轴对称图形（解析版）-2023年中考数学一轮复习（江苏省）

考点09轴对称图形

在命题趋势

.

轴对称图形主要包括轴对称的概念、线段的垂直平分线、轴对称图形、等腰三角形的性质与判定以及

轴对称图形的作图；在中考中轴对称与轴对称的性质、线段的垂直平分线主要以选择和填空的形式进行考

查，难度较低；画轴对称图形往往会考查尺规作图；等腰三角形的考查形式有多种，包括选择、填空和解

答都有考查的可能，难度中等。

在知识导图

概念与轴对称的性质

轴对称和轴对称图形区别与联系

画轴对称图形

在重点考向

a

一、轴对称；

二、线段和角的轴对称性；

三、等腰三角形。

考向一：轴对称

L轴对称图形：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称

图形，这条直线就是它的对称轴。

2.轴对称图形的性质：轴对称图形的时称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

3.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条

直线对称，这条直线叫做对称轴。

4.成轴对称的两个图形的性质：

①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；

②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.

5.轴对称图形与轴对称的区别和联系

区别：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，

而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形

关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形.

6.用坐标表示轴对称

点（x,y）关于X轴对称的点的坐标为（x,-y）；点Cx,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）；

点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,—y）.

7.作轴对称图形

（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可

以得到原图形的轴对称图形；

（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，

连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

典例引襁

1.（2022・山东济南•模拟）下列图形中，是轴对称图形的是（）

A⑥网

D.

【答案】B

【分析】根据轴对称图形特点分别分析判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，不符合题意，

故答案为：B.

2.如图，将ASC折叠，使AC边落在A8边上，展开后得到折痕/,则/是√LSC的（）

A.中线B.角平分线C.高线D.以上都不对

【答案】B

【分析】根据折叠的性质可得NcAD=Zβ4D,由此即可得到答案.

【详解】解：如图，

：由折叠的性质可知ZC4D=NBAD,

/.AD是NBAC的角平分线，即/是NBAC的角平分线，

故选：B.

3.（2022.河南•漂河市第三中学九年级期末）如图，四边形ABCO为一长条形纸带，48〃CD将四边形ABCO

沿所折叠，A、。两点分别与A:O对应，若/1=2/2,则/4EF的度数为（）

A.60oB.720C.650D.75°

【答案】B

【分析】由翻折的性质可得NAEF=NEE4,由平行线的性质可得NAEF=NI,设N2=x,易得NAEF=

N1=NFE4'=2t,然后根据平角的定义构建方程即可解决问题.

【详解】解：由翻折的性质可知：NAEF=NFEA',

'：AB//CD,

二ZAEF=Z1,

设N2=x,则/AEF=Nl=NFE4'=Zr,

VZAEB=180°,

Λ5x=1800,

Λx=36o,

.∙.NAEF=2r=72。，

故选:B.

4.在平面直角坐标系x0v中，点P(-2,4)关于X轴的对称点的坐标是()

A.(2,4)B.(4,-2)C.(Y,2)D.(-2,-4)

【答案】D

【分析】利用关于X轴的对称点的坐标特点可得答案.

【详解】解：点P(-2,4)关于X轴的对称点的坐标是(-2,-4).

故选：D.

5.在平面直角坐标系中，点41,3)关于X轴对称点的点8所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【分析】直接利用关于X轴对称点的性质结合平面直角坐标中坐标的特点即可得出答案.

【详解】解：：点4的坐标是(1,3).作点4关于X轴的对"称点，得到点8,

二点B(l,-3),

.∙.点B所在的象限是第四象限,

故选：D.

考向二：线段和角的轴对称性

L线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线.

2.线段的轴对称性

(1)线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.

(2)线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

(3)线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线

3.角的轴对称性

(1)角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.

(2)角平分线上的点到角两边的距离相等.

(3)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

••

j▲--•____

1.在联欢会上，有A、8、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在

他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在，ABC的()

A.三边垂直平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三条高所在直线的交点

【答案】A

【分析】根据题意得：当木凳所在位置到A、8、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分

线的性质，即可求解.

【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，

Y线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，

二凳子应放的最适当的位置是在iABC的三边垂直平分线的交点.

故选：A

2.已知直线。是线段AB的垂直平分线，并且垂足为。，若CA=8cm,则CB=()

A.4cmB.6cmC.8cmD.IOcm

【答案】C

【分析】根据线段垂宜平分线的性质进行求解即可.

【详解】解：•••直线CO是线段A8的垂直平分线，并且垂足为。，C4=8cm,

CB=CA=8cm,

故选C.

3.(2022♦贵州•贵阳清镇北大培文学校一模)如图，AC^AD,BC=B。，贝IJ下列判断正确的是()

A.AB垂直平分C£>B.8垂直平分AB

C.A3与CD互相垂直平分D.CD平分NACB

【答案】A

【分析】根据全等：.角形的性质得到ZCAB=ZDAB,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：在ΛABC与AABD中,

AC=AD

BC=BD,

AB=AB

AJ3C^=^ABD,

.∙.NCAB=NDAB,

.:43垂直平分0

故选：A.

4.已知AMC(AC<BC),用尺规作图的方法在BC上确定一点P,使尸A+PC=3C,则符合要求的作图

【答案】D

【分析】利用线段垂直平分线的性质以及圆的性质分别分得出即可.

【详解】解：A、如图所示：此时BA=BP,则无法得出AP=B尸，故不能得出R4+PC=BC,故此选项错

误；

B、如图所示：此时B4=PC,则无法得出AP=8P,故不能得出R4+PC=BC,故此选项错误；

C、如图所示：此时C4=CP,则无法得出AP=BP,故不能得出R4+PC=BC,故此选项错误；

D、如图所示：此时BP=AP，故能得出PA+PC=8C,故此选项正确；

故选：D.

5.如图，AABC中，AB的垂直平分线交AC于。，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△OBC的周长是（）

A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm

【答案】D

【分析】根据线段垂直平分线的定义得到AO=3。，即可求出答案.

【详解】解：∙∙∙OE垂直平分A8，

：.AD=BD9

VAC=5cm,βC=4cm,

；・ADBC的周长=Co+8O+5C

=CD+AD+BC

=AC+BC

=9（cm）,

故选：D.

考向三：等腰三角形

1.等腰三角形

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；

②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直

角三角形的每个底角都等于45°.

(3)等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(即“等角对等边“).

2.等边三角形

(1)定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

1.(2022.山东.济南九中模拟)如图，在ABC中，点D是BC上的点，AD=BD,将AABD沿Ao翻折得

到若NB=40。，则NCZ)E等于()

A.20oB.30oC.35oD.40°

【答案】A

【分析】根据等边对等角得到NBAD=NABC=40。，根据翻折的性质以及三角形内角和定理得到

ZADE=ZADB=∖00°,再利用外角性质得到NM>C=80p,进一步求出NCOE=20。.

【详解】解：：AO=BD,

.*.ZBAD=ZABC=40°

•：将AABD沿AD翻折得到LAED,

/.ZAZ>£=ZAZ)B=180o-ZABC-ZBAD=180o-40o-40o=IOOo,

VZADC=ZABC+ZBAD=400+40°=80°,

.*.NCDE=100o-80°=20o,

故选：A

2.（2022•山东济南・模拟）如图，在ABC中，NC=90。，々=30。，以A为圆心，任意长为半径画弧分别

交AB,AC于点M和N,再分别以M、N为圆心，大于MV的长为半径画弧，两弧交于点P,连结ΛP并延

长交BC于点。，则下列说法中不正确的是（）

A.Ao是NBAC的平分线

C.点。在AB的中垂线上D∙SADAC：^ΔABD=1：3

【答案】D

【分析】A根据作图的过程可以判定AD是/84C的角平分线；

B利用角平分线的定义可以推知NC4Q=30。，则由直角三角形的性质来求/4）C的度数；

C利用等角对等边可以证得AD=JD8,由线段垂直平分线的判定可以证明点。在AB的中垂线匕

D利用30。角所对的直角边是斜边的•半求出CD=gAO=gθB,进而可得SZUMC：S△./）=1：2.

【详解】解：根据作图方法可得Ao是/EAC的平分线，故A正确；

VZC=90o,NB=30。,

/.ZG4S=60o,

TA。是/84。的平分线，

JΛDAC=ZDAB=30°,

ΛZADC=ωo,故B正确；

VZB=30o,ZZMB=30%

JAD=DB,

・・・点D在A3的中垂线上，故C正确；

o

∙/ZCAD=309

：.CD=-AD,

2

VAD=DB，

：.CD=-DB

2f

∙*∙S△/MC:S△.)=1：2,故D错误,

3.如图.在./BC中，AB=AC.若AQ是，ABC的角平分线，则下列说法错误的是（）

A.BD=CDB.ADlBCC.Sabd

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的三线合•性质解题.

【详解】∙.∙43=AC,Ao是&ABC的角平分线,

ΛBD=CD,ADlBC,

・q—ɪς

,,°ABD_2DABC'

故选D.

4.（2022・宁夏・银川市第九中学二模）将一把直尺和一个含45。角的一个直角三角板如图放置，若Nl=28。,

则N2的度数是（）

A.45oB.73oC.62oD.75o

【答案】B

【分析】根据等腰直角三角形的性质和外角的性质得到N4的度数，再由平行线的性质/2=/4即可求解.

【详解】解：由题可知,23=45。，

/.Z4=Z1+Z3=28°+45°=73°

∙.,AB//CD,

5.如图在SABC中，边AB,AC的垂直平分线交于点P,连结WJ,CP,若/A=5θ",则/8PC=

A.100B.95°C.90"D.50

【答案】A

【分析】连接",根据垂直平分线的性质得到RA=P5=PC,再根据等腰三角形的性质，即可得到

NPBA=NPAB,ZPCA=NPAC,得出NP8A+NPC4=50"，再根据三角形的内角和定理得到

ZABC+ZACB=130，得到NPBC+NPCB=80°,根据三角形内角和的性质即可求出NPBC的度数.

【详解】解:如图，连接AP

Y边A8,AC的垂直平分线交于点P

..PA=PB=PC,

：・ZPBA=/PAB,ZPCA=ZPAC9

ZA=ZBAP+ZCAP=50°,

・•.ZPBA+ZPCA=50∖

在aABC中,

ZABC+ZACB=180-ZA=I30",

.∙.ZPBC+ZPCB=130°-50°=80°,

在，PBC中，

ZBPC=180-（ZPBC+ZPCB）=180"-80"=IO0”.

故选：A.

在跟踪训练

1.（2022•山东・济南九中模拟）下列图形中，是轴对称图形且对称轴最多的是（）

米BXC密De

【答案】C

【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形，这条

直线叫做时称轴.

【详解】A选项是轴对称图形，有4条对称轴；

B选项不是轴对称图形；

C选项是轴对称图形，有6条对称轴；

D选项是轴对称图形，有1条对称轴.

故选：C

2.到,ABC三个顶点距离相等的点是.ABC的（）

A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点

C.三条高的交点D.三条垂直平分线的交点

【答案】D

［分析］根据线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等解答即可.

【详解】解：设点P是ABC三条垂直平分线的交点，

根据垂直平分线的性质可知，点P到JWC的三个顶点距离相等.

故选D.

3.（2022・山东・济南市东方双语实验学校模拟）下列是国际数学家大会会徽中的部分图案，属于轴对称图形

的是（）

©

C.D.

【答案】D

【分析】根据轴时称图形的定义解答即可.

【详解】解：A.,不是轴对称图形,故不符合题意;

D.是轴对称图形，符合题意.

故选：D

4.如图，在ABC中，ZACB=90°,NA=I5。，ΛB=4√2>则4C∙8C的值为（）

A.7B.8行C.2√5D.8

【答案】D

【分析】作点B关于AC的对称点。，连接42OC,过点。作。于点E,根据含30度角的直角三

角形的性质求得DE,进而等面积法即可求解.

【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点。，连接AO,DC,过点。作DE1ΛB于点E,

'∙"ZACB=90o,ZCAB=∖5o,Aβ=4√2

二。在2C的延长线上，NZME=2NC4B=30。，Ao=A8=4√∑,

.,.DE=LAD=2及,

2

-SΔADB=^AB×DE=^DB×AC=AC×BC,

：.ACXBC=LABXDE=L*4必2血=8,

22

故选：D.

5.（2022•贵州遵义•三模）如图，在ABC中，BD平分NAfiC,ZC=2ZCDB,AB=∖2,CD=3,则

_ABC的周长为（）

【答案】C

【分析】根据题意在AB上截取BE=BC,连接£>E,由SAS可证aCBD丝AEBO,可得NCDB=NBDE,

ZC=ZDEB,可证NAz)E=NAED,可得A。=AE,进而即可求解.

【详解】解：如图，在A3上截取BE=BC,连接OE,

C

D

E

VBD平分/ABC,

：.ZABD=/CBD,

在4C5Q和ARSD中,

CB=BE

/CBD=ZDBE,

BD=BD

：・ACBD/AEBD(SAS),

ΛZCDB=ZBDEf/C=NDEB,

：.ACDE=IACDB,

YZC=2ZCDB,

・・・ZCDE=ZDEB=ZC,

：,ZADE=ZAEDf

，AD=AE.

：..ABC的周长=Ao+AE+BE+5C+CD=AB+AB+CO=27,

故选：C

6.如图。是长方形纸带，ZDEF=22。，将纸带沿律折叠成图〃，再沿所折叠成图c,则图C,中的NCFE的

度数是()

A.108°B.114oC.120oD.132°

【答案】B

【分析】根据平行线的性质可得/BPE="所=22。，则在图〃中，NrFE=I58。，进而可得在图。中,

∕BR7=136°,进而在图C中即可求解.

【详解】解：VADHBC,且NDEF=22。,

/BFE=/DEF=22。,

,在图4中，NtTE=180。-NBFE=I58。，

在图6中，NEFC=I58°-22°=136°,

,在图C中，NCFE=136°-22°=H4°,

故选：B.

7.如图，BO是长方形纸片ABCD的对角线，E、F分别是AZλBC边上的点，连接所，将纸片沿E尸翻

折，使得A、B的对应点分别是4、B',且点方在DC的延长线上，EF与8。相交于点G,连接G*,若GB'

恰好平分"9尸，且NoE4'=20。，则∕EG8'的度数为°.

【答案】135

1o

【分析】由折叠可知，ZAEF=ZA'EF,NEFB=NEFB,⅛fI'lZAEF=ZA'EF=(180°-20)÷2=80°,所以

NBFE=180o-ZAEF=Io0°,在四边形EFB'Dφ,ZDB'F=360o-Io0°-100°-90°=70°,推出NFB'G=35°,

所以NFGB'=180o-KX)0-35°=45°,进而求出ZEFB'=180o-45o=135o.

【详解】解：由折叠可知，NAEF=NA'EF,NEFB=NEFB∖

'：NDE4'=20。，

.∙.ZAEF=ZAZF=(180o-20o)÷2=80°,

二ZBFE=180o-ZAEF=100°,

在四边形瓦中，

NDFF=360o-100o-l∞o-90o=70°,

,.∙GB'平分NOBT,

二ZFB1G=35°,

：.ZFGB'=180o-KX)0-35°=45°,

/.NEFBr=180o-45o=135o,

故答案为：135.

8.如图，AABC中沿EF将四边形EFBC翻折，使点8、点C分别落在点8'和点C'处，再将A4E尸沿A尸

翻折，使点E落在点£处，若NA=60。，Zl=95°,则/3的度数为.

【答案】85。

【分析】由折叠的性质，先求出N32F+NEFC'=240。，然后利用NAEF+NAFE=120。，求出/2=25。，

再利用三角形的外角性质，即可求出/3的度数.

【详解】解：根据题意，在ΔΛ3C中，NA=60。，

,NB+NC=120。，

二NBEF+AEFC=360°—120°=240°,

由折叠的性质，则

NBfEF+NfFC'=240°,

在ΔAEF中，ZAEF+ZAFE=∖20o,

,/NBEF+AEFC=Zl+ZAEF+AFE+Z2=240°,

.♦.95°+120°+/2=240°,

.∙.N2=25°,

，/3=60°+25°=85。；

故答案为：85°

9.如图，等腰一AfiC中，AC=BC=4,AB=4√3,NAce=I20。，AE=CF,当AF+3E的值最小时，ABF

的面积为一.

【答案】2石

【分析】过点C作CD〃AB,使8=AB,连接。尸，证明一。CF区BAE(SAS),得出。尸=既，得出A、。、

F三点共线时，AF+QF的值最小，即AF+BE的值最小，证明.OCF'与ABF',得出CF=BF=2,过点产

作尸G于G,得出尸G=；8F=1,最后利用三角形的面积公式求出结果即可.

.∙./DCB=ZABC,

AC=BC,ZACB=120°,

.∙.ZC4B=ZABC=30°,

.∙.ZGAB=ZDCβ=30°,

CD=AB

;在OC尸和石中<NOCB=NBAC,

CF=AE

Λ.DCF^BAE(SAS),

.∙.DF=BE,

.∙.ΛF+BE=AF+DF,

连接Ao交BC于广，

在aADF中，由三角形三边关系可得A/+I>∕jA力，则A、。、尸三点共线时，AF+OF的值最小，即AF+BE

的值最小，

•：CD//AB.

.∙.NCDF=NBCF,

ZCDFt=ZBCFt

在,DC尸和中，CD=BA,

NDCF'=/ABF

,,

.∖,.DCF^ΛABF(ASA),

.∙.CF=BFf=2,

过点尸'作尸GJ_8C于G,

NAfiC=30。，

.∙.FfG=-BFr=I

2f

∙∙.ΛAB厂的面积为(ABkG=gχ4GXI=26.

故答案为：26.

10.在平面坐标系中点A(24,3)与点P(-3∕)关于),轴对称，则必=.

9

【答案】

【分析】根据对称性，即可求得“和^的值，然后代入即可得解.

【详解】解：由点A(243)与点尸(-3,6)关于y轴对称，可知为=一(一3),6=3

.∙.6t=—,/?=3,

2

.∙.ab=2,

2

9

故答案为:2-

11.(2022•亍夏•固原市原州区三营中学一模)如图，在AABC中，NBAC=7伊,ZC=40°,分别以点4和点

C为圆心，大于^AC的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,作直线MN交BC于点。，连接A3,则

ZBAD=.

【答案】30°

【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC,则根据线段垂直平分线的性质得到ZM=DC,所以

Zβ4C=ZC=40o,然后计算NBAC-NΩ4C即可.

【详解】解：由作法得MN垂直平分AC,

二DA=DC,

：.NZMC=NC=40°,

二NBAD=ZBAC-ZDAC=70°一40。=30°.

故答案为:30°.

12.如图所示，AABC中，AB=AC,ZBAC=120o,AC的垂直平分线E尸交AC于点E,交BC于点F,

求证：BF=ICF.

A

E

B

F

【答案】见解析

【分析】连接四，先根据等腰三角形的性质求出/8及/C的度数，再由线段垂直平分线的性质得出

AF=CF,N∕¾C=NC,由此可得出N&4尸的度数，由直角三角形的性质即可得出结论.

【详解】证明：连接ΛF,如图所示：

Y在ABC中，AB=AC,ZBAC=∖20°,

...NB=NC=MT2。。川。,

2

TAC的垂直平分线EF交AC于点E,

二AF=CF,

：.ZMC=ZC=30°,

二ABAF=ZBAC-ZFAC=120o-30°=90°,

•/ZB=30°,

BF=IAF,

：.BF=ICF.

13.（2022.山东济南•模拟）如图，已知ACIBC于点C,8。，4）于点。，AC=BaAC交8。于点E.求

证：AE=BE.

【答案】见解析

【分析】利用HL证明Rt△ABC"RtZ∖8AO,可得N3AC=NABO,即可求证.

【详解】证明：YACIBC,BDA.AD,

：.NC=NO=90。，即.ABC-AB。均为直角三角形，

VAB=BA-AC=BD,

：.Rt∆ABC^Rt∆BΛD,

.∙.ABAC=ZABD,

:.AE=BE.

14.(2022•吉林长春•一模)如图，线段A8上两点C,D,AC=BD,ZA=ZB,AE=BF,连接DE并延

长至点连接CF并延长至点MDE、CF交于点P,MN//AB.求证：PMN是等腰三角形.

【答案】见解析

【分析】先根据“SAS”证明VAr)E❷43CF,再根据全等三角形的性质得NAr)E=NBC尸，然后根据平行

线的性质得4/厉=NJ/,4BCF=乙N,即可得出NM=NN,最后根据“等角对等边”得出答案.

【详解】证明：：AC=BD,

.,.AC+CD=BD+CD,

即AD=BC.

在VAZ)E和a3CF中,

AD=BC

■NA=NB,

AE=BF

：.YADE冬ABCF,

.∙∙ZADE=NBCF.

'：MN//AB,

：.AADE=N",ABCF=ZΛr,

/.ZM=ZN,

PM=PN,

.∙.」PMN是等腰三角形.

15.如图，在一ABC中，NACB=90。，在边A8上截取BD=BC,连接C。，过点。作DElAB交AC于

点、E.

E.

ADB

(1)求证：DE=CE-,

(2)若/4=30。，在不添加字母和线段的前提下，直接写出图中所有的等腰三角形(不用证明).

【答案】(1)见解析

Q)MED、乙BCD、∕∖ADC

【分析】(D由等边对等角可得NBCD=NBOC,且/BCD+NACD=90。，ZEDC+NBDC=90°,即可得

到NEa>=NEf>C,再山等角对等边即可得出结论；

(2)①由(1)可得△(?£»是等腰三角形；

②BD=BC,即可得出结论；

③45CD是等边三角形，则NCE>8=60。，则根据三角形的外角定理∕4CD=NA,即可得出结论.

【详解】(1)证明：BD=BC,

.∙.NBCD=NBDC,

ZACB=90°,

:.ΛBCD+AACD=90°,

'.DEA.AB

：.NEDC+NBDC=90。,

：.ZECD=ZEDC,

..CE=DE；

(2)①山(1)可得aCEO是等腰三角形；

②BD=BC,可得ABCD是等腰三角形；

③NA=30。，BD=BC,ABCD是等边三角形，则NCr)B=60。，NACZ)=60。-30。=30。=NA,AADC是

等腰三角形.

所以等腰三角形是ACEETABCD、∕∖ADC.

16.如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1,ABC的顶点都在格点上，已知点A的坐标

为(-3,2).请按要求分别完成下列各小题：

⑴画出,ΛBC关于y轴对称的4A8∣G并直接写出点A的对应点A的坐标；

(2)若点D为)，轴上一点，且aAOD的面积为4.5,求点。的坐标.

【答案】(1)见解析，(3,2)

⑵(0,3)或(0,-3)

【分析】(1)根据轴对称的性质分别作出A,8,C关于y轴的对称点4,用，G，写出点A的坐标即可;

(2)根据三角形面积求出0。的长，则结果可得.

【详解】(I)解：如图，AANG即为所求.点儿的坐标为(3,2)；

(2)解：∙.∙点A的坐标为(-3,2),

.∙.点A到y轴的距离为3,

•；AAOD的面积为4.5,

：・OD=3,

二点。的坐标为(0,3)或(0,-3).

17.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，AABC的顶点在格点上.

第（1）图第（2）图

请用无刻度尺按要求作图：

⑴作AABC的高AH；

（2）①找一格点D使ADLAC且AD=ACi

②连接C。，在Cz）上画出一点F,连AR使AF将四边形ABCQ的面积平分.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可，注意高线是实线；

（2）①根据要求作出图形即可；

②取格点T连接87,AT,CT,则8T∕λC,推出△ACB与△ATC的面积相等，作出AADT的中线A尸即

可（取P,Q,连接PQ交于点F）.

【详解】（1）解：如图（1）所示，线段A”即为所求，

第（1）图

（2）①如图所示，线段AZ）即为所求;

②如图所示，线段AF即为所求；

第(2)图

18.如图，已知AABC的顶点都在图中方格的格点上.

(1)画出△ABC关于X轴对称的A4B'C,并直接写出4、B∖C三点的坐标.

(2)ΔAEc的面积是；

⑶在y轴上找一点P使得∕¾+P8最小，画出点P所在的位置(保留作图痕迹，不写画法)

【答案】⑴A(-2T)，9(TT),C'(l,2),图见解析

(2)10.5

(3)见解析

【分析】(1)确定点A,B,C关于X轴的对称点A,B',C,再连接即可得出对称图形，然后确定点的坐

标即可;

(2)根据三角形的面积=矩形的面积-3个直角三角形的面积计算即可;

(3)点A关于y轴的对称点为A，可知AP=AP,要求AP+8P最小，即求4f+BP最小，根据两点之间

线段最短可知连接AB与y轴的交点符合题意.

【详解】⑴如图所示,AEC即为所求.A'(-2T),Bz(~4,T),C(1,2).

^NA,B'C,=5×6-----×2×3------×3×6------×3×5=10.5

(2)222故答案为：105

(3)如图，点尸即为所求.

19.在平面直角坐标系中，已知4-〃?，0),

(1)如图1,AC=AB,CVJ.46于点MN〃y轴交Ao于点M(-3,0),则AO=

(2)如图2,若(“La)?=。，/AC6的平分线CO交AB于点O,过AC上一点E作所〃8,交AB于点尸,

AG是斯的高，探究AG与E尸的数量关系;

(3)如图3,在(1)的条件下，AC上点〃满足==直线交丁轴于点。，求点。的坐标.

CHMC

【答案】(1)6

(2)EF=2AG,证明见解析

⑶点。。-6)

【分析】(1)证明一ABC是等边三角形，从而得到是含30。的直角三角形，进而得到A"=2AN,列

式计算即可得解；

(2)根据(m-")2=0,得到√1BC是等腰直角三角形，作功〃H7,交AB于N,交AG的延长线于证

明人AGE&HGE,得到AG=GH,进而得到：2AG=A∕/,再证明4√VWREN/，得到EF=AW,即可得解;

(3)过点H作“ELAM于E,"FLMC于F,连接M。，根据已知条件，证明M。平分/4MC,得到

NCMQ=45。，利用直角三角形斜边上的中线，得到，OM=OC,得到

Mo=OC=6,NQMC=30°,进而得到NoMQ=I5。，通过三角形内角和定理，以及对顶角相等，得到

NoHQ=15。,利用互余关系得到NOQM=I5。，进而得到OQ=OM,即可得解.

【详解】(1)解：A(T”,0),C(ZH,O).

.'.OA=OC=mɪJ3.BO-LACɪ

/.AB=BC,

,AC=AB=2m,

二一ABC是等边三角形，

CMA.AB,

:.AM=BM=in,

.MN〃y轴，

.∙.ZzUVM=90。，

ZBAC=60o,

：.ZAMN=30°,

.∖AM=2ANf

M-3,0),

.∙∙ON=3,

:.rn=2(〃Z-3),

解得“=6,

.,.AO=6,

故答案为：6；

(2)EF=2AGf证明如下：

A(m,O),C(m,O),

OA=OC=m,且BO-LAC,

/.AB=BC,

(Zn-ZI)2=O,

*.m=n,

.∙.AO=BO=CO=tn,

・•.ABC是直角三角形，且AS=BC,

.∙.ZACB=ZftAC=45°,

CO平分/AC3,

.∙.NACD=22.5。，

GE//CD,

:.ZAEG=ZACD=22.5°,

如图2,作-EH〃BC,交AB千N,交AG的延长线于”,

图2

.∙.ZATVE=ZABC=90。,ZACB=ZAEH=45°,

.∙.ΛBAC=ZAEH=45o,ZAEG=AHEG=22.5°,

AN=NEf

o

NAEG=NHEG=22.5。，GE=GE,ZAGE=ZEGH=901

AGE^HGE(ASA),

・•.AG=GH,

.∙.AH=2AG1

.ZAHE+NHEG=骄，ZAHE+ZHAN=90°,

:.ZHAN=/HEG,

AN=NE,ZAM/=ZEM7=90。，

.∙.ANH区ENF(ASA),

:.EF=AH

.∖EF=2AG;

(3)解：如图3,过点〃作“£_LAW于E,HF上MC于F,连接MO,

由(1)可知，A(-6,0),C(6,0),M(-3,3√3),ZAMC=90。,

.∖MO=-AC=6,

2

—×AM×EHAA/rrr

ScAMH=2AMEH

Scm..ɪAArruMC∙FH'

2

日Sy二AH

H-ς>AJw，

ɔCMHLr7

AHAMEH

..一=-------,

CHCM∙FH

AHMA

~CH~~MC'

・•.EH=FH9

HE.LAM,HhMC,

.∙.M"平分/AMC,

.∙.ZAMH=ZHMF=45°,

MO=OC=6,

:.ZACM=30o=NOMC,

.∖Z.OMQ=AHMF-NoMC=15°,

.∙.ZOHQ=NoMQ+ZAOM=15o+60o=75o,

."OQM=90o-ZOHQ=15°,

.∙.NOMQ=NoQM=I5。，

：.MO=OQ=6、

，点Q(0,-6).

20.已知点A,C,E在同一直线上，ABC..CDE均为等边三角形(43>8).

(1)问题发现：如图1,若点8、O在直线AC的同侧时，求证：BCE-ACD；

(2)拓展探究：如图2,若点B、。在直线AC的异侧时，连接BE并延长交Af)于点P,连接PC,求N8PC；

(3)解决问题：如图3,点8、。在直线AC的异侧，点E在线段AC上运动时，过点C作CF_LP3,垂足为

点F,且与点E不重合，若PB-Λ4=m,$=〃，则Pz)的长为(直接用含"?、"的式子写出结论).

【答案】(1)证明见解析

(2)NBPC=60。

1…1

(3)-m+n^-ιn-n

【分析】(1)根据VBGA和一COE都是等边三角形得出C4=C3,CD=CE,NACB=NE8=60°利用SAS

可证明VAC3也VBCE：

(2)在PB上截取RA=PG,连接AG,如图2,证出AΛPG为等边三角形，由等边三角形的性质得出AP=AG,

ZΛ4G=60o,i∣l∙.∏)j-βAG⅛CAP(SAS),由全等三角形的性质得出N4CP=N4BG,由三角形内角和定理可得出

答案；

(3)分两种情况，当尸在线段收的延长线上时或当点尸在线段PE上时，由全等三角形的性质及直角三角

形的性质可得出答案.

【详解】(1)证明：YVB。和一CDE都是等边三角形，

.,.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=60。,

：.ZACB+NBCD=ZECD+NBCD,

即ZACr)=NBCE.

在，BCE和一Aa)中，

BC=AC

<ZBCE=ZACDf

CE=CD

・・・二ACZ)会BCE(SAS)；

(2)解：在心上截取Q4=PG,连接4G,如图2,

山(1)得：NACD^BCE,

・・・ZCAD=ZCBEf

又・・・ZCEB=ZAEP,

o

・・・ZAPB=ZACB=60i

・・・二APG为等边三角形，

o

ΛAP=AG9ZΛ4G=60,

在等边√WC中，AC=AB,NaAC=60°,

JZEAC-NCAG=NEAG-NCAG,

即ZPAC=ZBAG,

：..BAG^CAP(SAS)f

：.ZACP=ZABG1

XV/PEC=ZAEB,

：.N3PC=NHAC=60。；

(3)解：如图2,当尸在线段尸E的延长线上时,

由(2)∏Γ⅛∣ABAG^AC4P,

：•BG=PC,

：.BG=PB-PG=PB-PA=PCnn,

VCFlBP1NB尸C=60。，

/./PCF=30。,

：.PF=-PC=-m

221

o

VZDCE=ωfNOPE=I20。，

同理可得PE+PD=PC,

/.-m-n+PD=m,

2

.*.PD=-m-∖-n-

2

[Hj3.uʃEF+PD=PF=^PC,

n+PD=-m,

2

.∖PD=-m-n,

2

综上所述，PO的长为["7+〃或1加-〃.

22

故答案为：gm+〃或:〃?一〃.

22

在真题过关

1.（2022•江苏南通・中考真题）下面由北京冬奥会比赛项目图标组成的四个图形中，可看作轴对称图形的是

司书！！国行・国KIl的阵

【答案】D

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；

D.是轴对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

2.（2022•江苏常州♦中考真题）在平面直角坐标系Xoy中，点A与点A关于X轴对称，点A与点为关于y轴

对称.已知点A（1,2）,则点&的坐标是（）

A.（—2,1）B.（—2,—1）C.（—1,2）D.（-L-2）

【答案】D

【分析】直接利用关于X,y轴对称点的性质分别得出A,A2点坐标，即可得出答案.

【详解】解：点A的坐标为（1,2）,点A与点A关于X轴对•称，

.∙.点A的坐标为（1,-2）,

；点A与点4关于N轴对称，

•••点4的坐标是（-1,-2）.

故选：D.

3.（2022•江苏宿迁•中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是（）

A.ScmB.∖3cmC.8cτn或13cτnD.Ilcm或13cm

【答案】D

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5,而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要

应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【详解】解：当3是腰时，

T3+3>5,

.∙.3,3,5能组成三角形，

此时等腰三角形的周长为3+3+5=11（cm）,

当5是腰时，

V3+5>5,

5,5,3能够组成三角形，

此时等腰三角形的周长为5+5+3=13（cm）,

则三角形的周长为IIa”或13cm.

故选：D

4.（2021•江苏淮安・中考真题）如图，在AABC中，AB的垂直平分线分别交A&BC于点。、E,连接AE,

若4E=4,EC=2,则BC的长是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到E8=EA=4,结合图形计算，得到答案.

【详解】解：是AB的垂直平分线，AE=4,

.".EB=EA^4,

.∙.8C=E8+EC=4+2=6,

故选：C.

5.（2022•江苏镇江•中考真题）如图，有一张平行四边形纸片ABC£>,AB=5,AD=7,将这张纸片折叠,

使得点B落在边AO上，点B的对应点为点夕，折痕为£尸，若点E在边AB上，则。9长的最小值等于

【答案】2

【分析】根据题意，EB=EBr,当E点与A点重合时，符合题意，据此即可求解.

【详解】