新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习 单元质检卷三一元函数的导数及其应用北师大版

单元质检卷三一元函数的导数及其应用

(时间：120分钟满分：150分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.(2021山东师大附中高三月考)已知函数f(x)=(2χ-a)e*,且/⑴=3e,则实数a的值为()

Λ.-3B.3C.-1D.1

2.(2021湖北孝感高三期中)设曲线y=a(xT)+lnX在点(1,0)处的切线方程为y⅛χ-2,则a=()

A.1B.2C.3D.4

3.(2021安徽蚌埠高三月考)函数f(x)=f-21nX在区间[1,2]上的最大值是()

Λ.4-21n2B.1

C.4÷21n2D.e2-2

4.(2021江苏镇江高三月考)基函数F(X)的图象过点(咚,2),则函数g(x)*的单调递增区间为

()

A.(0,2)B.(-∞,-2)U(0,÷∞)

C.(-2,0)D.(-8,-2)和(0,+8)

5.(2021湖北宜昌高三月考)曲线f(x)=ln(2xT)上的点到直线2χ-y+34)的最短距离是()

A.1B.2C.√5D.3

6.(2021江苏扬州高三模拟)已知函数其由=x+acosx,对于任意为,及以国#.)，都有空"以对-

XrX2

a恒成立,则实数a的取值范围是()

A.[1√2,1√2]B.[1√2,1]

C.L^l,1]D.[-1,1-√2]

7.(2021北京昌平高三期中)已知函数Λx)=(χ-i)2e,下列结论错误的是()

A.函数f(x)有零点

B.函数f(x)有极大值,也有极小值

C函数F(X)既无最大值,也无最小值

D.函数f(x)的图象与直线y=l有3个交点

8.(2021四川成都高三期中)已知函数F(X)的定义域为R,且F(X)<1-f'(x),F(O)N,则不等式

f(x)<l÷⅛的解集为()

ex

A.(1,÷∞)B.(-∞,1)

C.(0,≠∞)D.(-∞,0)

9.如果定义域为R的函数y=f{x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是()

A./(ɪ)在区间(-3,、)上单调递增

B.F(X)有且仅有1个极小值点

C.f(x)在区间(4,5)上单调递增

D.f(x)的极大值为f(3)

10.已知函数F(X)=Inx-ax的图象在x=∖处的切线方程为x+y+b=Q则下列说法错误的是()

A.a=2

B.b=∖

C.f(x)的极小值为-In2-1

D.f(x)的极大值为-In2-1

IL已知函数f(x)上竺-X,则下列结论正确的是()

X

A.F(x)的单调递减区间为(0,1)

B.f(x)的极小值点为1

C.F(x)的极大值为T

D.F(X)的最小值为T

12.已知x=l和产3是函数f{x）=ax+bx^3x+k{a,6∈R）的两个极值点,且函数f（x）有且仅有两个不

同的零点,则实数A的值为（）

Λ,T或OB.］或O

C.-1或3D.O或T

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.（2021辽宁沈阳高三月考）曲线yMX在点（T,3）处的切线的斜率为

X--------

14.（2021北京延庆高三期中）若函数F（X）=-/+ax在区间（-1,0）上恰有一个极值点，则实数a的取

值范围是.

15.（2021山西太原高三期末）己知函数/u）g/a有三个零点，则实数a的取值范围

是.

16.（2021浙江湖州高三期中）已知函数∕∙（x）=e'飞x+a与g（x）=InX△的图象上存在关于X轴对称的

X

点,则实数a的取值范围是.

三、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）（2021北京，19）已知函数F（X）专ɪ.

X2+Ct

（1）若折0,求y=f{x）在（1,F（D）处的切线方程；

（2）若函数Hx）在X=-I处取得极值,求f（x）的单调区间以及最大值和最小值.

18.（12分）（2021山东实验中学高三月考）已知函数f（x）=ln（2x）-aχ2.

⑴若f（x）在（1,+8）内不单调,求实数a的取值范围;

H上的值域.

⑵若a=2,求f(x)在

19.(12分)己知函数f(x)ɪ-ɪe',g(x)=x+2x+a.若函数f(x)的图象在原点处的切线与函数g(x)的图

象相切,求实数a的值.

20.(12分)(2021全国甲，理21)已知aA)且a≠l,函数f(x)9(xA)).

⑴当a」时,求F(X)的单调区间；

(2)若曲线y=F(x)与直线y=l有且仅有两个交点,求a的取值范围.

21.(12分)(2021重庆泰江中学高三月考)已知函数f(x)=ae'posX-X(a∈R).

⑴若&二1,证明：f(x)÷cosxel;

⑵若F(X)在(0,兀)上有两个极值点,求实数a的取值范围.

22.(12分)(2021湖南常德高三一模)设函数f(x)=alnXJ其中a为常数,且aA).

x+1

(1)讨论函数f(x)的单调性；

⑵设函数Fs=f(x)⅛lna,xi,%是函数F(X)的两个极值点，证明:A(x∣)+F(x2)<1YIn2.

单元质检卷三一元函数的导数及其应用

I.D解析：由题设，F'(x)=(2+2χ-a)e',又因为£⑴Je,所以f'⑴=(4-a)e=3e,解得a=l,故选D.

2.A解析：易知点(1,0)为直线y=2χ-2与曲线y=a(xT)+Inx的公共点，对函数y=a(*T)+Inx求导

得y'=a号由已知可得y'∣*a+l2解得a=l,故选A.

3.A解析：由题意得f(x)CXl=逛±1丝U2o在［1,2］上恒成立,所以函数/Xx)在［1,2］上单调

XX

递增,所以当产2时∙，Hx)取得最大值f(2)N-21n2,故选Λ.

4.D解析:设贝IJ(当『2a=2所以g(x)号"代,函数的定义域是{x≡R∕χ≠

0),g'(x)=(∕+2*)e`,由g'(x)X得Xce或XX,所以g(x)的单调递增区间是-2)和(0,+2,

故选D.

5.C解析：因为直线2χ-y^)=Q的斜率为2,所以令f'(x)方士力,解得x=l,把x=l代入曲线方程得

F⑴=In(2-1)=0,即曲线f(x)过点(1,0)的切线斜率为2,则点(1,0)到直线2χ-y≠3R的距离

=√5>即曲线F(X)=In(2xT)上的点到直线2χ-y+3R的最短距离是遮

√22+(-l)2

6.B解析:设x∖>x为由"xQJ(M))a2-a可得f(x,)-/U)》(J-a)(小水)，即/(ɪ.)-(Aa)x、>f(x。

×Γ×2

d)x2f构造函数g(x)=F(X)-(3-a)x=acosx+(lW⅛)x,则函数g(x)在R上单调递增,g'(x)=-

asin"(l--后)20对任意的x∈R恒成立,令Crinx,则Z∈［T,1］,所以-a”(l-才七)20在f∈［-

1,1］上恒成立,所以尸jn°'即Dc解得尸t1ɪ万所以l√2≤a≤l,

(a+l-a2∙+α≥0,(α2-2α-l≤0,(l-√2≤a≤1+√2,

故选B.

7.C解析:f⑴=0,所以A选项正确；f'(X)=(X+1)(xT)e',所以在区间(-∞,-l)^∏(1,≠∞)±

r(ʃ)X),F(X)单调递增,在区间(-1,1)上f∖x)<0,f{x)单调递减,所以当X=T时,Λx)有极大值

Λ-D^>1,当x=l时,f(x)有极小值f(l)ɪθ,所以B选项正确,C选项错误;画出函数Ax)的大致图

e

象如图，由图可知函数f(x)的图象与直线y=l有3个交点,所以D选项正确.故选C.

8.C解析:由&x)<1卷得exf(x)<et÷3,即exf(x)PJ3<0,令F(x)=eC(x)~e*~3,则

Ff(ɪ)=exf[x}C(X)~eW"(x)”'(x)-1],因为f{x)<1-ft(ɪ),即F(X)+F'(x)-1<0,且e'Λ),所以

U(x)<0,故函数尸(X)在R上单调递减，由NO)=eo∕(O)若TNT-3=0,故当XK)时,网")<0,即

F(X)<1W的解集是(0,+8),故选C.

9.C解析：由y=f,(x)的图象知,在S,-2)和(2,4)上f,(%)<0,即f(x)单调递减,在(-2,2)和(4,≠

8)上f∖χ)刀,即F(X)单调递增,所以F(X)的极大值为A2),极小值为F(-2)和/(4),对于选项

A,F(X)在(3-)上不单调,错误;对于选项B,f(x)有2个极小值点,错误;对于选项C,F(X)在(4,5)

上单调递增,正确；对于选项D,F(x)的极大值为f(2),错误.故选C.

10.C解析：因为f(x)=lnχ-ax,所以f∖x)2-a.又因为函数F(X)的图象在X=I处的切线方程为

X

χ-f-y+b=Gy所以/(1)=-a=-bΛy/"(I)=Is=-Ii解得a=2ib=∖.

所以A,B正确；由f3二-23,令f(χ)双得f(χ)在(0,。上单调递增,令f,⑸。得F(X)在

XX2

4,+8)上单调递减,知f(χ)在XW处取得极大值,Xp=H-I=TnZT,无极小值，故选C.

11.Cf,(x)-1^1^x-ɪ令φ(ʃ)ɪl-Inx-/,则Φf(x)二二-2x6,所以Φ(ʃ)=ITnX-f在(0,÷∞)

X2X2X

上单调递减.因为0(1)或所以当oα<ι时，0(必为；当上乂，0(χ)<o.所以/U)的单调递增区间为

(Oj),单调递减区间为(1,+8),故AX)的极大值点为l,/tr)的极大值为/'(1)=T,故选C.

2-∂x1

,lQ=--

得

解

1+3=做

23α3<3

12.B解析：f3⅛^÷2Δ^-3,依题意1,3是F'(X)R的两个根,所以-lb=2

-

，/

1x3=3α

N力二可嗅JTx+k.易求得函数F(X)的极大值为A3)=〃和极小值为F(I)=2”.要使函数Ax)有

两个零点,则F(x)的极大值公O或F(X)的极小值十k0,所以Z)或/故选B.

13.1解析：因为片型1,所以，卫等=W当X=T时,//一二1,所以曲线y』％在点(-1,3)处

XX2X2X

的切线的斜率为1.

14.(-2,0)解析:二次函数F(X)=-X26X的对称轴为x=-^-即因为函数F(X)=-小也*在区间(-

-2y2

1,0)上恰有一个极值点,所以-1<f<0=-2<a<0.故实数a的取值范围是(-2,0).

15.(O,eɔ解析:令g(x)W，函数F(X)有三个零点即函数g(x)的图象与直线yNa有三个交点.因

ex

为g'(ɪ)岑,所以g(x)在(-8,0)和为+8)上单调递减,在(0,2)上单调递增，且以力20,g(*)的

ex

极大值为g(2)《2。：极小值为g(0)4).结合图象g(x)与yNa有三个交点，即0<⅛a<4e；所以

0<⅛<e^2.

j=g(χ)=⅛

O2X

16.(-∞,-1]解析:依题意方程e'_ex+d=Tnx」在(0,+8)上有解，即aAeχ~√-L∏x二在(0,+8)上有

XX

解，令力(x)mx^e"Tnx±则A,(%)~ex~^-+~2=e~ex-^∙,显然Λ,(l)ɪθ,且当OGr<1时"'(x)X),当

x>∖时,∕√(x)<0,因此方(X)在X=I处取得极大值亦即最大值A(I)-I,所以方(x)的值域为(-8,-1],

故a的取值范围是(-'-I].

17.JW(I)当a=O时,f(x)芹,则f'(x)公等,所以f⑴=1,r(l)=Y,

此时曲线y=f(x)在点(1,/(D)处的切线方程为广I=M(X-1),即4x+yTR.

⑵因为F(x)争,所以6(x)二①泻W群义=笔:苦£

xz+α(xz+a)z(x2+a)z

由题意可得r(-l)詈黑土解得a=4,故F(x)争,尸(x)-2(*有4),列表如下:

(a+l)zxz+4(xz+4)z

"

(-8,-1)4

,Y(-1,4)(4,+8)

7ω-+0-0+

；,：「单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以，函数F(X)的单调递增区间为(-8,-1),©+8),单调递减区间为(-1,4).当x<∣时，f(x)Λ);当

x>∣时，f(x)<0.所以，F(X)∙≡=f(T)=1,f(x)lBK=F⑷=3.

18.解⑴/∙'(x)上也,因为F(x)在(1,+8)内不单调，

X

所以关于X的方程l-2a∕=0在(1,+8)内有解,

所以｛；?0>°'故a的取值范围为(Ot)・

⑵因为所以尸里二型

a2,(x)"X2

令f,(ɪ)zX),得工WxE；令f,(χ)<0,得x<y≤c.

2e222

所以f(x)在)上单调递增,在(%］上单调递减,所以/U)"♦/■(；)=3.

Ze22222

2

因为)=T-ʌ,/'Q)=1§,且f(;)-∕∙⅛)4^^⅛ΛJ-所以f(χ)在］上的值域为［1-

2e2ez222e222ezZe2

包,二］.

22

19.解因为f(x)=-χe',所以尸(x)=V(x≠l),所以切线斜率k=f，3)=T,

又因为/(O)4因此F(X)图象在原点处的切线方程为y~x.

又因为切线片-X与g(x)图象相切,所以，;二：+2»。,消去〃得八3日包于是“印“老解得

a^∙故实数a的值为X

44

20.解⑴当a之时,

2Λ

∣)

/∖2x∙2x-2x∖n2∙X2x(2-xln2)_n2∙x(aX

fB~~-

2x~2x

当“e(0'i⅛)时'f'3X，AX)单调递增,当x≡(i⅛,+8)时,f'(χ)<0,当⑼单调递减.

故F(X)在区间(0,意)上单调递增,在区间(意，+8)上单调递减.

⑵由题知方程Λx)=I在(0,+8)有两个不相等的根.由f(χ)=1得*=a',即alnx=xlna,

即止=Ina

Xα

令g(x)号,g'(x)三詈,・・・g(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+8)上单调递减.

又XfO时,g(x)f-00,g(e)二g(l)ɪθ,+8时,g(χ)--o.

e

ΛO<^<i即a>l且a≠e.

αe

x

21.⑴证明当之=1时，f{x}=e-cosχ-χf

x

令g(x)=F(x)÷cosxm*-χ,则g'(x)=e~lf

当x<Q时,g'(x)<0;当XA)时,g'(x)zX),所以函数当x)在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增,

所以g(x)2g(0)=1,即F(X)÷cosx2L

⑵解f∖x)=aex-^inχ-l,由F(X)在(0,兀)上有两个极值点,

则F'(x)=ae/inI4)在(。，“)上有两个不同的实根，即且巧在(。，n)上有两个不同的实根.设

,/∖1-sinx_∕∖,f/\sinx-cosx-1√2sin(x--^-)-l

方(x)X£(0a,兀)，力(x)=---

令方'("R,则x=^,

当OaW时,∕√(x)<0;当IGOT时,力'(x)M,所以函数方(X)在(0,：)上单调递减,在(3π)上单

调递增.又因为力(0)=l,A(∣)=O,A(π)=e^,0<e*<1,

所以当OQG"时,方程a」等在(0,贝)上有两个不同的实数根,所以实数a的取值范围为(0,e").

ex

22.(1)解函数f(x)的定义域为(0,≠∞),f,(x)---⅛=αx+3若+“•

X(%+1)2x(x+l)z

令g(x)=ax+(2aT)x+a,/={2a-∖YΛa=-^a+∖.

①当心］时，Δ=Ya+lW0,则g(x)QO,即f,(ɪ)Q0,F(X)在(0,*2上单调递增;

②当0<a©时，J=Ma+lΛ),由g(x)4解得为上Ξ手竺的土E乒

42α2a

所以