7.6 多边形的内角和与外角和-苏科版七年级下册数学第7章《平面图形的认识（二）》尖子生同步培优（附答案解析）

专题7.6多边形的内角和与外角和姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间40分钟，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•武进区期中）正九边形的每个内角的度数为（）A．40° B．80° C．120° D．140°2．（2020春•灌云县校级月考）若一个正多边形的外角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2020春•常州期中）若一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，则它的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．84．（2020春•丹阳市校级期末）一个n边形的每一个外角都是72°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2020春•徐州期末）如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，分别过顶点D、E作一条射线，交点为H，如果CD∥EH，那么∠DEH的度数是（）A．50° B．60° C．72° D．75°6．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形7．如果从一个多边形的一个顶点出发作它的对角线，最多能将多边形分成2011个三角形，那么这个多边形是（）A．2012边形 B．2013边形 C．2014边形 D．2015边形8．（2020秋•秦淮区期中）如图，在正八边形ABCDEFGH中，AE与BG交于点P，则∠APG的度数为（）A．108° B．112.5° C．120° D．135°9．（2020春•洪泽区期末）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝60°，则∠E的度数为（）A．60° B．50° C．40° D．30°10．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米 B．80米 C．60米 D．40米二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•江阴市期中）如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是．12．若一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则它是边形．13．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则它的边数是．14．（2020秋•沭阳县期中）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC、AE，则∠CAE的度数为．15．（2017春•高港区校级月考）已知从某个多边形的一个顶点出发一共画出4条对角线，那么这个多边形共有条对角线．16．（2020春•邳州市期末）如图，线段AD、BE、CF相交于同一点O，连接AB、CD、EF，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．17．（2020春•泰兴市校级期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，点F在边AB上，∠AFE＝45°，则∠AEF与∠AED的度数的比值是．18．从如图的五边形ABCDE纸片中减去一个三角形，剩余部分的多边形的内角和是．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020春•高新区期中）已知一个多边形的所有内角的和与它的外角之和为1620°，求这个多边形的边数n．20．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测n（n≥4）边形可以分割三角形的个数是；（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数n＝．21．如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F．EG∥AB，交BC于点G．（1）∠1与∠2有怎样的数量关系？为什么？（2）若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数．22．（2020春•建邺区期末）阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？（2）明明求的是几边形的内角和？（3）错当成内角的那个外角为多少度？23．（2020春•东台市期中）如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．（1）如图1，若α+β＝100°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝40°，请直接写出α、β所满足的数量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．24．（2020春•溧水区期末）如图①，∠1、∠2是四边形ABCD的两个不相邻的外角．（1）猜想并说明∠1+∠2与∠A、∠C的数量关系；（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度数；（3）如图③，BO、DO分别是四边形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分线．请直接写出∠A、∠C与∠O的数量关系．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D【分析】根据多边形的内角和定理可计算求解．【解析】（9﹣2）×180°÷9＝140°，故选：D．2．B【分析】根据一个正多边形的外角等于其内角，可得外角度数，再根据外角和得出这个正多边形的边数．【解析】∵正多边形的外角等于其内角，∴外角和内角均为90°，又∵多边形的外角和等于360°，∴这个正多边形的边数为360°÷90°＝4，故选：B．3．C【分析】根据多边形的内角和和外角和公式即可求解．【解析】设边数为n，∵多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°，∴多边形的每个内角为：(n-2)×180°n∵多边形的外角和公式为：360°，∴多边形的每个外角为：360°n∵一个多边形的每个内角都等于与它相邻外角的2倍，∴(n-2)×180°n∴n＝6，故选：C．4．C【分析】先判断出此多边形是正多边形，然后根据正多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数计算即可得解．【解析】∵多边形的每一个外角都是72°，∴此多边形是正多边形，360°÷72°＝5，所以，它的边数是5．故选：C．5．C【分析】根据多边形的内角和公式可得∠CDE的度数，再根据平行线的性质计算即可．【解析】∵五边形的内角和为：（5﹣2）•180°＝540°且每个内角都相等，∴∠CDE＝540°÷5＝108°．∵CD∥EH，∴∠CDE+∠DEH＝180°，∴∠DEH＝180°﹣108°＝72°．故选：C．6．A【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．【解析】设这个多边形是n边形．依题意，得n﹣3＝10，∴n＝13．故这个多边形是13边形．故选：A．7．B【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．【解析】设多边形有n条边，则n﹣2＝2011，解得：n＝2013．所以这个多边形的边数是2013．故选：B．8．B【分析】根据多边形的内角和定理及正多边形的性质可求解∠PAH，∠HGP，∠AHG，再利用四边形的内角和为360°可计算求解．【解析】在正八边形ABCDEFGH中，AE平分∠BAH，BG⊥GF，∴∠BAH＝∠AHG＝∠HGF=∴∠PAH=12∠BAH＝67.5°，∠∴∠HGP＝∠HGF﹣∠BGF＝45°，∵四边形APGH的内角和为360°，∴∠APG＝360°﹣45°﹣67.5°＝112.5°，故选：B．9．D【分析】运用四边形的内角和等于360°，可求∠DCB的度数，再利用角平分线的性质可求∠E的度数．【解析】∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∠A＝60°，∴∠C＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∵∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，∴∠CDE＝∠CBE＝45°，∴∠E＝120°﹣45°﹣45°＝30°故选：D．10．B【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．720°．【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而代入公式就可以求出内角和．【解析】多边形边数为：360°÷60°＝6，则这个多边形是六边形；∴内角和是：（6﹣2）•180°＝720°．故答案为：720°．12．六．【分析】根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后解方程即可．【解析】设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6．故答案为：六．13．6．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．【解析】设这个多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，解得n＝6．答：这个多边形的边数是6．故答案为：6．14．60°．【分析】由正六边形的性质得出∠B＝∠BAF＝∠F＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，求出∠CAE＝60°．【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠B＝∠BAF＝∠F＝120°，BC＝AB＝AF＝FE，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∠FAE＝∠FEA＝30°，∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠FAE＝120°﹣30°﹣30°＝60°．故答案为：60°．15．14【分析】根据对角线的概念，知一个多边形从一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，求出n的值，再根据多边形对角线的总数为12n（n【解析】∵从某个多边形的一个顶点出发一共画出4条对角线，∴n﹣3＝4，∴n＝7，那么这个多边形对角线的总条数为：12故答案为：14．16．360°．【分析】根据一周角等于360°以及对顶角相等可得以O为顶点的三个内角的和为180°，再根据三角形内角和定理解答即可．【解析】如图所示，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+（∠1+∠2+∠3）＝3×180°＝540°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝540°﹣180°＝360°．故答案为：360°．17．1：4．【分析】首先设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，然后利用三角形内角和可得∠AEF＝（135﹣x）°，利用五边形内角和可得∠AED＝（540﹣4x）°，然后可得比值．【解析】设∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝x°，∵∠AFE＝45°，∴∠AEF＝（135﹣x）°，∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠AED＝540°，∴∠AED＝（540﹣4x）°，∴∠AEF：∠AED＝1：4，故答案为：1：4．18．360°或540°或720°．【分析】分为三种情况，画出图形，根据多边形的内角和公式求出内角和即可．【解析】如图，剩余的部分是四边形，其内角和为360°，如图，剩余的部分是五边形，其内角和为540°，如图，剩余的部分是六边形，其内角和为720°，所以剩余部分的多边形的内角和是360°或540°或720°．故答案为：360°或540°或720°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】设这个多边形的边数是n，然后根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．【解析】设这个多边形的边数是n，由题意得，（n﹣2）•180°+360°＝1620°，解得n＝9．答：这个多边形的边数n是9．20．（1）n﹣2；（2）n＝122．【分析】（1）由所给图形得到分成的三角形的个数和多边形的边数的关系的规律即可解答；（2）根据（1）得到的规律求得n的值即可．【解析】（1）由图中可以看出：四边形被分为4﹣2＝2个三角形，五边形被分为5﹣2＝3个三角形，六边形被分为6﹣2＝4个三角形，那么n边形被分为（n﹣2）个三角形．故答案为：n﹣2．（2）当n﹣2＝120时，n＝122，故答案为：122．21．【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC＝180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2＝90°；（2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可．【解析】（1）∠1与∠2互余．∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣180°＝180°，∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，∴∠1=12∵EG∥AB，∴∠2＝∠ABE，∴∠1+∠2=1即∠1与∠2互余．（2）∵∠A＝100°，∠1＝42°，∴∠C＝80°，∠2＝48°，∴∠ABE＝∠CBE＝48°，∴∠BEC＝180°﹣48°﹣80°＝52°，∴∠CEG＝52°﹣48°＝4°．22．【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，解方程即可求解；（3）代入计算求解．【解析】（1）设多边形的边数为n，180°（n﹣2）＝2020°，解得n=132∵n为正整数，∴“多边形的内角和为2020°”不可能．（2）设应加的内角为x，多加的外角为y，依题意可列方程：（n﹣2）180°＝2020°﹣y+x，∵﹣180°＜x﹣y＜180，∴2020°﹣180°＜180°（n﹣2）＜2020°+180°，解得122又∵n为正整数，∴n＝13，n＝14．故明明求的是十三边形或十四边形的内角和．（3）十三边形的内角和＝180°×（13﹣2）＝1980°，∴y﹣x＝2020°﹣1980°＝40°，又x+y＝180°，解得：x＝70°，y＝110°；十四边形的内角和＝180°×（14﹣2）＝2160°，∴y﹣x＝2020°﹣2160°＝﹣140°，又x+y＝180°，解得：x＝160°，y＝20°；所以那个外角为110°或20°．23．【分析】（1）∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），则∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°．（2）连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，则∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）=12（α+β），在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，则12（α（3）由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，则∠CBE+∠CDH=12（α+β），∠CBE+β﹣∠DHB=12（α+β），根据α＝β，则有∠CBE+β﹣∠DHB=12（β+β）＝β，∠CBE＝∠【解析】（1）∵∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝α+β＝100°．（2）β﹣α＝80°理由：如图1，连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG=12∠MBC，∠CDG=1∴∠CBG+∠CDG=12∠MBC+12∠NDC=12（∠MBC+∠NDC）在△BCD中，∠BDC+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD＝180°，∴12（α+β）+180°﹣β∴β﹣α＝80°，（3）平行，理由：如图2，延长BC交DF于