（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十二章 算法、统计与概率 第68课 几何概型及互斥事件的概率 文-人教版高三全册数学试题

第68课几何概型及互斥事件的概率(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修3P110习题5改编)取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是.【答案】(第1题)【解析】如图，取线段AB的两个三等分点C，D，则在线段CD内任何一点剪断都满足条件，所以所求概率为线段CD与AB的长度比，即P=.2.(必修3P109练习3改编)在10000km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油，假如在该海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.【答案】【解析】P==.3.(必修3P115练习1改编)抛掷一枚质地均匀骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A+发生的概率为.【答案】【解析】事件A+表示出现的点数为1，2，3，4，所以P==.4.(必修3P120复习题6改编)一个装有6个彩色球(3红、2黄、1蓝)的盒子中随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率是.【答案】【解析】记3个红球为红1，红2，红3，2个黄球为黄1，黄2，1个蓝球为蓝1，则从这6个彩色球中随机取出2个球的所有可能情况为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红1，蓝1)，(红2，红3)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(红2，蓝1)，(红3，黄1)，(红3，黄2)，(红3，蓝1)，(黄1，黄2)，(黄1，蓝1)，(黄2，蓝1)，共15个基本事件.记事件A表示取出两个红球，事件B表示取出两个黄球，则事件A与事件B互斥，所以取出2个球颜色相同的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.5.(必修3P116习题4改编)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为.【答案】0.74【解析】所求概率为1-(0.1+0.16)=0.74.1.几何概型(1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的测度(长度、面积及体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概型.(2)几何概型的概率公式在区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)=.(3)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个；②每个基本事件出现的可能性相等.2.互斥事件与对立事件(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥事件不一定是对立事件.(3)互斥事件的概率如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(4)对立事件的概率事件A的对立事件表示为；对立事件的概率和等于1，即P(A)+P()=P(A+)=1.【要点导学】要点导学各个击破几何概型例1如图，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.(例1)【思维引导】首先确定射线OC所在的区域，即区域D；然后确定所求的事件中射线OC所在区域d；分别计算区域D和d的测度；最后计算所求概率为.【解答】记F={作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°}，作射线OD，OE，使∠BOD=30°，∠AOE=30°.当OC在∠DOE内时，∠AOC和∠BOC都不小于30°，所以P(F)==.【精要点评】古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个；对于几何概型的应用题，关键是将实际问题转化为概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用图形的测度来求随机事件的概率.变式如图(1)，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C.(1)求△AOC为钝角三角形的概率；(2)求△AOC为锐角三角形的概率.【解答】如图(2)，由平面几何知识知，当AD⊥OB时，OD=1；当OA⊥AE时，OE=4，BE=1.(1)当且仅当点C在线段OD或BE(不包括端点)上时，△AOC为钝角三角形，记“△AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)===0.4，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C在线段DE(不包括端点)上时，△AOC为锐角三角形，记“△AOC为锐角三角”为事件N，则P(N)===0.6，即△AOC为锐角三角形的概率为0.6.事件的分类与事件关系的判断例2判断下列各组事件是否是互斥事件，并说明道理.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)恰有1名男生和恰有2名男生；(2)至少有一名男生和至少有一名女生；(3)至少有一名男生和全是男生；(4)至少有1名男生和全是女生.【解答】(1)是互斥事件.理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“一名男生和一名女生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件.(2)不是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“两名都是女生”两种结果，它们可能同时发生.(3)不是互斥事件.理由是：“至少有一名男生”包括“一名男生、一名女生”和“两名都是男生”，这与“全是男生”可同时发生.(4)是互斥事件.理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“两名都是男生”两种结果，它和“全是女生”不可能同时发生.【精要点评】判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件.判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断.注意：①事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；②对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系.变式在10件产品中有8件正品，2件次品，从中任取3件.(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”是互斥事件吗?(2)“恰有2件次品”和“至多有1件次品”是对立事件吗?【解答】(1)“恰有1件次品”和“恰有2件次品”都是随机事件，且不可能同时发生，所以二者是互斥事件.(2)“恰有2件次品”，即“2件次品1件正品”，“至多有1件次品”，即“3件正品”或“1件次品2件正品”，它们不可能同时发生且并起来是必然事件，所以二者是对立事件.互斥事件、对立事件的概率例3一盒中共装有除颜色外其余均相同的小球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1个球.(1)求取出的1个球是红球或黑球的概率；(2)求取出的1个球是红球或黑球或白球的概率.【思维引导】事件“取出的1个球是红球或黑球”可以看作事件“取出的1个球是红球”和事件“取出的1个球是黑球”的和事件，而这两个事件互斥，所以取出的1个球是红球或黑球的概率等于取出的1个球是红球的概率加上取出的1个球是黑球的概率.第(2)问正面情形比较复杂，所以可以考虑对立事件的概率.【解答】记事件A1={任取1个球为红球}，A2={任取1个球为黑球}，A3={任取1个球为白球}，A4={任取1个球为绿球}，则P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(A4)=.据题意知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.(1)P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.(2)方法一：P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.方法二：P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.【精要点评】求较复杂的互斥事件的概率，一般有两种方法：一是直接求解法，即将所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的每个事件概率的计算通常为等可能事件的概率计算，这时应注意事件是否互斥，是否完备；二是间接求解法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)=1-P().若解决“至少”、“至多”型的题目，用后一种方法就显得比较方便.解题时需注意“互斥事件”与“对立事件”的区别与联系，搞清楚“互斥事件”与“等可能性事件”的差异.变式抛掷一枚质地均匀的骰子.(1)求落地时向上的数不小于5的概率；(2)求落地时向上的数大于1的概率；(3)求落地时向上的数是最大或者最小的数的概率.【解答】设“骰子落地时向上的数为i”为事件Ai(i=1，2，3，4，5，6)，则P(Ai)=.(1)设“落地时向上的数不小于5”为事件C，则P(C)=P(A5+A6)=+=.(2)设“落地时向上的数大于1”为事件D，则P(D)=1-P()=1-P(A1)=.(3)设“落地时向上的数是最大或者最小的数”为事件E，则P(E)=P(A1+A6)=P(A1)+P(A6)=+=.1.如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在单位圆内(阴影部分)，现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为.【答案】-1【解析】图中空白处的面积为4×2=2π-4，则阴影部分的面积为π-(2π-4)=4-π，往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率P==-1.2.在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥”发生的概率为.【答案】【解析】sinx≥，又x∈[0，π]，所以≤x≤，所以所求概率P==.3.甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，给出下列说法：①甲获胜的概率是；②甲不输的概率是；③乙输的概率是；④乙不输的概率是.其中正确的说法是.(填序号)【答案】①【解析】设“甲获胜”为事件A，“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P(A)=1--=，故①正确；设事件B为“甲不输”，则B是“甲胜”、“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(B)=+=，故②错误；设“乙输”为事件C，则P(C)=P(A)=，故③错误；设“乙不输”为事件D，则P(D)=1-P(C)=，故④错误.4.抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为.【答案】至多有1件次品【解析】“至少有n个”的反面是“至多有n-1个”.5.(2014·南昌模拟)在区间[-6，6]内任取一个元素x0，若抛物线x2=4y在x=x0处的切线的倾斜角为α，则α∈的概率为.【答案】【解析】当切线的倾斜角α∈时，切线的斜率的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞)，抛物线x2=4y在x=x0处的切线的斜率是x0，故只要x0∈(-∞，-2]∪[2，+∞)即可.若在区间[-6，6]内取值，则只能取区间[-6，-2]∪[2，6]内的值，这个区间的长度是8，区间[-6，6]的长度是12，故所求的概率是=.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第135~136页.【检测与评估】第68课几何概型及互斥事件的概率一、填空题1.记不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是.2.(2015·南通期末)同时抛掷两枚质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6的点的正方体玩具)，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为.3.(2014·苏北四市期末)在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1>2S2的概率是.4.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是.5.(2014·郑州模拟改编)分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示.若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为.(第5题)6.(2014·苏州一模改编)已知m∈{-1，0，1}，n∈{-1，1}.若随机选取m，n，则直线mx+ny+1=0恰好经过第二象限的概率是.7.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=.8.(2014·石家庄质检改编)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为.二、解答题9.已知正四面体ABCD的体积为V，P是正四面体ABCD内部的点.设“≥V”为事件X，求事件X发生的概率P(X).10.如图，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y).(1)求△APB的面积大于的概率；(2)求点P到原点的距离小于1的概率.(第10题)11.(2014·锦州模拟)已知复数z=x+yi(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)若集合P={-4，-3，-2，0}，Q={0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)若x∈[0，3]，y∈[0，4]，求点M落在不等式组所表示的平面区域内的概率.【检测与评估答案】第68课几何概型及互斥事件的概率1.【解析】如图，平面区域D的面积为4，到原点的距离大于2的点位于图中阴影部分，其面积为4-π，所以所求概率为.(第1题)2.【解析】记两个点数之积不小于4为事件A，则：两个点数之积小于4.因为P()=，所以P(A)=1-=.3.【解析】如图，设点M在AB上，且AM=2BM，则当点P在线段BM(不包括点M)上时，满足S1>2S2，即所求的概率P==.(第3题)4.【解析】如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“BP∶AB>”，即P==.(第4题)5.【解析】设AB=2，则S阴影=2π-4，所以所求概率为=.6.【解析】随机选取m，n，数组(m，n)有6个，其中(-1，1)，(0，1)使得直线不过第二象限，所以所求概率为1-=.7.【解析】如图，设CD=4，根据对称性，由题中条件知，P的活动范围为2，即CP∈(1，3).当CP=3时，BP=4，解得BC==，所以AD∶AB=∶4，(第7题)8.【解析】如图，设圆的半径为r，圆心为O，AB为圆的一条直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为M.若CD为圆内接正三角