平行四边形与多边形（6个知识点）-中考复习讲义及练习（解析版）

第五部分四边形

专题17平行四边形与多边形（6大考点）

核心考点一平行四边形的判定

核心考点二平行四边形的性质

核心考点三平行四边形中的折叠问题

核心考点

核心考点四平行四边形中的动点问题

核心考点五平行四边形的综合性问题

核心考点六多边形及其性质

新题速递

核心考点一平行四边形的判定

O氟题答究

例R（2022.湖南益阳•统考中考真题）L如图，在。4BCD中，A8=8,点E是AB上一点，AE=3,连接

DE,过点C作CF〃QE,交AB的延长线于点F,则BF的长为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质可知CQ=AB=8,由AE=3,可得8E的长，再判定四边形DEFC是平行

四边形，根据平行四边形的性质可得EF的长，由BF=EF-BE,即可求出BF.

【详解】解：；在口ABC。中，AB=S,

二CO=AB=8,AB//CD,

；AE=3,

.,.BE=AB-AE^5,

,JCF//DE,

.∙.四边形DE尸C是平行四边形，

.*.DC=EF=8,

：.BF=EF-BE=?,-5=3.

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键.

画W（2021•黑龙江牡丹江•统考中考真题）如图，在四边形ABeQ中，AB=DC,请添加一个条件，使四

边形ABC。成为平行四边形，你所添加的条件为（写一个即可）.

【答案】48〃£>C（答案不唯）

【分析】根据平行四边形的判定条件解答即可.

【详解】解：；AB=Z）C,

再力口AB〃£）C,

.∙.四边形48CO是平行四边形，

故答案为：AB〃OC（答案不唯一）

【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键.

瓯（2022•辽宁鞍山•统考中考真题）如图,在四边形ABCO中，AC与8。交于点。，BEJ.AC,OF上AC,

垂足分别为点E,F,且BE=DF,ZABD=ZBDC.求证：四边形ABCz）是平行四边形.

【答案】见解析

【分析】结合已知条件推知A8〃8；然后由全等三角形的判定定理AAS证得ΔA8EgACDF,则其对应

边相等：AB^CD-,最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论.

【详解】证明：ZABD=ZBDC,

.∙.AB∕∕CD.

:.NBAE=NDCF.

在MBE1J∖CDF中,

NBAE=NDCF

<NAEB=NCFD=90。.

BE=DF

:.ΔABE^CDF（AAS）.

AB=CD.

.•・四边形ABC。是平行四边形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的

判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

厚命题内确

平行四边形的判定定理：

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.

特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四

边形时，应选择较简单的方法.

（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.

,曾日恻缭

【变式1】（2021♦河北邯郸•一模）如图，在平行四边形ABC。中，点E,F分别在AB,CO上，S.AE=CF.求

证：DE=BF.以下是排乱的证明过程：

φ":AE=CF,：.BE=FD；

②Y四边形ABCD是平行四边形，

：.AB=CD,AB//CD；

③；.DE=BF,

④；•四边形EBFO是平行四边形.

证明步骤正确的顺序是（）

DF

C

♦-----------E------------B

A.①一②∙→③∙→④B.①一④—②一■③C.②-÷①—》④—③D.②—>④―①-÷③

【答案】C

【分析】由平行四边形的性质得AB=C。，AB//CD,再证BE=FD,得四边形£8FQ是平行四边形，即可

得出结论.

【详解】解：；四边形ABCO是平行四边形，

.".AB^CD,AB//CD,

∖"AE^CF,

：.BE=FD,

：.四边形EBFD是平行四边形，

：.DE=BF,

则证明步骤正确的顺序是②T①T④T③，

故选：C.

【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握判定和性质是解决问题的关键.

【变式2］（2021•山东青岛•一模）如图，将矩形ABC。沿BE,。尸折叠，使点A,C的对应点4,C分别落

在对角线8。上，连接EK交8。于点O.若A8=6,AD=S,则OE的长度是（）

A.√5B.√10C.2√5D.2√10

【答案】B

【分析】首先通过ASA证明AABE丝Z∖CE>F,得AE=CE可得四边形BFDE是平行四边形，在Rf及43£）中，

由勾股定理得：βD=∣O,得OC=5,在RfA43E中，由勾股定理得：A'E2+42=（8-Λ,E）2,解得：A1E=

3,再利用勾股定理求OE即可.

【详解】解：：四边形ABCo是矩形，AB=6,AO=8,

o

ΛZA=ZC=90,AB//CD,AD//BC,AD=BC=8,AB=CD=6f

e

..ZABD=ZCDBf

・・・将矩形45Co沿BE,QF折叠，使点A,。的对应点W,C分别落在对角线3。I

JNABE=NEBD=LNABD,ZCDF=ZFDB=-ZCDB,

22

JZABE=ZCDFf

⅛∆ABE⅛∆CDFφ,

ZA=ZC

AB=CD,

/ABE=NCDF

：.∕∖ABACDF(ASA),

：・AE=CF,

.'.AD-AE=BC-CF,

：.DE=BFt

'：AD//BC,

・・・四边形汨是平行四边形，

二OD=OB,

在mAABD中，由勾股定理得：BD=y]AB2+AD2=√62+82=10»

.∙.0D=-BD=5,

2

o

由折叠性质可得：48=48=6,ZBAT=ZA=W1

ΛZEA'D=90o,A1D=BD-A,B=10-6=4,

ΛOA,=OD-A,D=5-4=1,

1

由折叠性质得：AE=AE9

1,

：.DE=AD-AE=AD-AE=S-AEt

在心AYQE中，由勾股定理得：

ΛA,E2÷42=(8-AE)2,

解得：Λ,E=3,

在即"。£中，由勾股定理得：OE=SAn+=炉Kr=M•

故选：B.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质,

勾股定理等知识，灵活运用勾股定理列方程是解题的关键.

k

【变式3】(2022•山东泰安・统考一模)如图，反比例函数尸一(fc>0)的图象与直线AB交于点4(2,4),

X

直线AB与X轴交于点8(4,0),过点B作X轴的垂线BC,交反比例函数的图象于点C,在平面内存在点

使得以A,B,C,。四点为顶点的四边形为平行四边形，则点。的坐标是

【答案】（2,2）或（2,6）或（6,-2）

Q

【分析】山图象过点A求出反比例函数解析式y=9,进而求出点C坐标(4,2),利用中点公式求点。

X

的坐标.

k

【详解】解：•・•反比例函数y=-(⅛>0)的图象与直线交于点42,4)

X

.,.⅛=2×4=8

Q

・••反比例函数解析式为y=9

X

：点8(4,0),BCLx轴，交反比例函数的图象于点C

.∙.当jr=4时，y=2

即点C的坐标为(4,2)

令点。的坐标为(χ,y)

2+4=4+x

①当48,CO为对角线时

4+0=2+y

解A，得k（x=2

，点Q的坐标为(2,2)

2+4=4+%

②当4C,8。为对角线时

4+2=0÷y

X=2

解得

y=6

.∙.点。的坐标为（2,6）

2+x=4+4

③当A£>,BC为对角线时

4+y=0+2

•••点。的坐标为（6,-2）

综上可知，点。的坐标为（2,2）或（2,6）或（6,-2）

故答案为：（2,2）或（2,6）或（6,-2）.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求两函数的交点坐标，利用中点公式分情况求构成

平行四边形的点坐标.

【变式4］（2022•辽宁铁岭•统考一模）如图，将边长为4的等边，ΛBC沿射线8C平移得到.QEF,点M,

N分别为AC,。尸的中点，点尸是线段MN的中点，连接R4,PC.当为直角三角形时，BE=.

【答案】4或8

【分析】分NAPC=90。和NACP=90。两种情形求解即可.

【详解】如图1,当NAPC=90。时,

'：AM=MC,AC=4,

."M是△/!PC斜边上的中线,

：.AM=CM=PM=I,

：.PN=2,

.∙.MN=4,

故将AABC向右平移4个单位即可，

.*.8E=4：

如图2,当∕ACP=90。时，

丁AABC是等边三角形，AM=MC,

：.ZBMC=90o,

：.NBMC=NACP,

；.BM〃CP,

•••△ABC是等边三角形，4DEF是等边三角形，M,N分别是AC,CF的中点,

二NACB=NDFE=60o,CM=NF,

：.MC〃NF,

：.四边形MCFN是平行四边形，

：.MP〃BC,

：.四边形BCPM是平行四边形，

；.PM=4,

.∙.PN=4,

：.MN=3,

故将AABC向右平移8个单位即可，

.∙.BE=8;

故答案为：4或8.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，平移的基本规律，

熟练掌握平移的基本特点，灵活运用等边三角形的性质，平行四边形的判定是解题的关键.

【变式5］（2022•江苏苏州•苏州市振华中学校校考模拟预测）（1）如图1,点E,F均在正方形ABCr）内

部，且BE=EF=FD=2,NE=NF=90。.

①求证：四边形BEf犷是平行四边形；

②求正方形ABC。的边长；

(2)如图2,点E,F,G,”均在正方形ABCD内部，且BE=EF=FG=GH=HD=2,

NE=NF=NG=ZH=90°,求正方形ABC。的边长.

（图1）（图2）

【答案】（1）见解析；（2）√W（3）√26

【分析】（1）①连接BF,DE,即交Er于点。，证明a。FgBEo（AAS）,则OF=O£。D=OB,即可得

证；

②根据勾股定理以及全等三角形的性质得出8£＞，即可求解；

（2）连接FH,BF,BD,BG,BD交FG于点K,过点8作8Λ∕LG尸交G尸的延长线于点M,证明BK=OK,

勾股定理求得BK,进而即可求解.

(图1)

∙.∙ADOF=ZBOE,NDFO=ZBEO=90o,DF=BE,

：..DFg一BEO(∖AS),

OF=OEQD=OB,

二四边形BEDF是平行四边形；

②；DF=EF=BE=2,OF=OE=1,ZOFO=ZBEO=90°,

♦∙OB-OD=V22+12=∖∣5'

/.BD=20B=2√5,

.∙.四边形438是正方形，

・・.BC=-BD=VlO；

2

(2)连接FH,BF,BD,BG,BD交FG于点、K,过点4作J_G尸交G尸的延长线于点M,如图,

・・・二£7诅一FG”,二EFG是等腰直角三角形,

：•/EFB=/GFH=45。,

NEFG=90。，

/.ZEFB+ZEFG+ZGFH=180°,

・・・B,F,H三点共线,

同理可得RGE三点共线，

•：DH=BE,BH〃DE,

・•・四边形BEDH是平行四边形，

：,BH〃DE,BH=DE,

•：BF=FH,BG=DG,

・・・BF=DG,

VZBFK=ZDGKfNBKF=ZDKG,

・・・一5KF0一OKG(AAS),

・•・FK=KG=1,BK=DK,

YNM=ZBEF=ABFM=90°,

・•・四边形BEFM是矩形,

".,BE=EF,

，四边形BEFM是正方形，

：.BM=FM=2,MK=MF+FK=3,

BK=^BM-+MK2=√22+32=√13,

BD=岳,

：四边形ABCZ）是正方形，

/.BC=-BD=√26.

2

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定

理，正确的添加辅助线是解题的关键.

核心考点二平行四边形的性质

H（2022•辽宁朝阳•统考中考真题）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，

NEFG=90°,NEGF=60°,ZAEF=50°,则NEGC的度数为（）

【答案】B

【分析】由平行四边形的性质可得A8〃3C,再根据三角形内角和定理，即可得到NGE尸的度数，依据平

行线的性质，即可得到/EGC的度数.

【详解】解四边形ABCC是平行四边形，

：,ABDC,

：•ZAEG=ZEGCf

VZEFG=90o,NEGF=60。，

ZGEF=30o,

JNGEA=80。，

JZEGC=SOo.

故选：B.

【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

瓯（2022•江苏淮安•统考中考真题）如图,在YABeD中，C4_LAB,若々=50。，则NC4D的度数是

【答案】40。##40度

【分析】根据平行四边形对边平行可得A£>〃BC，利用平行线的性质可得NC4D=NACB,因此利用直角

三角形两个锐角互余求出/AC5即可.

【详解】解：•••四边形ABa）是平行四边形，

二AD//BC.

：.ZCADZACB,

,.∙CAYAB,

：.ZBAC=90°,

"：NB=50°,

/.ZAC3=90°-ZB=40°,

NeW=ZACB=40°,

故答案为：40°.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够

综合运用上述知识.

瓯（2022.广西.统考中考真题）如图，在YAfiCD中，BD是它的一条对角线，

（1）求证：AABgACDB；

（2）尺规作图：作BQ的垂直平分线EF分别交A。，BC于点、E,F（不写作法，保留作图痕迹）；

（3）连接2E,若NDBE=25°,求ZA£6的度数.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

(3)50o

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CRAD=BC,可利用“SS5”证明三角形全等；

（2）根据垂直平分线的作法即可解答；

（3）根据垂直平分线的性质可得BE=OE,由等腰三角形的性质可得"3E=NBZ）E,再根据三角形外角

的性质求解即可.

【详解】（1）.四边形A8C。是平行四边形，

:.AB=CD,AD=CB,

BD=DB,

:.AABD^ACDB（SSS）

（2）如图，EF即为所求；

（3）B力的垂直平分线为ER

/.BE=DE,

.∙.ZDBE=NBDE,

Q/DBE=25。,

・,.ZDBE=ZBDE=25。,

.∙.ZAEB=ZfiDE+/DBE=50°.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的作法和性质，等腰三角

形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

厚命题自确

1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；

2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；

3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；

4.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；

特别说明：(1)平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角

相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.

(2)由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.

(3)利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三

边的不等关系来解决.

容就硼绕

【变式1](2023•山西临汾•统考一模)如图，在YABCD中，过点A作垂足为E.若8C=4,

ZC=105o,ZBDC=45°,则AE的长为（）.

A.B.l+√3C.2+√3D.2+2√3

2

【答案】B

【分析】过点A作AH,BD于点H,根据平行四边形性质可知NAS£>=NB£>C=45。,

ZB∕M=18O≡-NC-ZBDC=3O0,求出即长度，再跟据平行四边形面积公式，列出方程解答即可.

【详解】

如图过点A作AH±3。于点H,

；四边形ABCD为平行四边形，NC=K)5。，ZBZJC=45°,

.∖NBAA=I80。-Ne-NBZ）C=30。，ZABD=ZBDC=45°,

：.ZBAH=^ABD=4501

：,BH=AH,

•：AD=BC=4i

・1DH=———=-^=2√3

・・BH=AH=-AD=2,tanNBDA后,

2—

3

∙*.BD=BH+HD=2+2yβ，

'∙"SABCD=BC-AE=SABC+SBCD=2Saπd,

：.4-AE=2-AHBD=4+4y∣3,

2

.,.AE=4+4右=]+G.

4

故选：B.

【点睛】本题考查了平行四边形及其对角线的性质，特殊角的三角函数，平行四边形的面积等知识点，熟

练掌握上述知识点是解答本题的关键.

【变式2】（2022•安徽合肥•合肥38中校考模拟预测）在平行四边形ABCC中，AD=2AB,F是AC的中点，

过点C作CEJ垂足E在线段AB上，接EACF,则下列结论错误的是（）

C.EF=CFD.SΔBEC=2SΔCEF

【答案】D

【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF公ADMF,得出对应线段之

间关系进而得出答案.

【详解】解：；尸是4。的中点，

，AF=FQ,

；在DABC。中，AD=IAB,

：.AF=FD=CD,

.∙.NDFC=NDCF,

•：AD〃BC,

：.ADFC=ΛFCB,

:∙NDCF=NBCF,

：.ZDCF=ZBCDf故此选项A正确;

设NFEC=X,则NFCE=居

，ZDCF=ZDFC=90o-χ,

ΛZEFC=180o-2x,

・・・ZEFD=90o-χ+180o-2r=270o-3x,

YZAEF=90o-χ,

・•・NDFE=3NAEF,故此选项B正确；

延长E凡交。。延长线于M,

Y四边形4BC。是平行四边形,

J.AB//CD,

：.ZA=ZMDFf

O尸为AD中点,

IAF=FD,

在^AEF。FM中，

NA=NFDM

AF=FD,

NAFE=/DFM

：.∕∖AEF^∕∖DMF(ASA),

：.EF=MF9NAE尸=NM,

VCElAB,

/./AEC=90。，

，ZAEC=ZECD=90o,

YEF=MF,

：.CF=MF,BPCF=EF,故选项C正确；

"：EF=MF,

：*SAEFC=SACFM,

'CMlOBE,

：.SABEC<2SAEFC

故LBEC=2SZCEF错误；故选项D不成立；

故选D

【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出AAEF也△£>MF是

解题关键.

【变式3】（2022•辽宁营口•一模）如图，平行四边形ABC。中，AC,BD交于点O,BD=IAB,以A为

圆心，Ao长为半径作弧，交OB于点G,分别以O,G为圆心，大于;OC的长为半径作弧，两弧交于点M,

作射线AM交BZ）于点E,交BC于点F,EO=2,BG=I,贝IJAC=.

【答案】4√5

【分析】利用基本作图可判断得AM垂直平分OG,所以EG=OG=2,NA=A£0=90。，则

Bo=5,BE=3,再根据平行四边形的性质得到OB=ODOC=OA,由BD=2A8,所以AB=80=5,然

后利用勾股定理可先计算出AE,再计算出04,从而得到AC的长.

【详解】解：由作法得AM垂直平分0G,

：.EG=OG=2,ZAEB=AEO=90°,

•：BG=I,

：.BO=5,BE=3,

•••四边形AS8为平行四边形,

ΛOB=OD,OC=OA,

：BD=2AB,

：.AB=Bo=5,

在RtZ∖Λ3E中，AE=旧-W=4,

在Rt∆A0E中，OA=√22+42=2√5，

，AC=2OA=4√5.

故答案为：4√5.

【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了平行四边形的性

质，勾股定理等知识，解题的关键是得到AM垂直平分OG.

【变式4］（2023•山东枣庄•校考模拟预测）如图，E、尸分别是YAB8的边A3、8上的点，AF与Z）E相

2

交于点P,8尸与CE相交于点Q,若S=14cn√,Sbqc=26cnr,Sabcd=200cm,则阴影部分的面积

【答案】60

【分析】连接E、尸两点，过点E作EU_LDC于点M,求解SCEC=IoOCm证明Sefc=SBCF,可得SKFQ=SBCQ

同理：SEFD=SADF,可得SEo=S的，可得SiflmC°=14+26=4θ(cπ√),从而可得答案.

【详解】解：连接E、尸两点，过点E作EWJ_DC于点M,

=DC-EM=20()Cm2,

.".SDEC=IOoCm2,

；四边形AB8是平行四边形,

.∙.AB//CD,

：.工EFC的FC边上的高与ABCF的FC边上的高相等,

•∙SEFC=SBCF，

∙,∙SEFQ=SBCQ»

同理：SEFD=SADF

•∙SEFP=$ADP，

・SAPD~14Cm,SβQQ=26Cm,

∙'∙^waiKEFPQ=14+26=4θ(Cnr),

故阴影部分的面积为=SOEC-Mq边牍舛°=100-40=60(cm2).

故答案为：60.

【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，平行线的性质，掌握“同底等高的两个三角形的面积相等“是解本

题的关键.

【变式5】(2023•湖南衡阳•校考一模)在平行四边形ABCO中，对角线AC、BD交于O点"AD=AO,

点E为。4的中点，

⑴若DEJ.CD,CD=6,AQ=2火，求OE的长.

(2)证明：CD=2DE.

【答案】(1)3

(2)详见解析

【分析】(1)根据题意可得OE=g4O=gAZ)=石，OC=AO=AD=2石，再根据勾股定理求解即可;

(2)取AO的中点尸，连接。F,通过证明.AfSAAO尸和中位线定理，即可求证.

【详解】(1)解：•；四边形ABCD是平行四边形，

二OA=OC,

：点£为。4中点，AD=AO,AD=2非,

∙'∙OE=-A0=—AD=y/5,OC=AO=AD=2>∕5»

22

/.CE=OE+OC=3/,

VDElCD,8=6,

∙,∙DE=-JCE2-CD2=3；

(2)证明：取AO的中点凡连接。尸，

∙.∙AO=AO,点E为OA中点，

/.AE=AF,

在VADE和AOF中，

AD=AO

-ZEAD=ZEAO,

AE=AF

AO-AOE(SAS),

：.DE=OF,

V0A=0C,AF=DF,

：.CD=WF,

：.CD=2DE.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，解题的关键是掌握平行四

边形对边平行且相等，对角线互相平分.

核心考点三平行四边形中的折叠问题

阿H（2022•黑龙江大庆・统考中考真题）如图，将平行四边形AfiCD沿对角线8。折叠，使点A落在E处.若

Zl=56°,/2=42。，则NA的度数为（）

E

A.108oB.109oC.IlOoD.Illo

【答案】C

【分析】先根据平行四边形的性质，得出48CD,根据平行线的性质，得出NA8E=Nl=56。，根据折叠

得出/ABO=工NABE=28。，根据三.角形内角和得出/A的度数即可.

【详解】解：•••四边形ABC。为平行四边形，

ABCD,

.∙.ZABE=Zl=56°,

根据折叠可知，ZABD=ZEBD,

：.ZABD=-ZABE=1×56°=28°,

22

Z2=42o.

.,.ZA=180°-ZABO-Z2=110°,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条

件求出NABD=28。是解题的关键.

题耳（2022•辽宁大连•统考中考真题）如图，对折矩形纸片A8CO,使得A。与BC重合，得到折痕E尸，

把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A的对应点4落在E尸上，并使折痕经过点B,得到折痕.连接MF,

若MhBM,AB=6cm,则A£>的长是cm.

B

【答案】5√3

【分析】根据直角三角形的中线定理，先证明四边形AaVM是平行四边形，再证明.AOM是等边三角形,

分别根据直角三角形中的三角函数求出AM和。例，从而得到答案.

【详解】解：如下图所示，设A，E交于点。，连接A。，

:点E是中点，

二在和KJA'8Λ∕中，AO=OM=OBQA=OB=OM,

：.ZOAE=NOBE,NOBA'=ΛOA'B,

,/ZOBE=ZOBA'.

：.ZOAE=ZOAIB,

∙/ZOAE+ZAOE=90',ZOA1B+ZOA'M=90,

，ZAOE=ZOArM,

：.AOHAM,

,.∙AM//OA'

.∙.四边形AOTM是平行四边形，

.-∙AM=OA'

：.AM=AO=OM,

.AOM是等边三角形，

；•ZAMO=ZOMA'=60°

.∖tanZAMO=tan60=

AM

.".AM≈2y∕3,

VMFlBM.NOMA=60",

.,./AMF=30°,

/.ZDMF=180°-l50°=30"，

■：OF=LAB=3,

2

.∙.MD=-DΛ-=3√3,

tan30o

AD=AM+MD=56,

故答案为：5√3.

【点睛】本题考查矩形的折叠、直角三角形、等边三角形的性质，解题的关键是证明.AOM是等边三角形

以及熟练掌握直角三角形中的三角函数.

H（2021・山西・统考中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，

在YABCr）中，BELAD,垂足为E,F为C。的中点，连接E尸，BF,试猜想E尸与8F的数量关系，并

加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将YABCD沿着BF（尸为C。的中点）所在直线折叠，如图②，

点C的对应点为C',连接。C并延长交AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将YAfiCD沿过点B的直线折叠，如图③，点4的对应点为4,使

LCD于点“，折痕交AD于点M,连接交8于点N.该小组提出一个问题：若此YABC。的

面积为20,边长A3=5,BC=2√5,求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请你思考此问题，直接

写出结果.

【答案】（1）E尸=B∕r;见解析；（2）AG=BG,见解析；（3）—.

【分析】（1）如图，分别延长A£>,即相交于点P,根据平行四边形的性质可得AD//8C,根据平行线的

性质可得ZPDF=ZC,ZP=ZFSC,利用AAS可证明△PDFBABb,根据全等三角形的性质可得FP=FB.

根据直角三角形斜边中线的性质可得EF=；BP,即可得EF=BF;

（2）根据折叠性质可得NCFB=NC户8=，/CFC,FC=FC',可得FD=FC,根据等腰三角形的性质可得

NFDC=/FCD,根据三角形外角性质可得/C尸C=NF。。+/FC'C,即可得出∕C'FB=∕R7O,可得

DG//FB,即可证明四边形。GBF是平行四边形，∏TWDF=BG=-AB,可得AG=BG;

2

(3)如图,过点M作MQL48于。,根据平行四边形的面积可求出8H的长,根据折叠的性质可得4B=A8,

ZA=ZA',/4BM=NM84,根据A'3J_CO可得48J_A8,即可证明4例8。是等腰直角三角形，可得MQ=BQ,

根据平行四边形的性质可得∕A=∕C,即可得N4=NC,进而可证明aAWHs^CBH,根据相似三角形的

性质可得A'"、MI的长，根据NH//M。可得NHSZVVMQ,根据相似三角形的性质可求出MQ的长，

根据S行SAA'MB-SΔA'NH即可得答案.

【详解】(1)EF=BF.

如图，分别延长AO,BF相交于点P,

；四边形ABCD是平行四边形，

AD//BC,

；.NPDF=NC,NP=NFBC,

：F为CO的中点，

：.DF=CF,

NP=NFBC

在公PDF和^BC尸中，，ZPDF=ZC,

DF=CF

.'.△PDF当ABCF,

,FP=FB,即尸为BP的中点，

，BF=-BP,

2

,/BELAD,

：.NBEP=90。,

：.EF=-BP,

2

；•EF=BF.

(2)AG=BG.

・・•将YA3CD沿着M所在直线折叠，点C的对应点为CI

,

・・・ZCFB=ZCFB=IZCFC9FC=FC,

•・•F为Co的中点，

JFC=FD=-CD,

2

：•FC=FD，

・・・NFDC=NFCD,

∙//CFC=NFDC+NFCD,

1

.*.ZFCD=-ΛCFC∖

2

NFcD=NCFB,

：,DGHFB,

・・・四边形ABCZ)为平行四边形，

ΛDCHABfDC=AB1

・・・四边形DGBF为平行四边形，

：•BG=DF,

：.BG=-AB

2f

：.AG=BG.

(3)如图，过点例作何。，43于。，

YYABC。的面积为20,边长48=5,于点H,

BH=50÷5=4,

22

∙'∙CH=yJBC-BH=2,AH=ABBH=T,

Y将YA5C。沿过点B的直线折叠，点A的对应点为A,,

：.A,B=AB,NA=NA,NABM=NMBH,

•・・A'B,C。于点H,ABHCD,

：,HBJLAB,

；・NMBH=45。,

・・・是等腰直角三角形，

：.MQ=BQ,

Y四边形ABCD是平行四边形，

JZA=ZC,

・•・NH=NC

t

∙/ZAHN=ZCHB9

：.LANHs∕∖CBH,

・••丝=吗即2」,

AHNH1NH

解得：NH=2,

VA'BlCD.MQLA'B,

.".NH∕∕MQ,

：.XKNHSXHMQ,

.AHNHaπ12

**AQMQ`S-MQMQ'

解得:MQ=J,

,112

s矿SJMB-SΔA'NH=ABMQ-ɪA'HNH=y×5×y-∣××=y-

【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定

与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键.

厚命趣自曲

（1）折叠的性质

①重叠部分全等

②折痕是对称轴，对称点的连线被对称轴垂直平分.

（2）对称的定义（折叠是对称的一种特殊情况）

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，

这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应

点到对称轴的距离都是相等的.

（3）认真识别折叠前后的图形是解题的关键.

【重点聚焦】

（1）折叠问题通常涉及平行四边形的性质和判定、折叠的性质、对角线的性质、平行的性质等知识点.

（2）“利用折叠的性质得到等边等角“和”识别折叠前后的图形“是解决折叠问题的关键.

（3）审题时，应养成良好的做题习惯：把已知条件的等边关系、等角关系、角的度数等内容均在图形做好

标记.

【变式1］（2022.贵州遵义.统考一模）在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，尸为直角梯形ABCO

边AB的中点，将直角梯形纸片ABC力分别沿着EF,OE所在的直线对折，点8,C恰好与点G重合，点。，

G,尸在同一直线上，若四边形BCZ）F为平行四边形，且AD=6,则四边形BEGF的面积是（）

A.6√3B.3√3C.2√3D.等

【答案】A

【分析】先由折叠性质和点F是AB的中点得出AF与Z）F的数量关系，由勾股定理求得4尸与。凡再平行

四边形的面积公式求得8CDF的面积，进而求得四边形8EGF的面积.

【详解】】解：由折叠性质得BE=GE=CE,BF=GF,CD=DG,

•：四边形BCQF为平行四边形，

/.CD=BF,DF=BC,

'：AF^BF,

.'.AF=BF=FG=DG,

：.IAF=DF,

在mAPF中，DF2-AF2=AD2,即4人尸-/1产=62,

•∙ΛF=2∙^3>

BF=2∖∣3,

SmBCDF=BF∙AD=12√3，

•：DG=FG,

：.SAEDG=S&EFG,

由折叠性质知SACDE=SAEDG=SARFG=S&BEF,

：.S娟形BEGF=ISaBCDF=6√3.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，平行四边形的面积计

算，折叠的性质，关键在应用勾股定理求出A尸的长度.

【变式2］（2022•重庆九龙坡・统考一模）如图，将四边形纸片ABCo沿过点A的直线折叠，使得点B落在

CZ）上的点Q处，折痕为AP.再将APC。，AAOQ分别沿尸。，AQ折叠，此时点C,。落在AP上的同一点

AB

R处.当A。=CP时，则含的值为（）

A.√3B.2√3C.2D.√2

【答案】A

【分析】由折叠的性质可得NB=NAQP,ZDAQ=ZQAP=ZPAB1ZDQA=ZAQR,ZCQP=ZPQR,

ZD=ZARQf/C=NQRP,由平角的性质可得N£>+/C=180。，ZAβP=90%可证A£>〃8C由平行线的性

质可得NzM3=90。，由平行四边形和折叠的性质可得AK=Pm由直角三角形的性质可得4P=2PB=2QR,AB=

√3∕JB,即可求解.

【详解】解：由折叠的性质可得：ZB=ZAQP1ZDAQ=ZQAP=ZPABfZDQA=ZAQR,ZCQP=ZPQR,

ZD=ZARQfZC=ZQRP1

VZβ∕M+ZβæP=180o,

ΛZD+ZC=180°,

.∖AD∕∕BC,

：.ZB+ZDAB=∖S0o,

YNQQR+NCQR=180。，

/.ZDQA+ZCQP=90o,

：.NAQP=90。，

NB=NAQP=90。,

JNDA8=90。，

・♦・ZDAQ=ZQAP=ZPAB=30O,

由折叠的性质可得：AD=AR,CP=PR,

Y四边形APCD是平行四边形，

：.AD=PCf

：.AR=PR,

XVNAQP=90。，

.”[AR

VZMB=30o,NB=90°,

：.AP=2PB,AB=也PB,

LPB=QR,

・•・嚼S

QR

故选：A.

【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本

题的关键.

【变式3］（2022.江苏镇江.统考一模）如图，在平行四边形AfiC。中，将.A8沿着AC所在的直线折叠

得到∕∖ACE,AE交BC于点F,连接BE,若ZABC=60o,ZACB=45o,AC=2√3,则BE的长是

【答案】2

［分析］利用折叠的性质，以及平行四边形的性质，得到ZEFC=90°,分别解Rt∆ΛFC,Rt∆EFC.RtAEFB.

即可得解.

【详解】解：；四边形ABQ）为平行四边形，NABC=60。，

.∙.ZD=ZABC=60°,NBCD=180°-60°=120°,AD=BC,

'：ZACB=45°,

/.ZA8=120°—45°=75°,

Y将ACD沿着AC所在的直线折叠得到ZXACE.

，ZACE=ZACD=75°,CE=CD,ZAEC=ZD=60o,AE=AD,

NEC尸=75°-45°=30°,

NEFC=180。-60°-30°=90°,

ZAFC=180o-ZEFC=90°,

VZACB=45°,AC=2√3,

.,.AF=CF=-AC=46,

2

；•£F=CFxtan30o=√6×-=√2,

3

∖∙BC=AD=AE,AF=CF,

：.BC-CF=AE-AF,即：BF=EF=近,

BE=血EF=2;

故答案为：2.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质以及解直角三角形.熟练掌握平行四边形和折叠的性质，

得到BClAE,是解决本题的关键.

【变式4】（2022•河南•模拟预测）如图，四边形ABC。为平行四边形，ZA=45,AB=G+3,点E为AO

边上一动点.将AABE沿直线BE折叠，点A的对应点为4,再将Ev沿直线4B折叠，点E的对应点为

E'.当点在BC上方，且BE与平行四边形ABC。的一边垂直时，A，F的长为.

【答案】指或正

【分析】分两种情况讨论：当BE，_LAB时，当8E，_LAZ）,垂足为点H时，结合平行四边形的性质及直角三

角形的性质进行解答即可.

【详解】如图1，当BE，_L48时，过过点E作AB,

:BE，LAB,

：.ZABE,=90o,

；将AABE沿直线BE折叠，再将ABEI沿直线折叠,

.,.ZABE=ZA,BE=ZA,BE,=30°,

设HE=x,

：.RmBHE中,BH=由HE=瓜,

'：Rt∆AEH,NA=45,

：.AH=HE,

ΛΛB=χ+√3x=√3+3,

解得：X=∖∣3>

/.EH=B

/.AtE'=Af'=√2EW=√6,

如图2,当垂足为点H时,

,/BE,LAD,

：.ZAHB=90o,

：RQABH中，∕A=45,

：.AH=HB=曰AB=与（币⑹,

,：将"8E沿直线BE折叠，再将Ev沿直线A1B折叠，

.∙.∕ABE=∕A'BE=NA>Bb=15°,

：.NHBE=30°,

/.RMHE中，HE=-BH=-×-（3+y∕3]=瓜+垃,

332、）2

.,∙AE=AE=AH-EH=今（6+3）-迷;五=血;

故答案为：瓜或近.

【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，平行四边形的性质，解直角三角形等知识；熟练掌握翻折变换和

直角三角形的性质，正确画出图形是解题的关键.

【变式5]（2020・广西贵港・统考一模）如图，在平行四边形ABCo中，Aβ=10,Ar>=16,ZA=60o,尸是

射线AO上一点，连接尸8,沿尸6将ΔAPB折叠，得ΔA∕8.

（1）如图所示，当NQR4'=10。时，APB=度；

D

(2)如图所示，当B4UBC时，求线段Λ4的长度;

(3)当点P为Az)中点时，点尸是边A3上不与点A、8重合的一个动点，将/SAPF沿尸尸折叠，得到ΔA'Pk，

连接fl4l求ΔBA尸周长的最小值.

【答案】(1)85°；(2)5√3+5;(3)2+2√21

【分析】(1)求出利用翻折不变性解决问题即可.

(2)如图2中，作BH_LAD于H.根据30度角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理求出AH,PH即

可解决问题.

(3)Δβ4N的周长=E4，+BF+β4，=AF+BF+8A=AB+β4，=10+β4，，推出当BA的周长最小时，∆β√尸的周

长最小，由此即可解决问题.

【详解】(I)如图1：

图1

7NCVW=10°

：.ZAPA'=180°-ZDPA'=180°-10°=170°

由折叠的性质可知:

ZAPB=ZA,PB=ɪ×170o=85o

2

故答案为：85°

(2)如图2：作BH,AD于H

在Rt∆ABH中

VZAHB=90°,AB=10,ZA=60°

ΛZABH=30°

ΛAH=∣AB=5

BH=y∣AB2-AH2=√102-52=5√3

T四边形ABCD是平行四边形

ΛAD√BC

PA'VBC

：.PA'LAD

：.NARr=90°

ZHPB=ZBPA'=45°

PH=BH=5√3

PA=AH+PH=5>β+5

故答案为：5√3+5

(3)如图3中，作BHJLAD于H,连接BP

VPA=8,AH=5

.*.PH=3

VBH=5√3

PB=y∣PH2+BH2=732+(5√3)2=2√21

由翻折可知：PA=Br=8,FA=EV,

ΔBE4'的周长

M'+BF+βA'=AF+BF+BA'=AB+BA'=10+BA,

二当BA,最小时，ΔBEV的周长最小

：BA'≥PB-PA'

；•BA'≥2√2l-8

84的最小值为2jΣT-8

二ΔBE4'的周长的最小值为：10+2√ΣI-8=2⑨+2

图3

故答案为：2后+2

【点睛】本题考查了轴对称