f=2)=等=

jC∣21

f的分布列为

012

10101

P

21五21

团数学期望E(O=OXM+lx∕+2x盘■=：.

5.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈九中校考期末）如图是飞行棋部分棋盘图示，飞机的初始位置为0号格,

抛掷一个质地均匀的骰子，若抛出的点数为L2,飞机在原地不动；若抛出的点数为3,4,飞机向前移一

格；若抛出的点数为5,6,飞机向前移两格.记抛掷骰子一次后，飞机到达1号格为事件4记抛掷骰子两次

后，飞机到达2号格为事件B.

导012345•••

⑴求P(B|4)；

(2)抛掷骰子2次后，记飞机所在格子的号为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

【答案】明

(2)分布列见详情：E(X)=2

【分析】(1)求出在抛一次后达到一号格的条件下，抛第二次飞机前移一格的概率，即可得出答案.

(2)求出随机变量X的可能取值即每个变量X对应的概率，即可求出随机变量X的分布列，再由期望公式即

可求出X的数学期望.

【详解】(1)由题意，在抛一次后达到一号格的条件下，

抛第二次飞机前移一格的概率为;=所以P(BI4)=ɪ

633

(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,

P(X=O)=G)2=9P(X=l)=2×i×i=;,

P(X=2)=ɑ)2+2×i×i=i,P(X=3)=2×ɪ×ɪ=ɔ

∖J/JJJO«3V

P(X=4)=(1)2=i,

则随意变量X的分布列为：

X01234

12121

P

99399

12121

E(X)=θ×ξ+l×ξ+2×-+3×-+4×ξ=2

6.(2023・湖南娄底•高三涟源市第一中学校联考阶段练习)2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球

赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲

举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、第二次世界大战后首次由从

未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.小胡、小陈两位同学参加学校组织的世界杯知识答题拿积分比赛

游戏，规则如下：小胡同学先答2道题，至少答对一道题后，小陈同学才存机会答题，同样也是两次答题

机会，每答对一道题获得5积分，答错不得分.小胡同学每道题答对的概率均为：，小陈同学每道题答对的概

率均为|,每道题是否答对互不影响.

⑴求小陈同学有机会答题的概率；

⑵记X为小胡和小陈同学一共拿到的积分，求X的分布列和数学期望.

【答案】⑴荒

⑵分布列见解析，E(X)=手

【分析】(1)利用对立事件及独立事件的概率乘法公式计算即可；

(2)先求出变量取值的概率，然后列出随机变量的分布列，利用期望公式求解即可

【详解】(1)记"小陈同学有机会答题"为事件4

所以P(A)=I-P⑷=1-(1-［)x(1-A葛，

所以小陈同学有机会答题的概率曜.

(2)X的所有可能取值为0,5,10,15,20,

所以P(X=O)=(I_yx(i_y=a

P(x=5)=cm)×(ι-∣)×(ι-∣)2=⅛

P(X=I。)=Ge)X(ITXG(汴(1/+侍晨("3吟

P(X=I5)=洸)χ(一肌针+G),c"∣)Xgl)=M

P(X=2。)=(丁X(I)E

所以X的分布列为:

X05101520

111151

P

162448124

所以E(X)=0x2+5>⅛+10x方+15xV+20x>热

【考点2：均值的性质】

【知识点：均值的性质】

1.(2022春•江苏常州•高二校考期末)下列说法正确的是()

A.离散型随机变量的均值是［0,1］上的一个数

B.离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平

C.若离散型随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X+1)=4

D.离散型随机变量X的均值E(X)=叩位…土和

【答案】B

【分析】利用离散型随机变量的均值的定义即可判断选项AB；

结合离散型随机变量的均值线性公式即可判断选项C；

由离散型随机变量的均值为E(X)=XkXi访印可得D选项.

【详解】对于4离散型随机变量的均值是一个常数，不一定在［0,1］上,

故A错误，

对于B,散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，

故B正确，

对于C,离散型随机变量X的均值E(X)=2,

则E(2X+1)=ZE(X)+1=5,

故C错误，

对于D,离散型随机变量X的均值E(X)=∑}L1xipi,

故D错误.

【答案】D

【分析】根据分布列求出E(f),再根据期望的性质计算可得.

【详解】解：依题意可得E(f)=lx；+2x；+3x；+4x；=1,

663ɔ6

所以ES)=E(2f+5)=2E(f)+5=2×^+5=⅛.

63

故选：D.

3.(2023・高三课时练习)已知X的分布列如下表所示，设y=2X+3,则E(Y)的值为

X-101

11

36

【答案】I

【分析】先求出随机变量X的均值，再根据其性质求解.

【详解】因为E(X)=(-l)x；+Ox：+lx：=—g

Z363

所以E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=2×(-ɪ)+3=

故答案为：ɪ.

4.(2023•全国•高二专题练习)国庆节期间某商场开展了一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾

客可以免费抽奖一次，抽奖的规则如下：箱子内装有10张大小、形状、材质完全相同的卡片，其中写有

“喜""迎""国""庆〃的卡片各两张，另两张是没有写汉字的空白卡片；顾客抽奖时，一次性抽取4张卡片，抽

完后卡片放回，记抽出的四张卡片上的汉字的个数为〃(若出现两个相同的汉字，则只算一个，如抽出

"迎""迎""国""庆"，则n=3),若Ti=4则中一等奖，九=3则中二等奖，n=2则中三等奖，n41时没有奖

励.商场规定：一等奖奖励20元购物券，二等奖奖励10元购物券，三等奖奖励5元购物券.

⑴求某位顾客中一等奖的概率；

(2)若某位顾客可以抽奖2次，记2次抽奖所获购物券的总金额为X,求X的数学期望.

【答案】(1)悬

(2)分布列见解析,E(X)=乎

【分析】(1)根据古典概型概率公式即得；

(2)设一次抽奖所获奖励为匕可得取值为20,10,5,0,然后结合排列组合知识及概率公式分别求概率

进而可得分布列及期望，进而即得.

【详解】(1)由题意设获一等奖的概率为P,则P="=盘；

(2)设一次抽奖所获奖励为匕则y的可能取值为20,10,5,0,

O

团P(Y=20)=P(n=4)=ʌ,

Ci×24+Cl×C∣×2256

P(Y=10)=P(n=3)=

QXGX22+小22+以_39

P(Y=5)=P(n=2)=

P(,Y=0)=P(n≤1)=-⅜=ɪ

V>]0XUO

所以y的分布列为:

所以E(X)=2E(Y)=苧

5.(2023•全国•高三专题练习)某工厂两条生产线分别生产甲、乙两种元件，元件质量按测试指标划分为:

指标大于或等于76为正品，小于76为次品.现分别从两条生产线随机抽取元件甲和元件乙各100件进行检

测，检测结果统计如下:

测试指标[60,68)[68,76)[76,84)[84,92)[92,100]

元件甲12840337

元件乙17840287

⑴试分别估计生产一件元件甲、一件元件乙为正品的概率；

⑵生产一件元件甲，若是正品则盈利90元，若是次品则亏损10元；生产一件元件乙，若是正品则盈利IOO

元，若是次品则亏损20元，则在(1)的前提下：

①求生产5件元件乙所获得的利润不少于300的概率；

②记X,y分别为生产IOoo件元件甲和IOOO件元件乙所得的总利润，试比较E(X)和以丫)的大小.(结论不

要求证明)

【答案】(1)甲为正品的概率3，乙为正品的概率］

(2)①裳；②E(X)=E(Y)

【分析】(1)用元件甲和元件乙为正品的频率估计生产一件元件甲和生产一件元件乙为正品的概率;

(2)①利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式求解；

②先计算生产一件甲元件的利润和生产一件乙元件的利润，再计算并比较E(X)和E(Y)的大小.

【详解】(1)由已知100件甲元件的样本中正品的频率为把寄=£

100件乙元件的样本中正品的频率为"鬻=p

1004

所以生产一件元件甲为正品的概率为支

生产一件元件乙为正品的概率为K

4

(2)①设生产的5件乙元件中正品件数为4，则有次品5-X件，由题意知IooX-20(5-X)N300得到X=

4,5,

设“生产5件乙元件所获得的利润不少于300元"为事件C,则P(C)=Ctφ4×;+C≡φ5=ɪ.

②设生产一件甲元件的利润为f,则f的所有取值为90,-10,

则P(f=90)=pP(f=-10)=i,

所以f的分布列为：

90-10

41

P

55

£,(0=90Xg-IOXg=70,所以E(X)=F(IOOOf)=1000E(f)=1000×70=70000

设生产一件乙元件的利润为小则f的所有取值为100,-20,

则P(f=100)=£P(f=-20)=i,

所以f的分布列为：

100-20

31

P

44

o1

E(z∕)=IOOx--20×-=70,所以E(Y)=E(IOOOzj)=IOoOES)=1000×70=70000

所以E(X)=E(Y)

【考点3：求离散型随机变量的方差】

【知识点：求离散型随机变量的方差】

1.(2023・全国•深圳中学校联考模拟预测)已知pi，p2∈(0,1),随机变量X,丫的分布列如下表所示:

X-101Y-101

Pi11P2

PI-PiP1-P2

~22222~2

下列说法中正确的是()A.若Pl<i⅛p2<|,则E(X)>E(Y)

B.若pι<p2<l,则E(X)>E(Y)

C.若P2<Pi<p则。(X)>D(Y)

D.若Pι<T<P2,则D(X)>D(V)

【答案】AC

【分析】根据期望与方差公式表示出E(X)、E(Y)、D(X)、D(r),再利用作差法结合各选项所给条件判断即

可.

(详解】依题意E(X)=-IX^+OX^+lx号I=号，

E(Yy)=-lx&+0x*+lx理=型二，

'/2222

则E(X)-F(F)=亨-亨=1-(p1+p2),

又E(X2)=(-1)2×^+0×∣+l2×ifi=∣,

E(Y2)=(-1)2×詈+0×∣+l2×^=∣,

所以D(X)=E(X2)-[E(X)F=T-(亨)，

2

D(Y)=E(U)一[E(y)]2=ɪ-(^ɪ)，

所以。(X)-D(Y)=(警二)2一(臂)2

=(审+—)(审-号)=3f)S+小F

对于A：因为P1<T且P2<5所以Pι+p2<l,所以E(X)-E(Y)>0,所以E(X)>E(Y),故A正确；

对于B:因为PI<P2<L由于无法确定Pi+P2与1的大小关系，

即无法判断I-(Pl+P2)的正负，故无法确定E(X)与E(Y)的大小关系，故B错误；

1

对于C:因为P2<Pι<g,所以P2-Pl<0,p2+Pl<>

所以(P2-P1)(P2+Pi-1)>0，即D(X)-O(Y)>0,EPD(X)>D(Y),故C正确；

对于D:因为Pl<ɪ<p2.所以P2—Pi>0，但是无法确定Pl+P2与1的大小关系，

即无法判断Pl+p2-1的正负，故无法确定D(X)与。(Y)的大小关系，故D错误；

故选：AC

2.(2022春・山西吕梁・高二校联考期中)设X是一个离散型随机变量、其分布列为

000

01

若0<x<∣,则下列说法正确的是()A.E(X)有最大值B.D(X)有最大值

C.E(X)无最小值D.D(X)无最小值

【答案】CD

【分析】求得E(X),D(X)的表达式，结合函数的最值的知识求得正确答案.

【详解】E(X)=OXI+lxx+2X(I-X)=g-x,

所以E(X)在区间(0,|)匕单调递减，没有最值，A选项错误，C选项正确.

D(X)=[θ-(^-x)]×∣+[1-(∣-^)]×z+[2-(l-χ)]×(l^x

125.8

=-Xz——X+-,

339

对称轴为X=I>∣.所以D(X)在区间(0,|)上单调递减，

没有最值，B选项错误，D选项正确.

故选：CD

3.(2023•高二课时练习)已知随机变量f的取值为1、2、3,若PG=I)与P(f=3)相等，且方差。幻=3

则PG=2)=.

【答案】I

【分析】设P(f=I)=PG=3)=P，计算E(f)=2,再根据方差公式计算得到答案.

【详解】设P(f=1)=P(ξ=3)=p,则P(f=2)=1-2p,E(f)=p+2(1—2p)+3p=2,D[ξ]=

P(I—2)2+(1—2p)(2—2)2+p(3—2)2=2p=ɪ,故P=ɪ,

36

P(f=2)=1-2p=I

故答案为：I

4.(2023秋•辽宁阜新•高二校考期末)若随机事件4在1次试验中发生的概率为P(O<p<l),用随机变量

X表示4在1次试验中发生的次数，则方差。(X)的最大值为;嘤U的最大值为

【答案】；；2-2√2

4

【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合二次函数的最值问题和均值不等式即可求解.

【详解】山题意可得随机变量X的所有可能取值为0,1,

并且P(X=l)=p,P(X=O)=I-P，

2

所以E(X)=p,D(X)=P(I-P)=P-p?=一伍一乡+ɪ,

所以当P=凯寸D(X)取得最大值;；

喘=%=2-伽+；”2-2师=2-20

当且仅当2p=判P=当时等号成立，

所以喘2的最大值为2-2√Σ

故答案为：ɪ;2—2λ∕2

4

5.(2023•高二课时练习)已知f是一个离散型随机变量，其概率分布如下：(ZI1_02q试求E[f]和

D[ξ].

【答案】E[ξ]=1-√2,D[f]=√2-l.

【分析】根据概率分布的性质，解得q=l-与，然后根据均值与方差的计算公式求解E[打和。用即可.

T+(l-2q)+q2=l

【详解】解：山概率分布的性质，得∙0≤1-2Q≤i解得q=l-冬

O≤g2≤1

I"2

从而可得E[f]=(—1)×~+O×(1—2q)+lxq2=——-∣-=1—V2,D[a=(-1—1+VΣ)×—H-

2

(0-1+√2)2×(l-2+√2)+(l-l+√2)2×(l-y)=√2-1.

6.(2022秋•上海浦东新∙高三上海市建平中学校考阶段练习)某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、

优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取IOO个，利用水果的等级分类标准得到的

数据如下：

等级标准果优质果精品果礼品果

个数10304020

⑴若将频率视为概率，从这IOO个水果中有放回地随机抽取5个，求恰好有2个水果是礼品果的概率(结

果用分数表示)；

⑵用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考,

方案1：不分类卖出，单价为21元/kg；

方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：

等级标准果优质果精品果礼品果

售价(元∕kg)16182224

从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？

⑶用分层抽样的方法从这IOO个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是

精品果的数量，求X的分布列及方差。(X).

【答案】⑴发

⑵应该采用第二种方案，理由见详解

⑶分布列见详解，D(X)=g

【分析】(1)根据题意结合二项分布运算求解；

(2)根据加权平均数求方案二的平均单价，结合题意分析判断；

(3)先根据分层抽样求各层应抽取的样本个数，再结合超几何分布求分布列和方差.

【详解】(1)记"从这Ie)C)个水果中随机抽取1个，这个水果是礼品果"为事件A,则P(4)=芸=/

从这100个水果中有放回地随机抽取5个，设礼品果的个数为丫，则y〜B

故恰好有2个水果是礼品果的概率p(y=2)=cl×(I)2×(I-1)3=ɪg.

(2)方案2：每公斤的单价为土=16X芸+18x盖+22x芸+20x磊=20.6(元)，

021>20.6,故从采购商的角度考虑，应该采用第二种方案.

(3)用分层抽样的方法从这IOO个水果中抽取10个，则标准果、优质果、精品果、礼品果应抽取的个数

分别为1,3,4,2,即4个精品果，6个非精品果，

由题意可得：X的可能取值有：0,1,2,3,则有：

P(X=O)=与=:P(χ=1)=半=2,P(χ=2)=毕=三,P(X=3)=学=上，

j,

'Cf0ɑioɑioɪŋCf030

X的分布列如下:

XO123

1131

P

621030

≡E(X)=0×i÷l×l÷2×⅜÷3x⅛=∣,

2222

D(X)=(θ-∣)×i+(l-∣)×∣+(2-∣)×⅛+(3-∣)×⅛=⅛

【考点4：方差的性质】

【知识点：方差的性质】

1.(2022春•山西吕梁•高二校联考期中)已知随机变量X满足E(X)=-4,D(X)=5,下列说法正确的是()

A.E(l-X)=-5B.E(I-X)=5

C.D(I-X)=5D.D(I-X)=-5

【答案】BC

【分析】根据平均数和方差的知识求得正确答案.

【详解】依题意，E(X)=-4,O(X)=5,

所以E(I-X)=I-E(X)=1-(-4)=5,

D(I-X)=(-1)2×O(X)=5.

故选：BC

2.(2023•全国•高三对口高考)随机变量X的分布列如表所示，若E(X)=｝则D(3X-2)=.

X—1O1

1

Pab

6

【答案】5

【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出α,b,由此能求出方差，再

根据方差的性质计算可得.

fα+h+ɪ=1fa=ɪ

6

【详解】依题意可得《11，解得《

^lx-+0×a+ι×h=-1b=-

所以D(X)=(TV)2χH(oV)2(])2

∖OzO∖ɔ/ɔ∖ɔ/LV

所以。(3X-2)=32D(X)=9×∣=5.

故答案为:5.

3.(2022•高二课时练习)对于随机变量X,它的数学期望E(X)和方差D(X),下列所有正确的序号是

①E(X)是反映随机变量的平均取值；②D(X)越小，说明X越集中于E(X);

③E(aX+b)=αE(X)+b；④D(αX+b)=α2D(X)+b.

【答案】①②③

【分析】根据离散型随机变量期望与方差的意义，以及期望与方差的性质依次判断即可.

【详解】离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的

平均程度，

方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，则①②正确；E(aX+b)=αE(X)+b,D(aX+b)=

a2D(X),则③正确,④错误.

故答案为：①②③.

4.(2022春•山西忻州•高二统考期末)随机变量X的分布列如下所示.

HH□3

S03

则D(bX)的最大值为()A.；B.ɪC.—D.—

2727

【答案】D

【分析】根据分布列得出α+6=1,即可代入计算出D(X)=2cL,即可根据方差的运算率得出D(bX),令

f(b)=D(bX),求导得出f(b)maχ,即可得出答案.

【详解】由题可知2α+2b=l,即α+b=g

E(X)=α+4b+3α=4(α+b)=2,

D(X)=ɑ(l-2)2+(3-2)2α=2a,

则C(W)=h2D(X)=2ab2=-2b3+b2,

令f(b)=-2b3+b2,

则r(b)=-βb2+2b=-2b(3b-1),

则/(8)在(0,3上单调递增，在Gw)上单调递减，

所以f(b)max=∕(9=M

则。QX)的最大值为捺

故选：D.

5.(2023•山西•统考一模)已知随机变量S的分布列如下:

012

P(I-Pi)22Pi(l-Pi)Pi

其中i=l,2,若;<pι<p2<l,贝∣J()A.E(A)VE(A),D(3f1+1)<D(3ξ2+1)B.EGI)<

EQ，D(3ξ1+1)>D(3ξ2+1)

C.E(A)>E(A),D(,3ξ1+1)<D(3f2+1)D.F(f1)>F(f2).D(3ξ1+1)>D(3f2+1)

【答案】B

【分析】由题知&〜B(2,PD,进而根据二项分布的期望与方差公式，方差的性质依次讨论各选项即可得答

案.

【详解】解：由表中数据可知&~B(2,pi),

回E(W)=2pi,Z)(W)=2pi(l—Pi),

又吗<p1<p2<l,

M(G)<f(<2),D(ξ1)-D(ξ2)=2(p1-p2)-2(pf-p分：=2(p1-p2)(l-pɪ-p2)>。，

00(<ι)>D(ξ2),D(3ξ1+1)=9D(ξ1)>9D(ξ2)=D(3ξ2+1).

故选：B

6.(2022・全国•高三专题练习)某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X(单位：km)的可能

取值是20,22,24,26,28,30,它们出现的概率依次是0.1,0.2,0.3,0.1,t,2t.

⑴求X的分布列，并求X的均值和方差；

(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则

按每超出Ikm(不足Ikm也