第二章拉伸与压缩

第二章轴向拉伸与压缩(axialtensionandcompression)授课人：尹久仁2拉伸和压缩(tension&compression)拉杆2.1实例图2.1悬臂吊车的拉杆活塞杆图2.2液压传动机构中油缸的活塞杆图2.3轴向拉伸、压缩杆件的计算简图受力特点：构件承受一对大小相等、方向相反作用线跟杆件轴线重合的力作用变形特点：构件沿杆件轴线伸长或缩短湘潭大学建筑工程系2.2轴向拉伸和压缩时横截面上的内力和应力

内力确定方法——截面法杆件的内力称为轴力——由于内力的作用线沿杆轴线内力符号规定：轴力的指向离开所作用的截面时为正号，也称为拉力；指向朝着作用的截面时为负号，也称为压力。图2.4截面法求轴向拉伸杆件横截面上的内力湘潭大学建筑工程系轴力图 为了形象地表示出杆件内轴力与横截面位置的关系，常绘出轴力沿杆轴线变化的图形，该图形中以横坐标表示横截面的位置，以纵坐标表示轴力的大小，以该方式绘制的图形称为轴力图。例题2.1例题2.1a图所示为一双压手铆机的活塞缸示意图。作用于活塞杆上的力分别为P1=2.62kN，P2=1.3kN,P3=1.32kN,计算简图为例题2.1b所示。这里P2和P3分别是以压强p2和p3乘以作用面积得出的。试求活塞杆横截面1-1和2-2上的轴力，并作活塞杆的轴力图。湘潭大学建筑工程系解：（一）用截面法求1-1，2-2面上的轴力。对1-1面：对2-2面：（二）画轴力图湘潭大学建筑工程系轴向拉伸和压缩时杆件横截面上的应力

平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，并且仍垂直于杆轴线，只是各横截面沿杆轴作相对平移。此假设称为平面假设。图2.5轴向拉伸杆件横截面上的应力分布规律结论：任意两横截面间的所有纤维的伸长（缩短）均相同。对于均匀性材料，如果变形相同，则受力也相同。由此可得横截面上各点处的应力大小相等，方向均垂直于横截面。湘潭大学建筑工程系由静力学关系知，拉（压）杆横截面上的正应力σ应合成为轴力N，而σ又处处大小相等，所以有正应力的符号规定随轴力的符号规定，即拉应力为正，压应力为负。(2.1)湘潭大学建筑工程系例题2.2图求AB杆横截面上的应力例题2.2例题2.2图为一悬臂吊车的简图，斜杆AB为直径d=20mm的钢杆，载荷Q=15kN。当Q移到A点时，求斜杆AB横截面上的应力。解：1.AB杆所受外力2.求斜杆AB的轴力。3.求斜杆AB横截面上的应力湘潭大学建筑工程系例题2.3一受轴向荷载的阶梯轴，如例题2.3a图所示。求各段横截面上的应力。并画轴力图。例题2.3图求阶梯轴各段应力解：1.求轴力2.轴力图如例题2.3b图。湘潭大学建筑工程系3.求应力例题2.3图求阶梯轴各段应力可见最大正应力并不一定发生在最大轴力处。湘潭大学建筑工程系轴力的一般情况若外力沿截面变化（比如由于考虑构件的自重），截面的尺寸也沿轴线变化时，这时截面上的轴力将是截面位置x的函数N(x)，如左图示。在计算x截面上的轴力时，应利用微积分求。一般地，构件各截面的内力、应力和截面面积都是位置x的函数，具体地图2.6杆件横截面尺寸沿轴线缓慢变化时的应力(2.2)湘潭大学建筑工程系2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

由截面法得该斜截面上的内力为图2.7拉杆斜截面上的应力湘潭大学建筑工程系与横截面上的正应力类似，斜截面上的应力也是均匀分布的，即一般称为全应力，将其分解为垂直斜截面的正应力和沿斜截面的剪应力湘潭大学建筑工程系在范围内斜截面正应力和剪应力的变化规律结果讨论右图为斜截面上正应力和剪应力在范围内的变化规律。由图知，湘潭大学建筑工程系2.4材料在拉伸时的机械性质材料的机械性质也称力学性质是指材料在外力作用过程中所表现出来的变形、破坏等方面的特征。这些特征是材料自身固有的特性，是强度计算、刚度计算等的重要依据。它要由试验的方法来确定。这些试验是在室温下、以缓慢加载的方式进行的，通常称常温静载试验。拉伸试验是测定材料机械性质的基本试验。要弄清楚的几个问题材料试验的标准试验的条件（温度、压强、加载方式）加载过程的界定力学参量的测定湘潭大学建筑工程系湘潭大学建筑工程系图2.16确定条件屈服极限σ0.2的方法图2.17低碳钢压缩时的应力—应变曲线压缩拉伸湘潭大学建筑工程系弄清下列概念及其计算方法1.弹性、屈服（流动）、强化和颈缩阶段5.卸载定律，冷作硬化，蠕变3.塑性材料与脆性材料的定义，以及相应的破坏应力4.塑性与脆性材料在拉伸和压缩时机械性能的差别湘潭大学建筑工程系2.7许用应力和安全系数轴向拉伸和压缩时的强度计算

破坏应力：对塑性材料

或对脆性材料材料的破坏条件是：工作应力达到破坏应力，即湘潭大学建筑工程系为使构件或结构能正常工作，必须提供必要的强度储备，这样我们就得到构件工作的强度条件在静载的情况下，对塑性材料可取ns=1.2~2.5。脆性材料取nb=2~3.5，甚至取到3~9。脆性（brittleness），塑性（plastic）。湘潭大学建筑工程系轴向拉伸与压缩构件的强度条件强度条件：受轴向拉伸（压缩）构件不因强度破坏的条件是工作应力不超过许用应力，即湘潭大学建筑工程系强度条件的功用校核强度估算载荷设计尺寸湘潭大学建筑工程系轴向拉伸和压缩时的变形

由实验可知，直杆在轴向载荷作用下，将会发生轴向尺寸的改变，同时还伴有横向尺寸的变化。轴向伸长时，横向就略有缩小；反之轴向缩短时，横向就略有增大。轴向拉伸杆件的变形情况湘潭大学建筑工程系虎克定律指出：当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比，即

杆件在轴线方向的伸长为这表示：当应力不超过比例极限时，杆件的伸长△l与载荷P和杆件的原长度l成正比，与横截面面积A成反比。这是虎克定律的另一表达形式，以上结果同样可以用于轴向压缩的情况，只要把轴向拉力改为压力，把伸长△l改为缩短就可以了。杆件纵向变形湘潭大学建筑工程系横向变形

绝对变形相对变形试验结果表明：当应力不超过比例极限时，横向应变

1与轴向应变

之比的绝对值是一个常数，即

称为泊松系数(Poisson’sratio)，又称横向变形系数，与E一样，也是材料固有的弹性常数，且是一个没有量纲的量。湘潭大学建筑工程系【例题】例题2.8图所示托架，水平杆BC为钢圆杆，其直径d=30mm。斜杆AB由两根70×70×6mm的等边角钢组成。若=160MPa，E=200GPa,试校核托架的强度，并求B点的位移。设P=50kN。

湘潭大学建筑工程系解:1.求各杆轴力。取节点B为研究对象，由平衡方程可求得1、2杆轴力分别为2.强度校核湘潭大学建筑工程系设想将B处铰解开，两杆在各自杆端力的作用下自由伸缩，则1杆的B端将缩至B2，而2杆的B端将伸至B1。事实上，两杆相联于B点，并不分离，故B点的新位置应当在另一点B3处。因是小变形，所以B1B3和B2B3是两段极其微小的短弧。因而可采用分别垂直于BA、BC的直线线段来代替，这两段直线的交点即为B3的位置。图中BB3线段即为B点的位移。这种方法称为Williot法。

3求B点的位移湘潭大学建筑工程系B点的铅垂位移为B点的水平位移

B点的位移BB3为

湘潭大学建筑工程系轴向变形的一般情形轴向变形公式成立的前提是：在计算长度l内，杆件的轴力N和截面积A以及材料常数E是不变的。当轴力N或横截面积A为杆轴线坐标x的连续函数时，选取微段dx，它满足上述计算条件，从而求得微段的轴向变形为则整个杆件的变形为湘潭大学建筑工程系【例题2.9】例题2.9图中自由悬挂的变截面杆是圆锥体。其上下两端的直径分别为d2和d1。试求由载荷P引起的轴向变形（不计自重的影响）。设杆长l及弹性模量E均已知。解:设坐标为x时，横截面的直径为d，则

湘潭大学建筑工程系2.9拉伸、压缩静不定问题

结构的约束反力或构件的内力未知量个数多于独立的静力平衡方程数目，不能凭静力平衡方程来求其解答。这类问题称静不定问题，也称超静定问题。静不定梁静不定次数

设未知量的个数为s，静力平衡方程的数目为n，则称为结构的静不定次数。静不定桁架湘潭大学建筑工程系静不定问题的求解方法静不定问题的求解是综合考虑静力平衡、变形协调以及物理等三方面的关系进行求解。这也是与静定问题求解的不同之处。已知图示构件各截面面积和形状相同、材料相同，试求该结构三杆的内力。132湘潭大学建筑工程系1.由静平衡方程2.由变形几何方程3.由物理方程湘潭大学建筑工程系将物理方程代入变形协调方程，得如下补充方程与静力平衡方程联立即可解得如需进一步求解各杆应力、变形，进行强度计算等，则与静定问题的求解方法是一样的。湘潭大学建筑工程系2.10温度应力和装配应力

2.10.1温度应力

温度的变化将引起结构物或其部分构件的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，当温度在整个结构上均匀变化时，不会在结构杆件内产生应力。但在静不定结构中，由于“多余约束”，结构的变形部分或全部受到约束，温度变化将会引起杆内的应力，这种应力称为温度应力。公路上湘潭大学建筑工程系【例题】图中AB为一装在两个刚性支承间的杆件。设杆AB长为l，横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为

，试求温度升高ΔT时杆内的温度应力。

解：1.由静平衡方程2.假定去掉B端点约束，使杆件自由伸长，其伸长量为湘潭大学建筑工程系3.在构件自由膨胀以后，假想地用外力N作用于端，使构件发生变形为使分解后的问题与原问题等效，则有进一步，有温度应力可见温度应力与构件的截面积无关。湘潭大学建筑工程系【例题】图示刚性梁由三根刚杆支承，刚杆之横截面面积A均为20cm2,2杆的长度比1、3杆短了δ=0.5mm。试求在结构安装后，各杆横截面上的应力。2.10.2

装配应力

对静定结构，在安装时，加工误差只不过是造成结构几何形状的轻微变化，不会引起杆件内力。但对于静不定结构安装时，加工误差却往往要引起内力，这与上述温度应力的发生是非常相似的，相应的应力称装配应力。

湘潭大学建筑工程系解：1.平衡方程

2.变形协调条件

3.物理方程

湘潭大学建筑工程系联立求解得湘潭大学建筑工程系§2.8拉压静不定问题

一.静定静不定概念

1.静定问题——仅用静力平衡方程就能求出全部未知力，这类问题称为静定问题.

实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。

2.静不定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未知力。又称超静定问题。实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。湘潭大学建筑工程系未知力数目：2静力平衡方程数目：2静定结构，静定问题。ABCPAP湘潭大学建筑工程系未知力：4个平衡方程：2个静不定结构，静不定问题。需要补充2个方程。○○○○○○湘潭大学建筑工程系

3.静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。也是需要补充的方程数目。未知力：4个平衡方程：2个静不定次数=4－2=2

此结构可称为2次静不定结构○○○○○湘潭大学建筑工程系

4.多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。既没有这部分约束结构也能保持一定的几何形状（静定）。DBCAPDBAPBCAP湘潭大学建筑工程系判断：静不定次数DBCAP1次静不定APN1N2N33个未知力2个平衡方程湘潭大学建筑工程系

5.多余未知力：多余约束提供的约束力。

静不定次数=多余未知力数目湘潭大学建筑工程系

二.静不定问题的解法：

1.判断静不定次数：方法1:未知力数目－平衡方程数目

方法2：多余未知力数目

2.

列平衡方程

3.列几何方程：反映各杆变形之间的关系，需要具体问题具体分析。

4.列物理方程：变形与力的关系。

5.

列补充方程：物理方程代入几何方程即得。湘潭大学建筑工程系例题1已知：E1A1,E2A2=E3A3,l1,l2=l3

求：各杆轴力yxPN1N3N2PE2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCD解：1.判断：一次静不定。湘潭大学建筑工程系2.列平衡方程PyxN1N3N2∑Y=0,N1＋N2cosα＋N3cosα

－P=0⑵N2=N3⑴∑X=0,－N2sinα＋N3sinα=0湘潭大学建筑工程系P

l1

l3

l23.列几何方程：E2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCDA´湘潭大学建筑工程系4.列物理方程

5.列补充方程

将物理方程代入几何方程得：⑶湘潭大学建筑工程系N1＋N2cosα＋N3cosα

－P=0⑵N2=N3⑴⑶湘潭大学建筑工程系联解⑴，⑵，⑶式，得PABCD321湘潭大学建筑工程系静不定结构特点（1）

内力按刚度比分配。思考：静定结构是否也是这样？湘潭大学建筑工程系静不定结构的特点(1)ABCDPABDP湘潭大学建筑工程系注意事项

内力假设与变形假设应一致。内力假设受拉，变形只能假设伸长。湘潭大学建筑工程系思考：几何方程的求法E2A2l2E3A3l3=E2A2l2E1A1l1ABCD

l1

l2湘潭大学建筑工程系静不定结构的特点(2)

———装配应力BCDABDA静不定结构

——？静定结构

——无装配应力！湘潭大学建筑工程系已知：三杆EA相同，1杆制造误差δ，求装配内力

解题思路：因制造误差，装配时各杆必须变形，因此产生装配内力。⊿l1δ○Alαα123○○○BCD○⊿l2一次静不定问题。平衡方程：内力不可任意假设。几何方程：

⊿l1＋⊿l2/

cosα=δ物理方程？虎克定律！湘潭大学建筑工程系1杆伸长，只能是拉力，2，3杆缩短,应为压力。○AN1N2N3装配应力是不容忽视的，如：δ/l=0.001,E=200GPa,α=30°——σ1=113MPa

，σ2=σ3=－65.2MPa

○AN1N2N3正确不正确湘潭大学建筑工程系静不定结构的特点(3)

———温度应力DBCAT°CABDT°C湘潭大学建筑工程系思路：

温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。几何方程：

⊿l=⊿lT＋⊿lN=0

物理方程：

⊿lT=αl⊿T,⊿lN

=Nl/EA

AB